Глава XIII. Задачи (окончание). Вопросы для повторения к главе XIII — с. 310
1218. Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.
Площадь сектора с дугой α: S = πR² · α/360. При α = 72°: S = πR² · 72/360 = πR²/5, откуда R² = 5S/π и R = √(5S/π).
Ответ: R = √(5S/π).
Ответ: R = √(5S/π).
1219. Сторона квадрата, изображённого на рисунке 354, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры. [рисунок 354: квадрат со стороной a, в каждом углу вырезана четверть круга с центром в вершине квадрата; соседние четверти касаются в серединах сторон, закрашена оставшаяся фигура]
Радиус каждой четверти круга равен половине стороны: a/2 (дуги соседних вершин касаются в серединах сторон). Четыре четверти круга радиуса a/2 составляют один круг этого радиуса, площадью π(a/2)² = πa²/4.
Площадь закрашенной фигуры равна площади квадрата без этих четвертей: a² − πa²/4 = a²(4 − π)/4.
Ответ: a²(4 − π)/4.
Площадь закрашенной фигуры равна площади квадрата без этих четвертей: a² − πa²/4 = a²(4 − π)/4.
Ответ: a²(4 − π)/4.
1220. Докажите, что площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с радианной мерой φ, вычисляется по формуле S = φR²/2.
Дуге с радианной мерой φ соответствует градусная мера α = (180/π)φ градусов. Площадь сектора, ограниченного дугой в α градусов, равна S = πR² · α/360. Подставим α:
S = πR² · (180φ/π)/360 = R² · 180φ/360 = φR²/2. Что и требовалось доказать.
(Заметим, что длина дуги l = Rφ, поэтому S = (1/2)lR.)
S = πR² · (180φ/π)/360 = R² · 180φ/360 = φR²/2. Что и требовалось доказать.
(Заметим, что длина дуги l = Rφ, поэтому S = (1/2)lR.)
1. Какой многоугольник называется правильным?
Приведите примеры правильных многоугольников.
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник.
2. Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.
Сумма всех углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°. У правильного n-угольника все n углов равны, поэтому каждый из них равен αn = (n − 2)/n · 180°.
3. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.
Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Доказательство. Пусть A1A2A3...An — правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис углов A1 и A2. Соединим O с остальными вершинами и докажем, что OA1 = OA2 = ... = OAn.
Так как ∠A1 = ∠A2, то половины этих углов равны: ∠1 = ∠3 (углы при стороне A1A2 между этой стороной и биссектрисами). Значит, треугольник A1A2O равнобедренный и OA1 = OA2. Треугольники A1A2O и A2A3O равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = A3A2, A2O — общая сторона, ∠3 = ∠4, где ∠4 — половина угла A2), поэтому OA3 = OA1. Точно так же доказывается, что OA4 = OA2, OA5 = OA3 и т. д. Итак, OA1 = OA2 = ... = OAn, то есть точка O равноудалена от всех вершин. Поэтому окружность с центром O и радиусом OA1 проходит через все вершины, то есть описана около многоугольника.
Единственность. Рассмотрим любые три вершины, например A1, A2, A3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность, поэтому около многоугольника можно описать только одну окружность.
Доказательство. Пусть A1A2A3...An — правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис углов A1 и A2. Соединим O с остальными вершинами и докажем, что OA1 = OA2 = ... = OAn.
Так как ∠A1 = ∠A2, то половины этих углов равны: ∠1 = ∠3 (углы при стороне A1A2 между этой стороной и биссектрисами). Значит, треугольник A1A2O равнобедренный и OA1 = OA2. Треугольники A1A2O и A2A3O равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = A3A2, A2O — общая сторона, ∠3 = ∠4, где ∠4 — половина угла A2), поэтому OA3 = OA1. Точно так же доказывается, что OA4 = OA2, OA5 = OA3 и т. д. Итак, OA1 = OA2 = ... = OAn, то есть точка O равноудалена от всех вершин. Поэтому окружность с центром O и радиусом OA1 проходит через все вершины, то есть описана около многоугольника.
Единственность. Рассмотрим любые три вершины, например A1, A2, A3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна окружность, поэтому около многоугольника можно описать только одну окружность.
4. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство. Пусть A1A2...An — правильный многоугольник, O — центр описанной окружности. По доказательству предыдущей теоремы треугольники OA1A2, OA2A3, ..., OAnA1 равны, поэтому равны и их высоты, проведённые из вершины O: OH1 = OH2 = ... = OHn. Окружность с центром O и радиусом OH1 проходит через точки H1, H2, ..., Hn и касается сторон многоугольника в этих точках (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне). Значит, эта окружность вписана в многоугольник.
Единственность. Допустим, есть другая вписанная окружность с центром O1. Её центр равноудалён от сторон многоугольника, поэтому лежит на биссектрисе каждого угла и, следовательно, совпадает с точкой O пересечения биссектрис. Её радиус равен расстоянию от O до сторон, то есть OH1. Значит, вторая окружность совпадает с первой.
Доказательство. Пусть A1A2...An — правильный многоугольник, O — центр описанной окружности. По доказательству предыдущей теоремы треугольники OA1A2, OA2A3, ..., OAnA1 равны, поэтому равны и их высоты, проведённые из вершины O: OH1 = OH2 = ... = OHn. Окружность с центром O и радиусом OH1 проходит через точки H1, H2, ..., Hn и касается сторон многоугольника в этих точках (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне). Значит, эта окружность вписана в многоугольник.
Единственность. Допустим, есть другая вписанная окружность с центром O1. Её центр равноудалён от сторон многоугольника, поэтому лежит на биссектрисе каждого угла и, следовательно, совпадает с точкой O пересечения биссектрис. Её радиус равен расстоянию от O до сторон, то есть OH1. Значит, вторая окружность совпадает с первой.
5. Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.
Пусть правильный n-угольник со стороной an имеет периметр P = n·an и радиус вписанной окружности r. Соединим центр многоугольника с вершинами: он разобьётся на n равных треугольников, высота каждого из которых, проведённая из центра, равна r, а основание равно an. Площадь одного треугольника (1/2)an·r. Следовательно, S = n · (1/2)an·r = (1/2)(n·an)·r = (1/2)Pr.
6. Выведите формулы для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.
Пусть O — центр правильного n-угольника A1...An, OH1 — высота (и медиана) равнобедренного треугольника OA1A2, где OA1 = R, OH1 = r. В прямоугольном треугольнике A1H1O угол при вершине A1 равен половине угла многоугольника: ∠A1 = αn/2 = (n − 2)/(2n) · 180° = 90° − 180°/n.
Тогда A1H1 = R cos(90° − 180°/n) = R sin(180°/n), поэтому сторона an = 2A1H1 = 2R sin(180°/n).
Радиус вписанной окружности r = OH1 = R sin(90° − 180°/n) = R cos(180°/n).
Тогда A1H1 = R cos(90° − 180°/n) = R sin(180°/n), поэтому сторона an = 2A1H1 = 2R sin(180°/n).
Радиус вписанной окружности r = OH1 = R sin(90° − 180°/n) = R cos(180°/n).
7. Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?
Подставим n = 3, 4, 6 в формулу an = 2R sin(180°/n):
a3 = 2R sin 60° = 2R · √3/2 = R√3;
a4 = 2R sin 45° = 2R · √2/2 = R√2;
a6 = 2R sin 30° = 2R · 1/2 = R.
a3 = 2R sin 60° = 2R · √3/2 = R√3;
a4 = 2R sin 45° = 2R · √2/2 = R√2;
a6 = 2R sin 30° = 2R · 1/2 = R.
8. Выведите формулу для вычисления длины окружности, используя её градусную меру.
Длина окружности радиуса R равна C = 2πR (а так как вся окружность имеет градусную меру 360°, то длина дуги в 1° равна 2πR/360). Вывод. Пусть C и C′ — длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в каждую правильный n-угольник; их периметры Pn = n · 2R sin(180°/n), P′n = n · 2R′ sin(180°/n), поэтому Pn/P′n = R/R′ = 2R/(2R′) при любом n. При неограниченном росте n периметры стремятся к длинам окружностей: Pn → C, P′n → C′, поэтому C/C′ = 2R/(2R′), то есть C/(2R) = C′/(2R′). Отношение длины окружности к диаметру одно и то же для всех окружностей; оно обозначается π. Итак, C/(2R) = π, откуда C = 2πR.
9. Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение.
Буквой π обозначается отношение длины окружности к её диаметру: π = C/(2R); оно одно и то же для всех окружностей. Доказано, что π — бесконечная непериодическая десятичная дробь, то есть иррациональное число. Рациональное число 22/7 является приближённым значением π (его нашёл Архимед в III в. до н. э.). При решении задач обычно берут π ≈ 3,14.
10. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её градусную меру.
Длина всей окружности радиуса R равна 2πR, а её градусная мера 360°. Поэтому длина дуги в 1° равна 2πR/360 = πR/180. Дуга в α градусов в α раз длиннее: l = πR/180 · α.
11. Какой угол называется углом в 1 радиан?
Если длина дуги AB окружности равна радиусу R, то по формуле l = πRα/180 имеем R = πRα/180, откуда α = 180°/π ≈ 57°17′44″. Центральный угол, опирающийся на такую дугу (его градусная мера меньше 180°, поэтому равна градусной мере дуги), называется углом в 1 радиан. Итак, угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности; его градусная мера равна (180/π)°.
12. Объясните, как связаны градусная и радианная меры одного и того же угла.
Угол в 180° соответствует π радиан (так как 1 рад = (180/π)°). Значит, угол в 1° составляет π/180 радиан, а угол в α° равен (π/180)α радиан. Обратно, если радианная мера угла равна φ, то его градусная мера равна (180/π)φ градусов. Например, 90° = π/2 рад, 60° = π/3 рад, 1 рад ≈ 57,3°.
13. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности, используя её радианную меру.
Дуге с радианной мерой φ соответствует градусная мера α = (180/π)φ. Подставим в формулу длины дуги l = πR/180 · α: l = πR/180 · 180φ/π = Rφ. Итак, l = Rφ.
14. Выведите формулу для вычисления площади круга.
Впишем в окружность, ограничивающую круг радиуса R, правильный n-угольник площади Sn и периметра Pn, и пусть rn — радиус вписанной в него окружности, S′n = πrn² — площадь вписанного в многоугольник круга. Многоугольник целиком лежит в круге, а круг радиуса rn лежит в многоугольнике, поэтому S′n < Sn < S, где S — площадь данного круга.
При неограниченном росте n имеем rn = R cos(180°/n) → R (так как cos(180°/n) → 1), поэтому S′n → S, а значит, и Sn → S.
По формуле площади правильного многоугольника Sn = (1/2)Pnrn. При n → ∞: Pn → 2πR, rn → R, Sn → S. Получаем S = (1/2) · 2πR · R = πR².
При неограниченном росте n имеем rn = R cos(180°/n) → R (так как cos(180°/n) → 1), поэтому S′n → S, а значит, и Sn → S.
По формуле площади правильного многоугольника Sn = (1/2)Pnrn. При n → ∞: Pn → 2πR, rn → R, Sn → S. Получаем S = (1/2) · 2πR · R = πR².