Глава XV. Вопросы для повторения. Дополнительные задачи — с. 354
Вопрос 5. Сформулируйте и докажите теорему о площадях подобных многоугольников.
Теорема. Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство (для пятиугольников; рассуждение не зависит от числа сторон). Пусть A₁A₂A₃A₄A₅ ∼ B₁B₂B₃B₄B₅ с коэффициентом k. Разобьём их диагоналями из вершин A₁ и B₁ на треугольники △₁, △₂, △₃* и △₁, △₂, △₃.
У △₁ и △₁ угол A₁ равен углу B₁ и A₁A₂ : B₁B₂ = A₂A₃ : B₂B₃ = k, по второму признаку подобия △₁ ∼ △₁ с коэффициентом k. Далее ∠A₁A₃A₄ = ∠A₃ – ∠A₂A₃A₁ = ∠B₃ – ∠B₂B₃B₁ = ∠B₁B₃B₄ (∠A₂A₃A₁ = ∠B₂B₃B₁ из подобия △₁ ∼ △₁), A₁A₃ : B₁B₃ = A₃A₄ : B₃B₄ = k, поэтому △₂ ∼ △₂ с коэффициентом k. Так же △₃* ∼ △₃.
По теореме о площадях подобных треугольников S₁ = k²S₁, S₂ = k²S₂, S₃* = k²S₃. Складывая, получаем S(A₁…A₅) = k²·S(B₁…B₅), то есть S(A₁…A₅) : S(B₁…B₅) = k². Теорема доказана.
Доказательство (для пятиугольников; рассуждение не зависит от числа сторон). Пусть A₁A₂A₃A₄A₅ ∼ B₁B₂B₃B₄B₅ с коэффициентом k. Разобьём их диагоналями из вершин A₁ и B₁ на треугольники △₁, △₂, △₃* и △₁, △₂, △₃.
У △₁ и △₁ угол A₁ равен углу B₁ и A₁A₂ : B₁B₂ = A₂A₃ : B₂B₃ = k, по второму признаку подобия △₁ ∼ △₁ с коэффициентом k. Далее ∠A₁A₃A₄ = ∠A₃ – ∠A₂A₃A₁ = ∠B₃ – ∠B₂B₃B₁ = ∠B₁B₃B₄ (∠A₂A₃A₁ = ∠B₂B₃B₁ из подобия △₁ ∼ △₁), A₁A₃ : B₁B₃ = A₃A₄ : B₃B₄ = k, поэтому △₂ ∼ △₂ с коэффициентом k. Так же △₃* ∼ △₃.
По теореме о площадях подобных треугольников S₁ = k²S₁, S₂ = k²S₂, S₃* = k²S₃. Складывая, получаем S(A₁…A₅) = k²·S(B₁…B₅), то есть S(A₁…A₅) : S(B₁…B₅) = k². Теорема доказана.
Вопрос 6. Какие две фигуры называются гомотетичными (центрально-подобными)?
Выберем точку O и число k ≠ 0. Каждой точке M плоскости, кроме O, поставим в соответствие точку M₁ луча OM (при k > 0) или продолжения луча OM (при k < 0) так, что OM₁ = |k|·OM; точка O соответствует сама себе. Это преобразование плоскости — гомотетия (центральное подобие). Фигуры F и F₁, соответственные друг другу при гомотетии, называются гомотетичными (центрально-подобными).
Вопрос 7. Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом гомотетии двух фигур?
Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?
Точка O, от которой строятся образы, называется центром гомотетии (она неподвижна), а число k — коэффициентом гомотетии: OM₁ = |k|·OM, или в векторной форме OM₁ = k·OM. Да, коэффициент гомотетии может быть отрицательным (любое число k ≠ 0): при k < 0 точка M₁ лежит на продолжении луча OM за точку O, то есть по другую сторону от центра.
Вопрос 8. Что представляет собой гомотетия с коэффициентом k, если: а) k = 1, б) k = –1?
а) При k = 1 каждая точка переходит в себя (OM₁ = OM, M₁ на луче OM), поэтому любая фигура переходит в себя: гомотетия — тождественное преобразование.
б) При k = –1 точка M₁ лежит на продолжении луча OM и OM₁ = OM, то есть симметрична точке M относительно O. Значит, гомотетия с k = –1 — центральная симметрия относительно точки O.
