Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 309 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава XIII. §2. Длина окружности и площадь круга (продолжение) — с. 309 1206. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз? Площадь круга S = πR². Если радиус заменить на kR, то S′ = π(kR)² = k² · πR² = k²S. Если радиус уменьшить в k раз, S′ = π(R/k)² = S/k². а) Увеличится в k² раз. б) Уменьшится в k² раз. 1207. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию. Везде S = πR². а) Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника: 2R = √(a² + b²), R² = (a² + b²)/4. S = π(a² + b²)/4. б) Гипотенуза c = a/sin α является диаметром: 2R = a/sin α, R = a/(2 sin α). S = πa²/(4 sin² α). в) Боковая сторона b² = h² + a²/4 = (4h² + a²)/4. Центр описанной окружности лежит на высоте h; если R — радиус, то (h − R)² + (a/2)² = R², откуда h² − 2hR + a²/4 = 0 и R = (4h² + a²)/(8h). S = πR² = π(a² + 4h²)²/(64h²). Ответ: а) π(a² + b²)/4; б) πa²/(4 sin² α); в) π(a² + 4h²)²/(64h²). 1208. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с бо́льшим основанием a и острым углом α. Везде S = πr². а) r = a√3/6 (r = R/2 = a/(2√3)), r² = a²/12. S = πa²/12. б) Второй катет a tg α, гипотенуза a/cos α. r = (a + a tg α − a/cos α)/2 = a(cos α + sin α − 1)/(2 cos α). Так как (sin α + cos α − 1)(sin α + cos α + 1) = 2 sin α cos α, то r = a sin α/(sin α + cos α + 1). S = πa² sin² α/(sin α + cos α + 1)². в) Основание равно 2a sin(α/2), площадь треугольника (1/2)a² sin α, полупериметр p = a + a sin(α/2). r = S/p = a sin α/(2(1 + sin(α/2))). S = πa² sin² α/(4(1 + sin(α/2))²). г) Пусть боковая сторона c, меньшее основание b. Так как в трапецию вписана окружность, a + b = 2c. Проекция боковой стороны на большее основание равна (a − b)/2 = c cos α, поэтому a − b = 2c cos α. Складывая: 2a = 2c(1 + cos α), c = a/(1 + cos α). Диаметр вписанной окружности равен высоте: 2r = c sin α = a sin α/(1 + cos α) = a tg(α/2). Значит, r = a tg(α/2)/2, S = πa² tg²(α/2)/4. Ответ: а) πa²/12; б) πa² sin² α/(sin α + cos α + 1)²; в) πa² sin² α/(4(1 + sin(α/2))²); г) πa² tg²(α/2)/4. 1209. Диаметр основания Царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6