Глава XV. Вопросы для повторения. Дополнительные задачи — с. 355
1343. При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.
По задаче 1342 каждая точка прямых AB, BC и CA отображается на себя.
Пусть X — произвольная точка плоскости, не лежащая на этих прямых. Проведём через X прямую l, не проходящую через B и не параллельную ни AB, ни BC. Она пересекает прямую AB в точке P, прямую BC в точке Q, причём P ≠ Q (иначе P = Q = B, а l не проходит через B). Точки P и Q неподвижны, поэтому по задаче 1342 неподвижна каждая точка прямой PQ = l, в частности X.
Итак, любая точка плоскости отображается на себя, то есть движение — тождественное преобразование.
Пусть X — произвольная точка плоскости, не лежащая на этих прямых. Проведём через X прямую l, не проходящую через B и не параллельную ни AB, ни BC. Она пересекает прямую AB в точке P, прямую BC в точке Q, причём P ≠ Q (иначе P = Q = B, а l не проходит через B). Точки P и Q неподвижны, поэтому по задаче 1342 неподвижна каждая точка прямой PQ = l, в частности X.
Итак, любая точка плоскости отображается на себя, то есть движение — тождественное преобразование.
1344. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
а) Пусть AB = A₁B₁, AD = A₁D₁ у прямоугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁. Все углы прямоугольников прямые, то есть соответственно равны. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому BC = AD = A₁D₁ = B₁C₁ и CD = AB = A₁B₁ = C₁D₁: все сходственные стороны равны. Многоугольники подобны с коэффициентом 1, а по теореме п. 131 подобные многоугольники с коэффициентом подобия 1 равны. (Можно и наложением: совмещаем A с A₁, AB с A₁B₁, AD с A₁D₁ — тогда B = B₁, D = D₁ и C = C₁.)
б) Пусть AB = A₁B₁ и диагонали AC = A₁C₁. Из прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ по теореме Пифагора BC² = AC² – AB² = A₁C₁² – A₁B₁² = B₁C₁², значит, BC = B₁C₁. Теперь у прямоугольников равны смежные стороны AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, и по пункту а) прямоугольники равны.
б) Пусть AB = A₁B₁ и диагонали AC = A₁C₁. Из прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ по теореме Пифагора BC² = AC² – AB² = A₁C₁² – A₁B₁² = B₁C₁², значит, BC = B₁C₁. Теперь у прямоугольников равны смежные стороны AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, и по пункту а) прямоугольники равны.
1345. На каждом из рисунков 414, а и б изображены два подобных многоугольника. Найдите x, y, z, α и β. [рисунок 414, а: большой четырёхугольник со сторонами 21, 15, 18, 12 и углами 60° и β, малый со сторонами x, y, z, 8 и углами α, 110°; рисунок 414, б: большой четырёхугольник со сторонами 21, 18, 27, y и углами 50° и β, малый со сторонами 18, x, 12, z и углами α, 70°; равные углы отмечены дугами]
а) Одинаково отмеченные дугами углы равны. Углы 60° большого и α малого равны, углы β большого и 110° малого равны, поэтому α = 60°, β = 110°. Сходственные стороны: 18 (большой) и 8 (малый), 21 и y, 12 и z, 15 и x. Коэффициент подобия большого относительно малого k = 18 : 8 = 9/4. Тогда y = 21 : (9/4) = 28/3 = 9 1/3, z = 12 : (9/4) = 16/3 = 5 1/3, x = 15 : (9/4) = 20/3 = 6 2/3.
б) Угол β большого равен углу 70° малого (углы между сторонами 21 и 18 в большом и x и 12 в малом): β = 70°; угол 50° большого равен α малого: α = 50°. Сходственные стороны: 18 (большой) и 12 (малый), 21 и x, y и 18, 27 и z. Коэффициент k = 18 : 12 = 3/2. Тогда x = 21 : (3/2) = 14, y = 18·(3/2) = 27, z = 27 : (3/2) = 18.
Ответ: а) x = 6 2/3, y = 9 1/3, z = 5 1/3, α = 60°, β = 110°; б) x = 14, y = 27, z = 18, α = 50°, β = 70°.
б) Угол β большого равен углу 70° малого (углы между сторонами 21 и 18 в большом и x и 12 в малом): β = 70°; угол 50° большого равен α малого: α = 50°. Сходственные стороны: 18 (большой) и 12 (малый), 21 и x, y и 18, 27 и z. Коэффициент k = 18 : 12 = 3/2. Тогда x = 21 : (3/2) = 14, y = 18·(3/2) = 27, z = 27 : (3/2) = 18.
Ответ: а) x = 6 2/3, y = 9 1/3, z = 5 1/3, α = 60°, β = 110°; б) x = 14, y = 27, z = 18, α = 50°, β = 70°.
