Глава XIII. §1. Правильные многоугольники — с. 301
1177. На рисунке 347, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности). [рисунок 347, б: правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R; r — радиус вписанной в треугольник окружности. Таблица со столбцами N, R, r, a3, P, S; известно: №1: R = 3; №2: S = 10; №3: r = 2; №4: a3 = 5; №5: P = 6]
Для правильного треугольника: a3 = R√3, r = R/2 (так как r = R cos 60°), P = 3a3, S = a3²√3/4.
№1: R = 3. r = 1,5; a3 = 3√3; P = 9√3; S = 27√3/4.
№2: S = 10. Из S = a3²√3/4 получаем a3² = 40/√3 = 40√3/3, a3 = √(40√3/3) ≈ 4,81. Тогда P = 3a3 ≈ 14,42; R = a3/√3 ≈ 2,77 (точно R = (2/3)·√(10√3)); r = R/2 ≈ 1,39 (точно r = (1/3)·√(10√3)).
№3: r = 2. R = 2r = 4; a3 = 4√3; P = 12√3; S = 12√3.
№4: a3 = 5. R = 5/√3 = 5√3/3; r = 5√3/6; P = 15; S = 25√3/4.
№5: P = 6. a3 = 2; R = 2/√3 = 2√3/3; r = √3/3; S = √3.
№1: R = 3. r = 1,5; a3 = 3√3; P = 9√3; S = 27√3/4.
№2: S = 10. Из S = a3²√3/4 получаем a3² = 40/√3 = 40√3/3, a3 = √(40√3/3) ≈ 4,81. Тогда P = 3a3 ≈ 14,42; R = a3/√3 ≈ 2,77 (точно R = (2/3)·√(10√3)); r = R/2 ≈ 1,39 (точно r = (1/3)·√(10√3)).
№3: r = 2. R = 2r = 4; a3 = 4√3; P = 12√3; S = 12√3.
№4: a3 = 5. R = 5/√3 = 5√3/3; r = 5√3/6; P = 15; S = 25√3/4.
№5: P = 6. a3 = 2; R = 2/√3 = 2√3/3; r = √3/3; S = √3.
1178. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
Сторона треугольника a3 = 18 : 3 = 6 см. Так как a3 = R√3, то R = 6/√3 = 2√3 см.
Сторона вписанного квадрата a4 = R√2 = 2√3 · √2 = 2√6 см.
Ответ: 2√6 см.
Сторона вписанного квадрата a4 = R√2 = 2√3 · √2 = 2√6 см.
Ответ: 2√6 см.
1179. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
Стержень должен вмещать правильный треугольник, значит, наименьший диаметр равен диаметру окружности, описанной около треугольника.
Из a3 = R√3 находим R = 3/√3 = √3 см, тогда диаметр 2R = 2√3 см ≈ 3,46 см.
Ответ: 2√3 см.
Из a3 = R√3 находим R = 3/√3 = √3 см, тогда диаметр 2R = 2√3 см ≈ 3,46 см.
Ответ: 2√3 см.
1180. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
Наибольший круг, помещающийся в квадрат, — вписанный в него. Его диаметр равен стороне квадрата: 2r = a4 = 6 см (r = a4/2 = 3 см).
Ответ: 6 см.
Ответ: 6 см.
1181. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.
Сторона шестиугольника 48 : 6 = 8 см. Радиус вписанной в него окружности r = a6 · √3/2 = 8 · √3/2 = 4√3 см (r = R cos 30°, а R = a6 = 8).
Эта же окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна 2r = 8√3 см, а периметр 4 · 8√3 = 32√3 см.
Ответ: 32√3 см.
Эта же окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна 2r = 8√3 см, а периметр 4 · 8√3 = 32√3 см.
Ответ: 32√3 см.
1182. Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Для правильного n-угольника r = R cos(180°/n). При n = 3 получаем r = R cos 60° = R · 1/2, откуда R = 2r.
Другое доказательство: центр O правильного треугольника ABC — точка пересечения биссектрис, они же медианы и высоты. Пусть AH — высота, тогда OH = r, OA = R, ∠OAH = 30°. В прямоугольном треугольнике AOH катет OH лежит против угла 30°, поэтому OH = OA/2, то есть r = R/2. Что и требовалось доказать.
Другое доказательство: центр O правильного треугольника ABC — точка пересечения биссектрис, они же медианы и высоты. Пусть AH — высота, тогда OH = r, OA = R, ∠OAH = 30°. В прямоугольном треугольнике AOH катет OH лежит против угла 30°, поэтому OH = OA/2, то есть r = R/2. Что и требовалось доказать.
1183. Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, Р = 24 см; в) n = 6, r = 9 см; г) n = 8, r = 5√3 см.
Используем S = (1/2)Pr, a_n = 2R sin(180°/n), r = R cos(180°/n).
а) a4 = R√2 = 3√2 · √2 = 6 см, S = a4² = 36 см².
б) a3 = 24 : 3 = 8 см, S = a3²√3/4 = 64√3/4 = 16√3 см².
