Глава XV. §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач — с. 353
1338. Даны прямая l и точка О, не лежащая на ней. Пусть X — любая точка прямой l. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество точек, делящих отрезок OX в отношении 1 : 3, считая от точки О, есть прямая, параллельная прямой l.
Точка X₁ делит отрезок OX в отношении 1 : 3, считая от O, если OX₁ : X₁X = 1 : 3, то есть OX₁ = OX/4 и X₁ лежит на отрезке OX. Это образ точки X при гомотетии с центром O и коэффициентом k = 1/4.
По свойству 1° эта гомотетия переводит прямую l, не проходящую через O, в параллельную ей прямую l₁, а так как гомотетия взаимно однозначна, то каждая точка l₁ — образ некоторой точки l.
Следовательно, множество точек, делящих отрезки OX в отношении 1 : 3, считая от O, есть прямая l₁ ∥ l (на расстоянии d/4 от O, где d — расстояние от O до l). Что и требовалось доказать.
По свойству 1° эта гомотетия переводит прямую l, не проходящую через O, в параллельную ей прямую l₁, а так как гомотетия взаимно однозначна, то каждая точка l₁ — образ некоторой точки l.
Следовательно, множество точек, делящих отрезки OX в отношении 1 : 3, считая от O, есть прямая l₁ ∥ l (на расстоянии d/4 от O, где d — расстояние от O до l). Что и требовалось доказать.
1339. Через данную точку А окружности проведены всевозможные хорды. Используя гомотетию с центром в точке А, докажите, что множество точек, делящих эти хорды в отношении 1 : 3, считая от точки А, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности.
Пусть данная окружность ω имеет центр C и радиус r, AX — хорда, X ∈ ω. Точка X₁, делящая AX в отношении 1 : 3 от A, удовлетворяет условию AX₁ = AX/4, X₁ ∈ AX: это образ X при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/4.
По свойству 3° эта гомотетия переводит окружность ω в окружность ω₁ с центром C₁ — образом C — и радиусом r/4. Каждая точка ω₁ является образом некоторой точки X ∈ ω (взаимная однозначность гомотетии), то есть искомое множество — окружность ω₁.
Центр C₁ лежит на радиусе AC (на отрезке AC), причём AC₁ = AC/4 = r/4. (Сама точка A принадлежит ω₁ как образ точки A.)
Что и требовалось доказать.
По свойству 3° эта гомотетия переводит окружность ω в окружность ω₁ с центром C₁ — образом C — и радиусом r/4. Каждая точка ω₁ является образом некоторой точки X ∈ ω (взаимная однозначность гомотетии), то есть искомое множество — окружность ω₁.
Центр C₁ лежит на радиусе AC (на отрезке AC), причём AC₁ = AC/4 = r/4. (Сама точка A принадлежит ω₁ как образ точки A.)
Что и требовалось доказать.
1340. Пусть М — точка, делящая медиану АА₁ треугольника АВС в отношении 2 : 1, считая от вершины, В₁ — середина стороны АС треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом k = –1/2 отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, причём точка А переходит в точку А₁, а точка В — в точку В₁.
Выберем произвольное начало отсчёта и будем обозначать точку и её радиус-вектор одной буквой. Точка A₁ — середина BC: A₁ = (B + C)/2. Точка M делит AA₁ в отношении 2 : 1 от вершины: AM = (2/3)AA₁, значит, M = A + (2/3)(A₁ – A) = (A + 2A₁)/3 = (A + B + C)/3.
Гомотетия с центром M и k = –1/2 переводит точку X в X′ = M – (1/2)(X – M) = (3M – X)/2 = (A + B + C – X)/2.
Подставим: для X = A получаем A′ = (B + C)/2 = A₁; для X = B получаем B′ = (A + C)/2 = B₁ (середина AC).
Таким образом, A ↦ A₁, B ↦ B₁, а по свойству 2° отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, причём A₁B₁ = (1/2)AB. Что и требовалось доказать.
Гомотетия с центром M и k = –1/2 переводит точку X в X′ = M – (1/2)(X – M) = (3M – X)/2 = (A + B + C – X)/2.
Подставим: для X = A получаем A′ = (B + C)/2 = A₁; для X = B получаем B′ = (A + C)/2 = B₁ (середина AC).
