Глава XIII. §2. Длина окружности и площадь круга — с. 308
1195. Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.
За один оборот колесо проходит путь, равный длине окружности: C = 989 : 500 = 1,978 м.
Поскольку C = πD, то D = C/π = 1,978 : 3,14 = 0,63 м.
Ответ: 63 см.
Поскольку C = πD, то D = C/π = 1,978 : 3,14 = 0,63 м.
Ответ: 63 см.
1196. Метр составляет приближённо 1/40 000 000 часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара.
Длина экватора C = 40 000 000 м = 40 000 км. Экватор — окружность большого круга, поэтому D = C/π = 40 000 : 3,14 ≈ 12 739 км.
Ответ: ≈ 12 739 км.
Ответ: ≈ 12 739 км.
1197. Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
Радиус орбиты R = 6370 + 320 = 6690 км. Длина орбиты C = 2πR = 2 · 3,14 · 6690 = 42 013,2 км.
Ответ: ≈ 42 013 км.
Ответ: ≈ 42 013 км.
1198. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.
Длина дуги l = πR · α/180 = π · 6 · α/180 = πα/30 см.
а) α = 30°: l = π см.
б) α = 45°: l = 3π/2 см.
в) α = 60°: l = 2π см.
г) α = 90°: l = 3π см.
а) α = 30°: l = π см.
б) α = 45°: l = 3π/2 см.
в) α = 60°: l = 2π см.
г) α = 90°: l = 3π см.
1199. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо?
Длина окружности колеса C = πD = 3,14 · 450 = 1413 мм. Зубья расположены равномерно, поэтому число зубьев равно C : 47,1 = 1413 : 47,1 = 30.
Ответ: 30 зубьев.
Ответ: 30 зубьев.
1200. Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 353). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищённой части камня. [рисунок 353: диск в кожухе, на рисунке отмечен угол 117°]
Радиус камня R = 58 : 2 = 29 см. Длина дуги в 117°: l = πR · 117/180 = 3,14 · 29 · 117/180 = 3,14 · 18,85 ≈ 59,2 см.
Ответ: ≈ 59,2 см.
Ответ: ≈ 59,2 см.
1201. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.
Конец маятника движется по дуге окружности, радиус которой равен длине маятника R. Из формулы l = πR · α/180 получаем R = 180l/(πα) = 180 · 24/(3,14 · 38) = 4320/119,32 ≈ 36,2 см.
Ответ: ≈ 36,2 см.
Ответ: ≈ 36,2 см.
1202. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?
R = 5 км = 5000 м, l = 400 м. Из l = πR · α/180 имеем α = 180l/(πR) = 180 · 400/(3,14 · 5000) = 72 000/15 700 ≈ 4,586°. Переведём в минуты: 0,586° · 60′ ≈ 35′.
Ответ: ≈ 4°35′.
Ответ: ≈ 4°35′.
1203. Перечертите таблицу, и, используя связь между градусной и радианной мерой одного и того же угла, заполните пустые клетки. [таблица из двух строк и 13 столбцов. Градусная мера: (180/π)°, —, 1°, 90°, —, —, 45°, 30°, —, —, 150°, n°, —. Радианная мера: 1, π, —, —, π/3, π/5, —, —, 3π/4, 2π/3, —, —, φ]
Связь: α° соответствует α · π/180 радиан; φ радиан соответствует (180/π · φ)°. Угол 180° равен π радиан.
1 рад = (180/π)° — дано.
π рад = 180°.
1° = π/180 рад.
90° = π/2 рад.
π/3 рад = 180°/3 = 60°.
π/5 рад = 180°/5 = 36°.
45° = π/4 рад.
30° = π/6 рад.
3π/4 рад = 3 · 180°/4 = 135°.
2π/3 рад = 2 · 180°/3 = 120°.
150° = 150π/180 = 5π/6 рад.
n° = πn/180 рад.
φ рад = (180φ/π)°.
Таблица перечерчена и заполнена на рисунке: красным выделены вписанные значения, чёрным — данные по условию.
1 рад = (180/π)° — дано.
π рад = 180°.
1° = π/180 рад.
90° = π/2 рад.
π/3 рад = 180°/3 = 60°.
