Глава XV. §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач — с. 351
1325. Хорды AB и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, BE = 2, CE = 2,5; б) АЕ = 16, BE = 9, CE = ED; в) АЕ = 0,2, ВЕ = 0,5, CE = 0,4.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AE·BE = CE·ED, откуда ED = AE·BE / CE.
а) ED = 5·2 / 2,5 = 4.
б) CE = ED, значит, ED² = 16·9 = 144, ED = 12.
в) ED = 0,2·0,5 / 0,4 = 0,1 / 0,4 = 0,25.
Ответ: а) 4; б) 12; в) 0,25.
а) ED = 5·2 / 2,5 = 4.
б) CE = ED, значит, ED² = 16·9 = 144, ED = 12.
в) ED = 0,2·0,5 / 0,4 = 0,1 / 0,4 = 0,25.
Ответ: а) 4; б) 12; в) 0,25.
1326. Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁ и пересекает её в точке С. Найдите ВВ₁, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому BC = CB₁. Хорды AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C, значит, BC·CB₁ = AC·CA₁, то есть BC² = 4·8 = 32, BC = √32 = 4√2 см.
BB₁ = 2·BC = 8√2 см.
Ответ: 8√2 см.
BB₁ = 2·BC = 8√2 см.
Ответ: 8√2 см.
1327. Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
Пусть AB — диаметр, M — точка окружности, MH ⊥ AB, H — основание перпендикуляра. Продолжим MH до пересечения с окружностью в точке M₁. Хорда MM₁ перпендикулярна диаметру AB, поэтому H — середина хорды: MH = HM₁.
Хорды AB и MM₁ пересекаются в точке H, значит, AH·HB = MH·HM₁ = MH². То есть MH² = AH·HB, или AH / MH = MH / HB: MH — среднее пропорциональное для отрезков AH и HB. Что и требовалось доказать.
Хорды AB и MM₁ пересекаются в точке H, значит, AH·HB = MH·HM₁ = MH². То есть MH² = AH·HB, или AH / MH = MH / HB: MH — среднее пропорциональное для отрезков AH и HB. Что и требовалось доказать.
1328. В треугольнике ABC сторона AB равна 6, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку С и касается АB, причём одна касается в точке А, а другая — в точке B.
Пусть M — середина AB, CM = 4, MA = MB = 3. Первая окружность ω₁ проходит через C и касается AB в точке A, вторая ω₂ — через C и касается AB в точке B. Общие точки окружностей — C и ещё одна точка K, общая хорда — CK.
Прямая AB касается обеих окружностей, поэтому точка M лежит вне обеих окружностей. Покажем, что M лежит на прямой CK. Для любой точки X прямой AB квадрат касательной из X к ω₁ равен XA², к ω₂ равен XB². Точка M имеет равные степени относительно обеих окружностей (MA² = MB² = 9), поэтому M лежит на радикальной оси — прямой, содержащей общую хорду CK. (Другое рассуждение: пусть прямая CK пересекает AB в точке N; по теореме о квадрате касательной NA² = NC·NK = NB², откуда NA = NB, то есть N = M.)
Итак, прямая MC пересекает ω₁ в точках C и K, причём MA — касательная к ω₁. По теореме о квадрате отрезка касательной MA² = MK·MC: 9 = MK·4, MK = 9/4. Точка K лежит на луче MC (оба пересечения секущей лежат по одну сторону от внешней точки M), и MK = 9/4 < MC = 4, поэтому K между M и C.
CK = MC – MK = 4 – 9/4 = 7/4 = 1,75.
Ответ: 7/4.
Прямая AB касается обеих окружностей, поэтому точка M лежит вне обеих окружностей. Покажем, что M лежит на прямой CK. Для любой точки X прямой AB квадрат касательной из X к ω₁ равен XA², к ω₂ равен XB². Точка M имеет равные степени относительно обеих окружностей (MA² = MB² = 9), поэтому M лежит на радикальной оси — прямой, содержащей общую хорду CK. (Другое рассуждение: пусть прямая CK пересекает AB в точке N; по теореме о квадрате касательной NA² = NC·NK = NB², откуда NA = NB, то есть N = M.)
Итак, прямая MC пересекает ω₁ в точках C и K, причём MA — касательная к ω₁. По теореме о квадрате отрезка касательной MA² = MK·MC: 9 = MK·4, MK = 9/4. Точка K лежит на луче MC (оба пересечения секущей лежат по одну сторону от внешней точки M), и MK = 9/4 < MC = 4, поэтому K между M и C.
CK = MC – MK = 4 – 9/4 = 7/4 = 1,75.
Ответ: 7/4.
1329. Через точку А проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) AB = 4 см, АС = 2 см; б) AB = 5 см, АD = 10 см.
По теореме о квадрате отрезка касательной AB² = AC·AD (точка C ближе к A, чем D).
а) AD = AB² / AC = 16 / 2 = 8 см, CD = AD – AC = 8 – 2 = 6 см.
б) AC = AB² / AD = 25 / 10 = 2,5 см, CD = AD – AC = 10 – 2,5 = 7,5 см.
Ответ: а) 6 см; б) 7,5 см.
а) AD = AB² / AC = 16 / 2 = 8 см, CD = AD – AC = 8 – 2 = 6 см.
б) AC = AB² / AD = 25 / 10 = 2,5 см, CD = AD – AC = 10 – 2,5 = 7,5 см.
Ответ: а) 6 см; б) 7,5 см.