Таким образом, A ↦ A₁, B ↦ B₁, а по свойству 2° отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, причём A₁B₁ = (1/2)AB. Что и требовалось доказать.
1341. Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC, M — точка медианы AA₁, делящая её в отношении 2 : 1 от вершины.
По задаче 1340 гомотетия с центром M и k = –1/2 переводит B в B₁. Значит, точки B, M, B₁ лежат на одной прямой, причём M лежит между B и B₁ (k < 0) и MB₁ = (1/2)MB. Поэтому M принадлежит медиане BB₁ и делит её в отношении BM : MB₁ = 2 : 1, считая от вершины B.
Тот же вычислительный результат (X′ = (A + B + C – X)/2) для X = C даёт C′ = (A + B)/2 = C₁ — середина стороны AB. Значит, при той же гомотетии C переходит в C₁, поэтому M лежит на медиане CC₁ и делит её в отношении CM : MC₁ = 2 : 1 от вершины C.
Итак, точка M принадлежит всем трём медианам и делит каждую в отношении 2 : 1, считая от вершины. Это и есть теорема о точке пересечения медиан.
По задаче 1340 гомотетия с центром M и k = –1/2 переводит B в B₁. Значит, точки B, M, B₁ лежат на одной прямой, причём M лежит между B и B₁ (k < 0) и MB₁ = (1/2)MB. Поэтому M принадлежит медиане BB₁ и делит её в отношении BM : MB₁ = 2 : 1, считая от вершины B.
Тот же вычислительный результат (X′ = (A + B + C – X)/2) для X = C даёт C′ = (A + B)/2 = C₁ — середина стороны AB. Значит, при той же гомотетии C переходит в C₁, поэтому M лежит на медиане CC₁ и делит её в отношении CM : MC₁ = 2 : 1 от вершины C.
Итак, точка M принадлежит всем трём медианам и делит каждую в отношении 2 : 1, считая от вершины. Это и есть теорема о точке пересечения медиан.
Вопрос 1. Дайте определение подобных многоугольников.
Два одноимённых (с одинаковым числом углов) выпуклых многоугольника называются подобными, если углы одного многоугольника соответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны. Многоугольник F₁ подобен многоугольнику F, если ∠B₁ = ∠A₁, ∠B₂ = ∠A₂, …, ∠Bₙ = ∠Aₙ и B₁B₂ : A₁A₂ = B₂B₃ : A₂A₃ = … = BₙB₁ : AₙA₁.
Вопрос 2. Что называется коэффициентом подобия двух многоугольников?
Коэффициентом подобия многоугольника F₁ относительно подобного ему многоугольника F называется число k, равное отношению сходственных сторон F₁ и F: k = A₁B₁ / AB. Так как отношение длин положительно, k > 0. Если F₁ ∼ F с коэффициентом k, то F ∼ F₁ с коэффициентом 1/k.
Вопрос 3. Сформулируйте теорему о равенстве подобных многоугольников.
Если два многоугольника подобны и коэффициент подобия равен единице, то такие многоугольники равны. Иначе: если у двух одноимённых многоугольников углы соответственно равны и сходственные стороны равны, то многоугольники равны.
Вопрос 4. Сформулируйте и докажите теорему о периметрах подобных многоугольников.
Теорема. Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство. Пусть A₁A₂…Aₙ ∼ B₁B₂…Bₙ с коэффициентом k. Тогда A₁A₂ = k·B₁B₂, A₂A₃ = k·B₂B₃, …, AₙA₁ = k·BₙB₁. Отношение периметров:
(A₁A₂ + A₂A₃ + … + AₙA₁) / (B₁B₂ + B₂B₃ + … + BₙB₁) = k(B₁B₂ + … + BₙB₁) / (B₁B₂ + … + BₙB₁) = k. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть A₁A₂…Aₙ ∼ B₁B₂…Bₙ с коэффициентом k. Тогда A₁A₂ = k·B₁B₂, A₂A₃ = k·B₂B₃, …, AₙA₁ = k·BₙB₁. Отношение периметров:
(A₁A₂ + A₂A₃ + … + AₙA₁) / (B₁B₂ + B₂B₃ + … + BₙB₁) = k(B₁B₂ + … + BₙB₁) / (B₁B₂ + … + BₙB₁) = k. Теорема доказана.