Глава XIII. Задачи (окончание). Вопросы для повторения к главе XIII — с. 311
15. Что такое круговой сектор?
Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.
Круговым сектором (сектором) называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, ограничивающая сектор, называется дугой сектора.
Вывод формулы. Площадь всего круга радиуса R равна πR², а градусная мера окружности 360°. Поэтому сектор, ограниченный дугой в 1°, имеет площадь πR²/360. Сектор с дугой в α градусов состоит из α таких частей, значит, S = πR²/360 · α.
Вывод формулы. Площадь всего круга радиуса R равна πR², а градусная мера окружности 360°. Поэтому сектор, ограниченный дугой в 1°, имеет площадь πR²/360. Сектор с дугой в α градусов состоит из α таких частей, значит, S = πR²/360 · α.
16. Что такое круговой сегмент?
Объясните, как можно вычислить его площадь.
Круговым сегментом (сегментом) называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Если градусная мера дуги меньше 180°, площадь сегмента равна разности площади сектора с этой дугой и площади равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента: S сегмента = πR²α/360 − (1/2)R² sin α. Если дуга больше 180°, то к площади сектора треугольник прибавляется (или из площади круга вычитается площадь сегмента, ограниченного меньшей дугой).
Если градусная мера дуги меньше 180°, площадь сегмента равна разности площади сектора с этой дугой и площади равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента: S сегмента = πR²α/360 − (1/2)R² sin α. Если дуга больше 180°, то к площади сектора треугольник прибавляется (или из площади круга вычитается площадь сегмента, ограниченного меньшей дугой).
1221. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?
Внешний угол правильного n-угольника равен 180° − αn = 360°/n (сумма внешних углов — 360°, и они равны), поэтому n = 360° : (внешний угол).
а) 360 : 18 = 20.
б) 360 : 40 = 9.
в) 360 : 72 = 5.
г) 360 : 60 = 6.
Ответ: а) 20; б) 9; в) 5; г) 6.
а) 360 : 18 = 20.
б) 360 : 40 = 9.
в) 360 : 72 = 5.
г) 360 : 60 = 6.
Ответ: а) 20; б) 9; в) 5; г) 6.
1222. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Сторона правильного треугольника a3 = R√3 = 3√3 дм. Это сторона квадрата, поэтому радиус окружности, описанной около квадрата со стороной a, равен половине диагонали: R′ = a√2/2 = 3√3 · √2/2 = 3√6/2 дм.
Ответ: 3√6/2 дм (≈ 3,67 дм).
Ответ: 3√6/2 дм (≈ 3,67 дм).
1223. Найдите периметр правильного шестиугольника А1А2А3А4А5А6, если A1A4 = 2,24 см.
Диагональ A1A4 соединяет противоположные вершины и проходит через центр, поэтому она равна диаметру описанной окружности: 2R = 2,24 см, R = 1,12 см. Сторона правильного шестиугольника a6 = R = 1,12 см. Периметр P = 6 · 1,12 = 6,72 см.
Ответ: 6,72 см.
Ответ: 6,72 см.
1224. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.
а) Пусть радиус окружности R. Для вписанных фигур a3 = R√3, a4 = R√2, поэтому P3 = 3√3R, P4 = 4√2R. P3 : P4 = 3√3/(4√2) = 3√6/8.
б) Пусть радиус окружности r. Для описанных фигур сторона треугольника a3 = 2√3r (так как r = a3/(2√3)), сторона квадрата a4 = 2r. P3 = 6√3r, P4 = 8r. P3 : P4 = 6√3/8 = 3√3/4.
Ответ: а) 3√6/8; б) 3√3/4.
б) Пусть радиус окружности r. Для описанных фигур сторона треугольника a3 = 2√3r (так как r = a3/(2√3)), сторона квадрата a4 = 2r. P3 = 6√3r, P4 = 8r. P3 : P4 = 6√3/8 = 3√3/4.
Ответ: а) 3√6/8; б) 3√3/4.
1225. Диагонали А1А6 и A2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке B (рис. 355). Докажите, что: а) треугольники A1A2B и A6A9B равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности. [рисунок 355: правильный двенадцатиугольник A1A2...A12, вписанный в окружность с центром O; проведены диагонали A1A6 и A2A9, пересекающиеся в точке B]
Вершины делят описанную окружность на 12 равных дуг по 30°.