б) При k = –1 точка M₁ лежит на продолжении луча OM и OM₁ = OM, то есть симметрична точке M относительно O. Значит, гомотетия с k = –1 — центральная симметрия относительно точки O.
Вопрос 9. Сформулируйте основные свойства гомотетии.
1°. При гомотетии с коэффициентом, отличным от единицы, прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр, — в параллельную ей прямую.
2°. Если при гомотетии с коэффициентом k концы отрезка AB переходят в точки A₁ и B₁, то отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, причём A₁B₁ = |k|·AB.
3°. При гомотетии с коэффициентом k окружность с центром C и радиусом r переходит в окружность с центром C₁ и радиусом |k|·r, где C₁ — точка, в которую переходит C.
Следствия: луч переходит в луч, полуплоскость — в полуплоскость, угол — в равный ему угол.
2°. Если при гомотетии с коэффициентом k концы отрезка AB переходят в точки A₁ и B₁, то отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, причём A₁B₁ = |k|·AB.
3°. При гомотетии с коэффициентом k окружность с центром C и радиусом r переходит в окружность с центром C₁ и радиусом |k|·r, где C₁ — точка, в которую переходит C.
Следствия: луч переходит в луч, полуплоскость — в полуплоскость, угол — в равный ему угол.
Вопрос 10. Верно ли, что при гомотетии окружность переходит в окружность?
Да, верно. По свойству 3° окружность с центром C и радиусом r переходит в окружность с центром C₁ (образ точки C) и радиусом |k|·r.
Вопрос 11. Можно ли утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол?
Да. По свойству 1° лучи переходят в лучи, а по свойству 2° стороны треугольника, образованного двумя точками на сторонах угла и его вершиной, умножаются на |k|. Треугольники подобны по трём сторонам, поэтому угол переходит в равный ему угол (см. задачу 1315).
Вопрос 12. Сформулируйте и докажите теорему о гомотетии многоугольников.
Теорема. При гомотетии с коэффициентом k многоугольник переходит в подобный ему многоугольник, причём коэффициент подобия равен |k|.
Доказательство. Пусть A₁A₂…Aₙ — многоугольник. По свойству 2° при гомотетии он переходит в многоугольник B₁B₂…Bₙ, причём B₁B₂ = |k|·A₁A₂, B₂B₃ = |k|·A₂A₃, …, BₙB₁ = |k|·AₙA₁. Угол переходит в равный ему угол, поэтому ∠B₁ = ∠A₁, ∠B₂ = ∠A₂, …, ∠Bₙ = ∠Aₙ. Значит, углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом |k|, то есть B₁B₂…Bₙ ∼ A₁A₂…Aₙ с коэффициентом |k|. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть A₁A₂…Aₙ — многоугольник. По свойству 2° при гомотетии он переходит в многоугольник B₁B₂…Bₙ, причём B₁B₂ = |k|·A₁A₂, B₂B₃ = |k|·A₂A₃, …, BₙB₁ = |k|·AₙA₁. Угол переходит в равный ему угол, поэтому ∠B₁ = ∠A₁, ∠B₂ = ∠A₂, …, ∠Bₙ = ∠Aₙ. Значит, углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом |k|, то есть B₁B₂…Bₙ ∼ A₁A₂…Aₙ с коэффициентом |k|. Теорема доказана.
Вопрос 13. Какие две фигуры называются подобными?
Фигура F₁ называется подобной фигуре F, если она равна некоторой фигуре F*, гомотетичной фигуре F. Иначе говоря, подобие — это гомотетия, за которой может следовать движение (равенство).
Вопрос 14. Что мы понимаем под коэффициентом подобия?
Может ли коэффициент подобия быть отрицательным числом?
Если k — коэффициент гомотетии фигур F и F, то положительное число |k| называется коэффициентом подобия фигуры F₁ относительно фигуры F (F₁ равна F). Коэффициент подобия отрицательным быть не может: это модуль коэффициента гомотетии (в случае многоугольников — отношение длин сходственных сторон, то есть положительное число).
Вопрос 15. Сформулируйте основные свойства подобия фигур.
