Глава XV. §2. Преобразование подобия — с. 347
1324. Начертите окружность с центром С и произвольным радиусом r и постройте фигуру, в которую переходит эта окружность при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) О принадлежит данной окружности, k = 1/2; б) О принадлежит данной окружности, k = –1/2; в) О не принадлежит данной окружности, k = 3.
При гомотетии с центром O и коэффициентом k окружность с центром C и радиусом r переходит в окружность с центром C₁ = H(C) и радиусом |k|·r; центр C₁ лежит на прямой OC, OC₁ = |k|·OC.
а) O на окружности, k = 1/2. Тогда OC = r, C₁ — середина отрезка OC, радиус r/2. Окружность радиуса r/2 с центром C₁ проходит через O (так как O неподвижна и принадлежит данной окружности) и касается данной окружности в точке O изнутри.
б) O на окружности, k = –1/2. C₁ лежит на продолжении луча CO за O, OC₁ = r/2, радиус r/2. Окружность проходит через O и касается данной окружности в точке O извне.
в) O не лежит на окружности, k = 3: C₁ на луче OC, OC₁ = 3·OC, радиус 3r. Получаем окружность радиуса 3r, центр которой в три раза дальше от O, чем C.
На рисунке: слева — пункты а) (красная) и б) (синяя), справа — пункт в) (зелёная); данные окружности чёрные.
а) O на окружности, k = 1/2. Тогда OC = r, C₁ — середина отрезка OC, радиус r/2. Окружность радиуса r/2 с центром C₁ проходит через O (так как O неподвижна и принадлежит данной окружности) и касается данной окружности в точке O изнутри.
б) O на окружности, k = –1/2. C₁ лежит на продолжении луча CO за O, OC₁ = r/2, радиус r/2. Окружность проходит через O и касается данной окружности в точке O извне.
в) O не лежит на окружности, k = 3: C₁ на луче OC, OC₁ = 3·OC, радиус 3r. Получаем окружность радиуса 3r, центр которой в три раза дальше от O, чем C.
На рисунке: слева — пункты а) (красная) и б) (синяя), справа — пункт в) (зелёная); данные окружности чёрные.