а) ∠A2A1A6 — вписанный, опирается на дугу A2A3A4A5A6, содержащую 4 дуги, то есть 120°, поэтому ∠A2A1A6 = 60°. ∠A1A2A9 опирается на дугу A9A10A11A12A1, также 4 дуги = 120°, поэтому ∠A1A2A9 = 60°. В треугольнике A1A2B два угла по 60°, значит, и третий 60°, и он равносторонний.
В треугольнике A6A9B: ∠A9A6A1 опирается на дугу A9A10A11A12A1 (120°), поэтому равен 60°; ∠A6A9A2 опирается на дугу A2A3A4A5A6 (120°), поэтому равен 60°. Значит, и этот треугольник равносторонний.
б) Диагональ A1A6 стягивает дугу из 5 дуг по 30°, то есть 150°. Поэтому A1A6 = 2R sin(150°/2) = 2R sin 75°. Радиус вписанной окружности r = R cos(180°/12) = R cos 15°. Так как sin 75° = cos 15°, то A1A6 = 2R cos 15° = 2r. Что и требовалось доказать.
а) ∠A2A1A6 — вписанный, опирается на дугу A2A3A4A5A6, содержащую 4 дуги, то есть 120°, поэтому ∠A2A1A6 = 60°. ∠A1A2A9 опирается на дугу A9A10A11A12A1, также 4 дуги = 120°, поэтому ∠A1A2A9 = 60°. В треугольнике A1A2B два угла по 60°, значит, и третий 60°, и он равносторонний.
В треугольнике A6A9B: ∠A9A6A1 опирается на дугу A9A10A11A12A1 (120°), поэтому равен 60°; ∠A6A9A2 опирается на дугу A2A3A4A5A6 (120°), поэтому равен 60°. Значит, и этот треугольник равносторонний.
б) Диагональ A1A6 стягивает дугу из 5 дуг по 30°, то есть 150°. Поэтому A1A6 = 2R sin(150°/2) = 2R sin 75°. Радиус вписанной окружности r = R cos(180°/12) = R cos 15°. Так как sin 75° = cos 15°, то A1A6 = 2R cos 15° = 2r. Что и требовалось доказать.
1226. Диагонали A1A4 и А2A7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B (рис. 356). Докажите, что: а) А2A7 = 2R; б) △A1A2B и △BA4O — подобные равнобедренные треугольники; в) А1A4 − А1A2 = R. [рисунок 356: правильный десятиугольник A1...A10 с центром O, проведены диагонали A1A4 и A2A7 (пересекаются в точке B) и радиус OA4]
Вершины делят окружность на 10 дуг по 36°.
а) Между A2 и A7 лежат 5 дуг, то есть 180°, поэтому A2A7 — диаметр: A2A7 = 2R (и проходит через центр O).
б) ∠A1A2B = ∠A1A2A7 — вписанный, опирается на дугу A7A8A9A10A1 (4 дуги = 144°), поэтому равен 72°. ∠A2A1B = ∠A2A1A4 опирается на дугу A2A3A4 (72°), поэтому равен 36°. Тогда ∠A1BA2 = 180° − 72° − 36° = 72° = ∠A1A2B, значит, треугольник A1A2B равнобедренный (A1A2 = A1B) с углами 36°, 72°, 72°.
Точка B лежит на диаметре A2A7, поэтому ∠BOA4 = ∠A2OA4 = 2 · 36° = 72°. Треугольник A1OA4 равнобедренный (OA1 = OA4) с центральным углом ∠A1OA4 = 3 · 36° = 108°, поэтому ∠OA4A1 = (180° − 108°) : 2 = 36°, то есть ∠BA4O = 36°. Тогда ∠OBA4 = 180° − 72° − 36° = 72° = ∠BOA4, и треугольник BA4O равнобедренный (A4B = A4O = R) с углами 36°, 72°, 72°.
У треугольников A1A2B и BA4O углы соответственно равны (36°, 72°, 72°), поэтому они подобны.
в) Из пункта б): A1B = A1A2 и BA4 = A4O = R. Так как B лежит на отрезке A1A4 (диагонали пересекаются внутри окружности), A1A4 = A1B + BA4 = A1A2 + R, то есть A1A4 − A1A2 = R. Что и требовалось доказать.
а) Между A2 и A7 лежат 5 дуг, то есть 180°, поэтому A2A7 — диаметр: A2A7 = 2R (и проходит через центр O).
б) ∠A1A2B = ∠A1A2A7 — вписанный, опирается на дугу A7A8A9A10A1 (4 дуги = 144°), поэтому равен 72°. ∠A2A1B = ∠A2A1A4 опирается на дугу A2A3A4 (72°), поэтому равен 36°. Тогда ∠A1BA2 = 180° − 72° − 36° = 72° = ∠A1A2B, значит, треугольник A1A2B равнобедренный (A1A2 = A1B) с углами 36°, 72°, 72°.