а) Если F₁ ∼ F с коэффициентом k, то F ∼ F₁ с коэффициентом 1/k.
б) Если F₂ ∼ F₁ с коэффициентом n и F₁ ∼ F с коэффициентом k, то F₂ ∼ F с коэффициентом nk (транзитивность подобия).
Кроме того, каждая фигура подобна себе самой (коэффициент 1).
б) Если F₂ ∼ F₁ с коэффициентом n и F₁ ∼ F с коэффициентом k, то F₂ ∼ F с коэффициентом nk (транзитивность подобия).
Кроме того, каждая фигура подобна себе самой (коэффициент 1).
Вопрос 16. Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Объясните, как построить фигуру F₁, гомотетичную данной фигуре F, если фигура F является: а) точкой; б) многоугольником; в) окружностью.
Коэффициент гомотетии определяется парой A, A₁: k = OA₁ / OA, при этом A₁ на луче OA (k > 0) или на противоположном (k < 0).
а) F — точка M. Если M не лежит на прямой AA₁, проводим прямую OM и через A₁ прямую, параллельную AM; их пересечение — точка M₁. Если M лежит на прямой AA₁, берём вспомогательную точку B вне прямой OA, строим B₁ тем же способом, а затем по паре B, B₁ строим M₁ (задача 1321).
б) F — многоугольник. Строим образы всех вершин (как в пункте а) и соединяем их в том же порядке: получаем гомотетичный многоугольник со сторонами, параллельными сторонам данного.
в) F — окружность с центром C. Строим образ C₁ центра C (по пункту а); радиус новой окружности равен |k|·r; если данная окружность проходит через A, то искомая окружность с центром C₁ проходит через A₁ и её радиус C₁A₁ (задача 1323).
а) F — точка M. Если M не лежит на прямой AA₁, проводим прямую OM и через A₁ прямую, параллельную AM; их пересечение — точка M₁. Если M лежит на прямой AA₁, берём вспомогательную точку B вне прямой OA, строим B₁ тем же способом, а затем по паре B, B₁ строим M₁ (задача 1321).
б) F — многоугольник. Строим образы всех вершин (как в пункте а) и соединяем их в том же порядке: получаем гомотетичный многоугольник со сторонами, параллельными сторонам данного.
в) F — окружность с центром C. Строим образ C₁ центра C (по пункту а); радиус новой окружности равен |k|·r; если данная окружность проходит через A, то искомая окружность с центром C₁ проходит через A₁ и её радиус C₁A₁ (задача 1323).
Вопрос 17. Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности.
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Рассмотрим треугольники AMC и DMB. Углы CAM и BDM (на рисунке углы 1 и 2) вписанные и опираются на одну дугу CB, поэтому равны; углы AMC и DMB равны как вертикальные. По первому признаку подобия △AMC ∼ △DMB. Отсюда MA / MD = MC / MB, то есть MA·MB = MC·MD. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Рассмотрим треугольники AMC и DMB. Углы CAM и BDM (на рисунке углы 1 и 2) вписанные и опираются на одну дугу CB, поэтому равны; углы AMC и DMB равны как вертикальные. По первому признаку подобия △AMC ∼ △DMB. Отсюда MA / MD = MC / MB, то есть MA·MB = MC·MD. Теорема доказана.
Вопрос 18. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате отрезка касательной к окружности.
Теорема. Если через внешнюю точку к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.
Доказательство. Пусть M — внешняя точка, MK — касательная (K — точка касания), секущая пересекает окружность в точках A и B (A ближе к M). Рассмотрим треугольники MKA и MBK. Угол MKA равен углу KBA: каждый измеряется половиной дуги AK (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный). Угол M у них общий. По первому признаку △MKA ∼ △MBK. Отсюда MK / MB = MA / MK, то есть MK² = MA·MB. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть M — внешняя точка, MK — касательная (K — точка касания), секущая пересекает окружность в точках A и B (A ближе к M). Рассмотрим треугольники MKA и MBK. Угол MKA равен углу KBA: каждый измеряется половиной дуги AK (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный). Угол M у них общий. По первому признаку △MKA ∼ △MBK. Отсюда MK / MB = MA / MK, то есть MK² = MA·MB. Теорема доказана.
Вопрос 19. Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков секущих.
