Глава XV. §2. Преобразование подобия — с. 346
1320. Выясните, что представляет собой фигура F₁, подобная фигуре F, если F является: а) трапецией; б) парой пересекающихся под углом 30° прямых.
Фигура F₁ получается из F гомотетией с некоторым центром O и последующим движением. Движение сохраняет вид фигуры, поэтому достаточно выяснить, что делает гомотетия.
а) При гомотетии параллельные прямые переходят в параллельные (свойство 1° или совпадают), непараллельные — в непараллельные (образ точки пересечения — точка пересечения образов). Основания трапеции переходят в параллельные прямые, а боковые стороны — в непараллельные; отрезки переходят в отрезки. Значит, образ трапеции — четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами, то есть трапеция (с отношением оснований, прежним). Следовательно, F₁ — трапеция.
б) Две пересекающиеся прямые переходят в две прямые, пересекающиеся в образе точки пересечения. Угол между ними переходит в равный ему угол (свойство гомотетии), значит, прямые пересекаются под углом 30°. Движение этого не меняет. Следовательно, F₁ — тоже пара прямых, пересекающихся под углом 30°.
Ответ: а) трапеция; б) пара пересекающихся под углом 30° прямых.
а) При гомотетии параллельные прямые переходят в параллельные (свойство 1° или совпадают), непараллельные — в непараллельные (образ точки пересечения — точка пересечения образов). Основания трапеции переходят в параллельные прямые, а боковые стороны — в непараллельные; отрезки переходят в отрезки. Значит, образ трапеции — четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами, то есть трапеция (с отношением оснований, прежним). Следовательно, F₁ — трапеция.
б) Две пересекающиеся прямые переходят в две прямые, пересекающиеся в образе точки пересечения. Угол между ними переходит в равный ему угол (свойство гомотетии), значит, прямые пересекаются под углом 30°. Движение этого не меняет. Следовательно, F₁ — тоже пара прямых, пересекающихся под углом 30°.
Ответ: а) трапеция; б) пара пересекающихся под углом 30° прямых.
1321. Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной точки М постройте соответственную ей при заданной гомотетии точку М₁ (рис. 403, а). [рисунок 403: точка O, точки A и A₁ на одном луче из O, точка M вне прямой AA₁]
Случай 1: M не лежит на прямой AA₁. По определению гомотетии M₁ лежит на прямой OM. По свойству 1° прямая AM (не проходит через центр) переходит в параллельную ей прямую, проходящую через A₁. Поэтому: 1) проводим прямую OM; 2) через A₁ проводим прямую, параллельную AM; 3) точка пересечения этой прямой с прямой OM — искомая точка M₁. (На рисунке: коэффициент гомотетии равен A₁O : AO = 2, и точка M₁ лежит на луче OM с OM₁ = 2·OM.)
Случай 2: M лежит на прямой AA₁. Берём произвольную точку B, не лежащую на прямой OA, строим для неё образ B₁ так, как в первом случае (через A₁ проводим прямую, параллельную AB, и находим её пересечение с OB). Затем, пользуясь парой B, B₁ вместо A, A₁, строим образ M₁ точки M: через B₁ проводим прямую, параллельную BM, и находим точку пересечения с прямой OM — она и есть M₁.
Проверка: при построенной гомотетии отрезок AM переходит в параллельный отрезок A₁M₁ и OM₁ : OM = OA₁ : OA = k, потому что △OAM ∼ △OA₁M₁.
Случай 2: M лежит на прямой AA₁. Берём произвольную точку B, не лежащую на прямой OA, строим для неё образ B₁ так, как в первом случае (через A₁ проводим прямую, параллельную AB, и находим её пересечение с OB). Затем, пользуясь парой B, B₁ вместо A, A₁, строим образ M₁ точки M: через B₁ проводим прямую, параллельную BM, и находим точку пересечения с прямой OM — она и есть M₁.