Точка B лежит на диаметре A2A7, поэтому ∠BOA4 = ∠A2OA4 = 2 · 36° = 72°. Треугольник A1OA4 равнобедренный (OA1 = OA4) с центральным углом ∠A1OA4 = 3 · 36° = 108°, поэтому ∠OA4A1 = (180° − 108°) : 2 = 36°, то есть ∠BA4O = 36°. Тогда ∠OBA4 = 180° − 72° − 36° = 72° = ∠BOA4, и треугольник BA4O равнобедренный (A4B = A4O = R) с углами 36°, 72°, 72°.
У треугольников A1A2B и BA4O углы соответственно равны (36°, 72°, 72°), поэтому они подобны.
в) Из пункта б): A1B = A1A2 и BA4 = A4O = R. Так как B лежит на отрезке A1A4 (диагонали пересекаются внутри окружности), A1A4 = A1B + BA4 = A1A2 + R, то есть A1A4 − A1A2 = R. Что и требовалось доказать.
1227. В круг, площадь которого равна 36π см², вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.
Из πR² = 36π получаем R = 6 см. Сторона правильного шестиугольника a6 = R = 6 см. Шестиугольник состоит из шести правильных треугольников со стороной 6 см: S = 6 · 6²√3/4 = 54√3 см².
Ответ: 6 см; 54√3 см².
Ответ: 6 см; 54√3 см².
1228. Квадрат А1А2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что А1В1 = А2В2 = А3В3 = А4В4 = А1С1 = А2С2 = А3С3 = А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник В1С3В2С4В3С1В4C2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R. [рисунок 357: квадрат A1A2A3A4, вписанный в окружность; на каждой стороне отмечены две точки, у каждой вершины срезан угол; получен восьмиугольник]
Сторона квадрата a4 = R√2. Точки отложены от вершин на расстояние R вдоль сторон, поэтому от другого конца каждой стороны они находятся на расстоянии R√2 − R = R(√2 − 1). Значит, восьмиугольник получен из квадрата отрезанием при каждой вершине равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами t = R(√2 − 1) (например, при A2 — отрезанием треугольника A2B1C3). Всего отрезаны 4 одинаковых треугольника.
Стороны. Отрезанные гипотенузы B1C3 и т. д. равны t√2 = R(2 − √2). Оставшиеся части сторон квадрата (например, C2B1 на стороне A1A2) равны R√2 − 2t = R√2 − 2R(√2 − 1) = R(2 − √2). Значит, все восемь сторон восьмиугольника равны.
Углы. В отрезанном треугольнике острые углы по 45°, поэтому у восьмиугольника в каждой вершине угол равен 180° − 45° = 135°. Все углы равны, многоугольник выпуклый (получен отсечением углов выпуклого квадрата), поэтому восьмиугольник правильный.
Площадь. Сторона восьмиугольника s = R(2 − √2). S = площадь квадрата − 4 площади отрезанных треугольников = 2R² − 4 · t²/2 = 2R² − 2R²(√2 − 1)² = 2R²(1 − 3 + 2√2) = 4R²(√2 − 1). (Проверка по формуле S = 2(1 + √2)s²: 2(1 + √2)R²(6 − 4√2) = 4R²(√2 − 1).)
Ответ: S = 4(√2 − 1)R² ≈ 1,66R².
Стороны. Отрезанные гипотенузы B1C3 и т. д. равны t√2 = R(2 − √2). Оставшиеся части сторон квадрата (например, C2B1 на стороне A1A2) равны R√2 − 2t = R√2 − 2R(√2 − 1) = R(2 − √2). Значит, все восемь сторон восьмиугольника равны.
Углы. В отрезанном треугольнике острые углы по 45°, поэтому у восьмиугольника в каждой вершине угол равен 180° − 45° = 135°. Все углы равны, многоугольник выпуклый (получен отсечением углов выпуклого квадрата), поэтому восьмиугольник правильный.
Площадь. Сторона восьмиугольника s = R(2 − √2). S = площадь квадрата − 4 площади отрезанных треугольников = 2R² − 4 · t²/2 = 2R² − 2R²(√2 − 1)² = 2R²(1 − 3 + 2√2) = 4R²(√2 − 1). (Проверка по формуле S = 2(1 + √2)s²: 2(1 + √2)R²(6 − 4√2) = 4R²(√2 − 1).)
Ответ: S = 4(√2 − 1)R² ≈ 1,66R².