Глава XIII. §1. Правильные многоугольники — с. 302
1188. Правильный восьмиугольник А1А2...А8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A3A4A7A8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
Вершины делят окружность на 8 равных дуг по 45°. Дуга A3A4 и дуга A7A8 равны по 45°, поэтому равны стягивающие их хорды: A3A4 = A7A8. Дуги A4A7 (через A5, A6) и A8A3 (через A1, A2) состоят из трёх дуг по 45°, то есть равны по 135°, поэтому A4A7 = A8A3. У четырёхугольника A3A4A7A8 противоположные стороны попарно равны, значит, он параллелограмм.
Точки A3 и A7 разделены четырьмя дугами по 45°, то есть дуга A3A4A5A6A7 равна 180°, и A3A7 — диаметр. Угол A3A4A7 вписанный и опирается на диаметр A3A7, поэтому ∠A3A4A7 = 90°. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Площадь: A3A4 = a8 = 2R sin 22,5°, A4A7 = 2R sin 67,5° = 2R cos 22,5°. S = 4R² sin 22,5° cos 22,5° = 2R² sin 45° = R²√2.
Ответ: S = R²√2.
Точки A3 и A7 разделены четырьмя дугами по 45°, то есть дуга A3A4A5A6A7 равна 180°, и A3A7 — диаметр. Угол A3A4A7 вписанный и опирается на диаметр A3A7, поэтому ∠A3A4A7 = 90°. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Площадь: A3A4 = a8 = 2R sin 22,5°, A4A7 = 2R sin 67,5° = 2R cos 22,5°. S = 4R² sin 22,5° cos 22,5° = 2R² sin 45° = R²√2.
Ответ: S = R²√2.
1189. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
Пусть дана окружность с центром O и радиусом R.
а) Шестиугольник. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна R (a6 = R). Отметим на окружности произвольную точку A. Не меняя раствора циркуля (он равен R), последовательно откладываем на окружности дуги от A: получим точки B, C, D, E, F. Последовательно соединяем A, B, C, D, E, F — это искомый шестиугольник. Шестая засечка попадает точно в точку A, так как 6 · 60° = 360°.
б) Треугольник. Строим вписанный шестиугольник ABCDEF, как в пункте а), и соединяем отрезками вершины через одну: A, C, E. Треугольник ACE правильный: его стороны — равные хорды, стягивающие равные дуги по 120°.
в) Квадрат. Проводим диаметр AC и строим серединный перпендикуляр к нему (он проходит через O и пересекает окружность в точках B и D). Соединяем A, B, C, D. Диаметры AC и BD взаимно перпендикулярны и равны, поэтому ABCD — квадрат (диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой O пополам).
г) Восьмиугольник. Строим квадрат ABCD, как в пункте в). Делим каждую из четырёх дуг AB, BC, CD, DA пополам (построением серединных перпендикуляров к сторонам квадрата, они проходят через O) и получаем ещё четыре точки. Все восемь точек делят окружность на 8 равных дуг по 45°; последовательно соединив их, получаем правильный восьмиугольник (задача 2 п. 117).
а) Шестиугольник. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна R (a6 = R). Отметим на окружности произвольную точку A. Не меняя раствора циркуля (он равен R), последовательно откладываем на окружности дуги от A: получим точки B, C, D, E, F. Последовательно соединяем A, B, C, D, E, F — это искомый шестиугольник. Шестая засечка попадает точно в точку A, так как 6 · 60° = 360°.
б) Треугольник. Строим вписанный шестиугольник ABCDEF, как в пункте а), и соединяем отрезками вершины через одну: A, C, E. Треугольник ACE правильный: его стороны — равные хорды, стягивающие равные дуги по 120°.
в) Квадрат. Проводим диаметр AC и строим серединный перпендикуляр к нему (он проходит через O и пересекает окружность в точках B и D). Соединяем A, B, C, D. Диаметры AC и BD взаимно перпендикулярны и равны, поэтому ABCD — квадрат (диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой O пополам).
г) Восьмиугольник. Строим квадрат ABCD, как в пункте в). Делим каждую из четырёх дуг AB, BC, CD, DA пополам (построением серединных перпендикуляров к сторонам квадрата, они проходят через O) и получаем ещё четыре точки. Все восемь точек делят окружность на 8 равных дуг по 45°; последовательно соединив их, получаем правильный восьмиугольник (задача 2 п. 117).