π/5 рад = 180°/5 = 36°.
45° = π/4 рад.
30° = π/6 рад.
3π/4 рад = 3 · 180°/4 = 135°.
2π/3 рад = 2 · 180°/3 = 120°.
150° = 150π/180 = 5π/6 рад.
n° = πn/180 рад.
φ рад = (180φ/π)°.
Таблица перечерчена и заполнена на рисунке: красным выделены вписанные значения, чёрным — данные по условию.
1204. Постройте угол, радианная мера которого равна: а) π/3; б) π/4; в) π/2; г) π/6; д) π; е) 2π/3.
Переведём радианную меру в градусную по формуле α° = φ · 180°/π: а) π/3 рад = 60°; б) π/4 рад = 45°; в) π/2 рад = 90°; г) π/6 рад = 30°; д) π рад = 180°; е) 2π/3 рад = 120°.
Строим каждый угол с вершиной O и одной стороной — лучом OX. Вторую сторону строим так:
а) 60°: циркулем строим окружность с центром O, она пересекает OX в точке M; тем же раствором циркуля из M делаем засечку на окружности, получаем точку N — ∠MON = 60° (треугольник OMN равносторонний).
б) 45°: строим прямой угол (перпендикуляр к OX в точке O) и делим его биссектрисой пополам.
в) 90°: строим перпендикуляр к OX через точку O.
г) 30°: строим угол 60°, как в пункте а), и делим его биссектрисой пополам.
д) 180°: сторона — луч, дополнительный к OX (развёрнутый угол).
е) 120°: откладываем два угла по 60° подряд от луча OX (две засечки радиусом окружности), вторая сторона — луч через вторую засечку.
Готовые углы показаны на рисунке (красным — вторая сторона и дуга).
Строим каждый угол с вершиной O и одной стороной — лучом OX. Вторую сторону строим так:
а) 60°: циркулем строим окружность с центром O, она пересекает OX в точке M; тем же раствором циркуля из M делаем засечку на окружности, получаем точку N — ∠MON = 60° (треугольник OMN равносторонний).
б) 45°: строим прямой угол (перпендикуляр к OX в точке O) и делим его биссектрисой пополам.
в) 90°: строим перпендикуляр к OX через точку O.
г) 30°: строим угол 60°, как в пункте а), и делим его биссектрисой пополам.
д) 180°: сторона — луч, дополнительный к OX (развёрнутый угол).
е) 120°: откладываем два угла по 60° подряд от луча OX (две засечки радиусом окружности), вторая сторона — луч через вторую засечку.
Готовые углы показаны на рисунке (красным — вторая сторона и дуга).
1205. Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением π ≈ 3,14. [таблица, восемь столбцов; строка S: —, —, 9, —, 49π, —, —, 6,25; строка R: 2, 5, —, 2/7, —, 54,3, √3, —]
Используем S = πR², откуда R = √(S/π); π ≈ 3,14.
1) R = 2: S = 3,14 · 4 = 12,56.
2) R = 5: S = 3,14 · 25 = 78,5.
3) S = 9: R = √(9 : 3,14) ≈ √2,866 ≈ 1,69.
4) R = 2/7: S = 3,14 · 4/49 ≈ 0,26.
5) S = 49π: R² = 49, R = 7.
6) R = 54,3: S = 3,14 · 54,3² = 3,14 · 2948,49 ≈ 9258,26.
7) R = √3: S = 3,14 · 3 = 9,42.
8) S = 6,25: R = √(6,25 : 3,14) ≈ √1,99 ≈ 1,41.
1) R = 2: S = 3,14 · 4 = 12,56.
2) R = 5: S = 3,14 · 25 = 78,5.
3) S = 9: R = √(9 : 3,14) ≈ √2,866 ≈ 1,69.
4) R = 2/7: S = 3,14 · 4/49 ≈ 0,26.
5) S = 49π: R² = 49, R = 7.
6) R = 54,3: S = 3,14 · 54,3² = 3,14 · 2948,49 ≈ 9258,26.
7) R = √3: S = 3,14 · 3 = 9,42.
8) S = 6,25: R = √(6,25 : 3,14) ≈ √1,99 ≈ 1,41.