Теорема. Если через точку M, лежащую вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.
Доказательство. Пусть первая секущая пересекает окружность в точках A и B, вторая — в точках C и D, MA < MB, MC < MD. Проведём из M касательную MK. По теореме о квадрате касательной MK² = MA·MB и MK² = MC·MD. Значит, MA·MB = MC·MD. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть первая секущая пересекает окружность в точках A и B, вторая — в точках C и D, MA < MB, MC < MD. Проведём из M касательную MK. По теореме о квадрате касательной MK² = MA·MB и MK² = MC·MD. Значит, MA·MB = MC·MD. Теорема доказана.
Вопрос 20. Докажите, что середины всех хорд окружности, один конец которых совпадает с данной точкой, есть окружность.
Пусть C — центр окружности ω радиуса r, A — данная точка на ω. Рассмотрим гомотетию с центром A и коэффициентом 1/2. Каждая точка X окружности ω переходит в середину X₁ хорды AX. По свойству 3° окружность ω переходит в окружность с центром C₁ — серединой отрезка AC — и радиусом r/2. Так как гомотетия взаимно однозначна, середины всех хорд, проведённых из A, образуют именно эту окружность, то есть окружность, построенную на AC как на диаметре. Что и требовалось доказать.
Вопрос 21. Объясните, как построить окружность, которая проходит через данную внутреннюю точку угла и касается сторон этого угла.
Пусть O — вершина угла hk, A — данная точка. Пользуемся гомотетией с центром O.
1) Проводим биссектрису m угла; выбираем на ней произвольную точку C₁ и опускаем перпендикуляр C₁H₁ на h. Окружность F₁ с центром C₁ и радиусом C₁H₁ касается обеих сторон угла.
2) Проводим луч OA; он пересекает F₁ в точках A₁ и A₂.
3) Строим окружность F, в которую переходит F₁ при гомотетии с центром O, переводящей A₁ в A (центр: через A проводим прямую, параллельную A₁C₁, она пересекает m в точке C; радиус CA). Окружность F касается сторон угла (гомотетия сохраняет касание) и проходит через A.
4) Аналогично, взяв точку A₂ вместо A₁, получаем вторую окружность. Задача всегда имеет два решения.
1) Проводим биссектрису m угла; выбираем на ней произвольную точку C₁ и опускаем перпендикуляр C₁H₁ на h. Окружность F₁ с центром C₁ и радиусом C₁H₁ касается обеих сторон угла.
2) Проводим луч OA; он пересекает F₁ в точках A₁ и A₂.
3) Строим окружность F, в которую переходит F₁ при гомотетии с центром O, переводящей A₁ в A (центр: через A проводим прямую, параллельную A₁C₁, она пересекает m в точке C; радиус CA). Окружность F касается сторон угла (гомотетия сохраняет касание) и проходит через A.
4) Аналогично, взяв точку A₂ вместо A₁, получаем вторую окружность. Задача всегда имеет два решения.
1342. При данном движении каждая из двух точек A и B отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой AB отображается на себя.
Пусть g — данное движение, g(A) = A, g(B) = B, M — любая точка прямой AB, M′ = g(M). Движение сохраняет расстояния, поэтому AM′ = AM и BM′ = BM.
Предположим, что M′ ≠ M. Тогда точки A и B равноудалены от M и M′, значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MM′. Так как A ≠ B, то этот серединный перпендикуляр — прямая AB. Но M лежит на прямой AB, а точка, лежащая на серединном перпендикуляре к MM′, равноудалена от M и M′; для самой M это даёт MM′ = 0, то есть M′ = M — противоречие.
Следовательно, M′ = M: любая точка прямой AB отображается на себя. (Для M = A и M = B утверждение очевидно.)
Предположим, что M′ ≠ M. Тогда точки A и B равноудалены от M и M′, значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MM′. Так как A ≠ B, то этот серединный перпендикуляр — прямая AB. Но M лежит на прямой AB, а точка, лежащая на серединном перпендикуляре к MM′, равноудалена от M и M′; для самой M это даёт MM′ = 0, то есть M′ = M — противоречие.
Следовательно, M′ = M: любая точка прямой AB отображается на себя. (Для M = A и M = B утверждение очевидно.)