Проверка: при построенной гомотетии отрезок AM переходит в параллельный отрезок A₁M₁ и OM₁ : OM = OA₁ : OA = k, потому что △OAM ∼ △OA₁M₁.
1322. Начертите параллелограмм АВСD отметьте на плоскости точки О и А₁ так, чтобы А₁, О и А лежали на одной прямой. Рассмотрите гомотетию с центром в точке О, при котором точка А переходит в точку А₁. Используя свойства гомотетии, постройте параллелограмм А₁В₁С₁D₁, в который переходит параллелограмм АВСD при заданной гомотетии.
Пусть A₁ лежит на луче OA, причём OA₁ = 3·OA (коэффициент гомотетии k = 3; для другого положения A₁ построение то же). Гомотетия с центром O, переводящая A в A₁, задана однозначно.
Построение: 1) проводим прямые OB, OC, OD. 2. Через A₁ проводим прямую, параллельную AB; по свойству 1° образ прямой AB — параллельная ей прямая через A₁; она пересекает прямую OB в точке B₁ (образ B лежит на прямой OB). 3. Через A₁ проводим прямую, параллельную AD; она пересекает OD в точке D₁. 4. Через B₁ проводим прямую, параллельную BC, она пересекает прямую OC в точке C₁ (точка C₁ лежит и на прямой, проведённой через D₁ параллельно DC).
Параллелограмм A₁B₁C₁D₁ — искомый: он гомотетичен ABCD, поэтому A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD, D₁A₁ ∥ DA, стороны параллельны попарно (A₁B₁ ∥ D₁C₁, A₁D₁ ∥ B₁C₁), значит, это параллелограмм, и A₁B₁ = 3·AB.
Построение: 1) проводим прямые OB, OC, OD. 2. Через A₁ проводим прямую, параллельную AB; по свойству 1° образ прямой AB — параллельная ей прямая через A₁; она пересекает прямую OB в точке B₁ (образ B лежит на прямой OB). 3. Через A₁ проводим прямую, параллельную AD; она пересекает OD в точке D₁. 4. Через B₁ проводим прямую, параллельную BC, она пересекает прямую OC в точке C₁ (точка C₁ лежит и на прямой, проведённой через D₁ параллельно DC).
Параллелограмм A₁B₁C₁D₁ — искомый: он гомотетичен ABCD, поэтому A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD, D₁A₁ ∥ DA, стороны параллельны попарно (A₁B₁ ∥ D₁C₁, A₁D₁ ∥ B₁C₁), значит, это параллелограмм, и A₁B₁ = 3·AB.
1323. Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной окружности, проходящей через точку А, постройте соответствующую ей при заданной гомотетии окружность (рис. 404, а). [рисунок 404: центр O, точки A и A₁ на одном луче из O и окружность, проходящая через A]
Пусть C — центр данной окружности радиуса r = CA, C₁ — центр искомой окружности. По свойству 3° точки C и C₁ соответственны при гомотетии, а радиус искомой окружности равен |k|·r.
1) Строим точку C₁, пользуясь парой A, A₁ (см. задачу 1321): проводим прямую OC, через A₁ проводим прямую, параллельную AC, и находим её точку пересечения с прямой OC — это C₁.
2) Окружность, гомотетичная данной, проходит через точку A₁ (точка A лежит на данной окружности, значит, её образ A₁ лежит на образе окружности). Поэтому искомая окружность — окружность с центром C₁ и радиусом C₁A₁.
На рисунке k = OA₁ : OA = 2, радиус искомой окружности равен 2r.
1) Строим точку C₁, пользуясь парой A, A₁ (см. задачу 1321): проводим прямую OC, через A₁ проводим прямую, параллельную AC, и находим её точку пересечения с прямой OC — это C₁.
2) Окружность, гомотетичная данной, проходит через точку A₁ (точка A лежит на данной окружности, значит, её образ A₁ лежит на образе окружности). Поэтому искомая окружность — окружность с центром C₁ и радиусом C₁A₁.
На рисунке k = OA₁ : OA = 2, радиус искомой окружности равен 2r.