1346. В треугольник АВС вписан параллелограмм APNM так, как показано на рисунке 415. Известно, что АС = 32 см, АВ = 24 см, а стороны параллелограмма относятся к друг другу как 4 :
3. Определите длины сторон параллелограмма. [рисунок 415: вершина M параллелограмма на стороне AB, N на BC, P на AC]
Пусть AP = x (на стороне AC), AM = y (на стороне AB). Тогда MN = AP = x, MN ∥ AC. Треугольники BMN и BAC подобны (MN ∥ AC): MN : AC = BM : BA, то есть x / 32 = (24 – y) / 24.
Случай 1. x : y = 4 : 3, x = 4t, y = 3t: 4t/32 = (24 – 3t)/24 ⇒ t/8 = (24 – 3t)/24 ⇒ 3t = 24 – 3t ⇒ t = 4. Тогда AP = 16 см, AM = 12 см.
Случай 2. x : y = 3 : 4, x = 3t, y = 4t: 3t/32 = (24 – 4t)/24 ⇒ 72t = 32(24 – 4t) ⇒ 200t = 768 ⇒ t = 3,84. Тогда AP = 11,52 см, AM = 15,36 см.
Ответ: 12 см и 16 см или 15,36 см и 11,52 см.
Случай 1. x : y = 4 : 3, x = 4t, y = 3t: 4t/32 = (24 – 3t)/24 ⇒ t/8 = (24 – 3t)/24 ⇒ 3t = 24 – 3t ⇒ t = 4. Тогда AP = 16 см, AM = 12 см.
Случай 2. x : y = 3 : 4, x = 3t, y = 4t: 3t/32 = (24 – 4t)/24 ⇒ 72t = 32(24 – 4t) ⇒ 200t = 768 ⇒ t = 3,84. Тогда AP = 11,52 см, AM = 15,36 см.
Ответ: 12 см и 16 см или 15,36 см и 11,52 см.
1347. На рисунке 416 ABCD — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников DPQ и APB; б) треугольников DPQ и СBQ. [рисунок 416: параллелограмм ABCD, AB = 24, на стороне DC точка Q, DQ = 8, QC = 16; точка P лежит на продолжении AD за D, P, Q, B на одной прямой]
Так как DC = AB = 24 и DQ = 8, QC = 16 (8 + 16 = 24).
а) DQ ∥ AB, поэтому △DPQ ∼ △APB (угол P общий, ∠PDQ = ∠PAB как соответственные). Коэффициент подобия DQ : AB = 8 : 24 = 1 : 3. Отношение площадей S(DPQ) : S(APB) = (1/3)² = 1 : 9.
б) DP ∥ CB (AD ∥ BC), поэтому △DPQ ∼ △CBQ (∠DQP = ∠CQB как вертикальные, ∠PDQ = ∠BCQ как накрест лежащие). Коэффициент подобия DQ : CQ = 8 : 16 = 1 : 2, отношение площадей равно 1 : 4.
Ответ: а) 1 : 9; б) 1 : 4.
а) DQ ∥ AB, поэтому △DPQ ∼ △APB (угол P общий, ∠PDQ = ∠PAB как соответственные). Коэффициент подобия DQ : AB = 8 : 24 = 1 : 3. Отношение площадей S(DPQ) : S(APB) = (1/3)² = 1 : 9.
б) DP ∥ CB (AD ∥ BC), поэтому △DPQ ∼ △CBQ (∠DQP = ∠CQB как вертикальные, ∠PDQ = ∠BCQ как накрест лежащие). Коэффициент подобия DQ : CQ = 8 : 16 = 1 : 2, отношение площадей равно 1 : 4.
Ответ: а) 1 : 9; б) 1 : 4.
1348. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику АВС, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника АВС.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому нужно построить треугольник с коэффициентом подобия k = √2 (k² = 2).
Построение.
1) Строим квадрат ABEF на стороне AB. Его диагональ AE = AB·√2.
2) Строим окружность с центром A радиуса AE (или откладываем AE циркулем) и отмечаем точку B₁ пересечения с лучом AB: AB₁ = AE = √2·AB.
3) Через B₁ проводим прямую, параллельную BC; она пересекает луч AC в точке C₁. Пусть A₁ = A.
Треугольник A₁B₁C₁ = AB₁C₁ — искомый.
Доказательство. Прямая B₁C₁ ∥ BC, поэтому △AB₁C₁ ∼ △ABC (по двум углам; это гомотетия с центром A) с коэффициентом AB₁ : AB = √2. Тогда S(AB₁C₁) : S(ABC) = (√2)² = 2, то есть площадь вдвое больше.
На рисунке исходный треугольник чёрный, искомый — красный.
Построение.
1) Строим квадрат ABEF на стороне AB. Его диагональ AE = AB·√2.
2) Строим окружность с центром A радиуса AE (или откладываем AE циркулем) и отмечаем точку B₁ пересечения с лучом AB: AB₁ = AE = √2·AB.