в) Для шестиугольника r = a6√3/2, откуда a6 = 2r/√3 = 18/√3 = 6√3 см. P = 6 · 6√3 = 36√3 см, S = (1/2) · 36√3 · 9 = 162√3 см².
г) Сторона восьмиугольника a8 = 2r · tg 22,5° (из прямоугольного треугольника с углом 22,5° при центре и катетом r). Тогда P = 8a8 = 16r · tg 22,5°, S = (1/2)Pr = 8r² tg 22,5°. Так как tg 22,5° = √2 − 1, S = 8 · 75 · (√2 − 1) = 600(√2 − 1) ≈ 248,5 см².
Ответ: а) 36 см²; б) 16√3 см²; в) 162√3 см²; г) 600(√2 − 1) ≈ 248,5 см².
а) a4 = R√2 = 3√2 · √2 = 6 см, S = a4² = 36 см².
б) a3 = 24 : 3 = 8 см, S = a3²√3/4 = 64√3/4 = 16√3 см².
в) Для шестиугольника r = a6√3/2, откуда a6 = 2r/√3 = 18/√3 = 6√3 см. P = 6 · 6√3 = 36√3 см, S = (1/2) · 36√3 · 9 = 162√3 см².
г) Сторона восьмиугольника a8 = 2r · tg 22,5° (из прямоугольного треугольника с углом 22,5° при центре и катетом r). Тогда P = 8a8 = 16r · tg 22,5°, S = (1/2)Pr = 8r² tg 22,5°. Так как tg 22,5° = √2 − 1, S = 8 · 75 · (√2 − 1) = 600(√2 − 1) ≈ 248,5 см².
Ответ: а) 36 см²; б) 16√3 см²; в) 162√3 см²; г) 600(√2 − 1) ≈ 248,5 см².
1184. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.
Расстояние между противоположными (параллельными) сторонами правильного шестиугольника равно удвоенному радиусу вписанной окружности: 2r = 1,5 см, r = 0,75 см.
Сторона шестиугольника a = 2r/√3 = 1,5/√3 = √3/2 см, периметр P = 6a = 3√3 см.
S = (1/2)Pr = (1/2) · 3√3 · 3/4 = 9√3/8 см².
Ответ: 9√3/8 см² (≈ 1,95 см²).
Сторона шестиугольника a = 2r/√3 = 1,5/√3 = √3/2 см, периметр P = 6a = 3√3 см.
S = (1/2)Pr = (1/2) · 3√3 · 3/4 = 9√3/8 см².
Ответ: 9√3/8 см² (≈ 1,95 см²).
1185. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
Пусть общая сторона равна a. Тогда S3 = a²√3/4, S4 = a², S6 = 6 · a²√3/4 = 3√3a²/2 (шестиугольник состоит из шести правильных треугольников со стороной a).
S3 : S4 : S6 = √3/4 : 1 : 3√3/2. Умножив все члены на 4, получим √3 : 4 : 6√3.
Ответ: S3 : S4 : S6 = √3 : 4 : 6√3.
S3 : S4 : S6 = √3/4 : 1 : 3√3/2. Умножив все члены на 4, получим √3 : 4 : 6√3.
Ответ: S3 : S4 : S6 = √3 : 4 : 6√3.
1186. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
Пусть радиус окружности равен r. Для вписанного шестиугольника R = r, значит, его сторона a = r, а площадь S1 = 6 · r²√3/4 = 3√3r²/2.
Для описанного шестиугольника радиус вписанной окружности равен r, поэтому его сторона a′ = 2r/√3, площадь S2 = 6 · (a′)²√3/4 = (3√3/2) · 4r²/3 = 2√3r².
S1 : S2 = (3√3/2) : 2√3 = 3 : 4.
Ответ: 3 : 4.
Для описанного шестиугольника радиус вписанной окружности равен r, поэтому его сторона a′ = 2r/√3, площадь S2 = 6 · (a′)²√3/4 = (3√3/2) · 4r²/3 = 2√3r².
S1 : S2 = (3√3/2) : 2√3 = 3 : 4.
Ответ: 3 : 4.
1187. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.
Для правильного треугольника R = 2r, a3 = R√3.
а) Через r: R = 2r, поэтому a3 = 2√3r, P = 3a3 = 6√3r, S = (1/2)Pr = 3√3r².
б) Через R: a3 = √3R, P = 3√3R, S = a3²√3/4 = 3R²·√3/4 = 3√3R²/4.
Ответ: а) 2√3r; 6√3r; 3√3r²; б) √3R; 3√3R; 3√3R²/4.
а) Через r: R = 2r, поэтому a3 = 2√3r, P = 3a3 = 6√3r, S = (1/2)Pr = 3√3r².
б) Через R: a3 = √3R, P = 3√3R, S = a3²√3/4 = 3R²·√3/4 = 3√3R²/4.
Ответ: а) 2√3r; 6√3r; 3√3r²; б) √3R; 3√3R; 3√3R²/4.