3) Через B₁ проводим прямую, параллельную BC; она пересекает луч AC в точке C₁. Пусть A₁ = A.
Треугольник A₁B₁C₁ = AB₁C₁ — искомый.
Доказательство. Прямая B₁C₁ ∥ BC, поэтому △AB₁C₁ ∼ △ABC (по двум углам; это гомотетия с центром A) с коэффициентом AB₁ : AB = √2. Тогда S(AB₁C₁) : S(ABC) = (√2)² = 2, то есть площадь вдвое больше.
На рисунке исходный треугольник чёрный, искомый — красный.
1349. Дан квадрат АВСD, площадь которого равна S. Постройте квадраты, площади которых равны: а) 1/4 S; б) 1/9 S; в) 3S.
Пусть a — сторона квадрата ABCD, S = a². Площадь квадрата со стороной b равна b².
а) Нужна сторона b = a/2: делим сторону AB пополам (серединный перпендикуляр) и строим квадрат на половине стороны. Его площадь (a/2)² = S/4.
б) b = a/3: делим сторону AB на три равные части (через A проводим вспомогательный луч, откладываем три равных отрезка, соединяем конец третьего с B и проводим параллельные прямые) и строим квадрат на одной трети стороны: (a/3)² = S/9.
в) b = a√3. Диагональ AC = a√2. В точке C проводим перпендикуляр к AC и откладываем на нём CE = a (равную стороне). Тогда AE² = AC² + CE² = 2a² + a² = 3a², AE = a√3. Строим квадрат со стороной AE; его площадь 3a² = 3S.
На рисунке слева — квадрат ABCD с построением гипотенузы AE, справа красным показаны построенные квадраты (в одном масштабе с ABCD).
а) Нужна сторона b = a/2: делим сторону AB пополам (серединный перпендикуляр) и строим квадрат на половине стороны. Его площадь (a/2)² = S/4.
б) b = a/3: делим сторону AB на три равные части (через A проводим вспомогательный луч, откладываем три равных отрезка, соединяем конец третьего с B и проводим параллельные прямые) и строим квадрат на одной трети стороны: (a/3)² = S/9.
в) b = a√3. Диагональ AC = a√2. В точке C проводим перпендикуляр к AC и откладываем на нём CE = a (равную стороне). Тогда AE² = AC² + CE² = 2a² + a² = 3a², AE = a√3. Строим квадрат со стороной AE; его площадь 3a² = 3S.
На рисунке слева — квадрат ABCD с построением гипотенузы AE, справа красным показаны построенные квадраты (в одном масштабе с ABCD).
1350. На прямой отмечены точки на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 417). Найдите коэффициент k гомотетии, если известно, что: а) точка N переходит в точку P и M — центр гомотетии; б) точка Q переходит в точку N и P — центр гомотетии; в) точка M переходит в точку R и N — центр гомотетии; г) точка M переходит в точку Q и R — центр гомотетии. [рисунок 417: на прямой десять равноотстоящих точек; подписаны M — первая, N — третья, P — шестая, Q — восьмая, R — десятая]
Примем за единицу длины расстояние между соседними точками на прямой. По рисунку между подписанными точками MN = 2, NP = 3, PQ = 2, QR = 2 единицы. Введём координату на прямой: M = 0, N = 2, P = 5, Q = 7, R = 9. Если центр O переводит точку X в X₁, то k = OX₁ / OX с учётом знака, то есть k = (x₁ – o) / (x – o).
а) Центр M = 0, N = 2 ↦ P = 5: k = 5 / 2 = 5/2.
б) Центр P = 5, Q = 7 ↦ N = 2: k = (2 – 5) / (7 – 5) = –3/2.
в) Центр N = 2, M = 0 ↦ R = 9: k = (9 – 2) / (0 – 2) = –7/2.
г) Центр R = 9, M = 0 ↦ Q = 7: k = (7 – 9) / (0 – 9) = 2/9.
Ответ: а) 5/2; б) –3/2; в) –7/2; г) 2/9.
Оговорка: положение подписанных точек (1-я, 3-я, 6-я, 8-я и 10-я из десяти отмеченных) прочитано с рисунка.
а) Центр M = 0, N = 2 ↦ P = 5: k = 5 / 2 = 5/2.
б) Центр P = 5, Q = 7 ↦ N = 2: k = (2 – 5) / (7 – 5) = –3/2.
в) Центр N = 2, M = 0 ↦ R = 9: k = (9 – 2) / (0 – 2) = –7/2.
г) Центр R = 9, M = 0 ↦ Q = 7: k = (7 – 9) / (0 – 9) = 2/9.
Ответ: а) 5/2; б) –3/2; в) –7/2; г) 2/9.
Оговорка: положение подписанных точек (1-я, 3-я, 6-я, 8-я и 10-я из десяти отмеченных) прочитано с рисунка.