Глава XIII. §1. Правильные многоугольники — с. 300
1167. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
Ответ обоснуйте.
а) Верно. По определению правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Значит, выпуклость входит в само определение.
б) Неверно. Выпуклость — только одно из условий. Например, прямоугольник с разными сторонами выпуклый, но его стороны не равны, а ромб, не являющийся квадратом, выпуклый, но его углы не равны. Ни тот, ни другой не является правильным.
Ответ: а) верно; б) неверно.
б) Неверно. Выпуклость — только одно из условий. Например, прямоугольник с разными сторонами выпуклый, но его стороны не равны, а ромб, не являющийся квадратом, выпуклый, но его углы не равны. Ни тот, ни другой не является правильным.
Ответ: а) верно; б) неверно.
1168. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным?
Ответ обоснуйте.
а) Неверно: у выпуклого многоугольника с равными сторонами углы могут быть разными. Пример: ромб с углами 60° и 120°.
б) Верно. Если все углы треугольника равны, то треугольник равнобедренный относительно любой стороны (углы при основании равны), поэтому все его стороны равны. Любой треугольник выпуклый, значит, он правильный.
в) Верно. Если все стороны равны, то по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника равны и все углы (каждый по 60°), а треугольник выпуклый; значит, он правильный.
г) Неверно: ромб имеет равные стороны, но если он не квадрат, то его углы не равны.
Ответ: верны утверждения б) и в).
б) Верно. Если все углы треугольника равны, то треугольник равнобедренный относительно любой стороны (углы при основании равны), поэтому все его стороны равны. Любой треугольник выпуклый, значит, он правильный.
в) Верно. Если все стороны равны, то по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника равны и все углы (каждый по 60°), а треугольник выпуклый; значит, он правильный.
г) Неверно: ромб имеет равные стороны, но если он не квадрат, то его углы не равны.
Ответ: верны утверждения б) и в).
1169. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.
Пусть ABCD — правильный четырёхугольник. По определению он выпуклый, все его углы равны и все стороны равны.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°, а углы равны, поэтому каждый угол равен 360° : 4 = 90°.
У четырёхугольника ABCD ∠A = ∠B = 90°, поэтому AD ⊥ AB и BC ⊥ AB, то есть AD ∥ BC (две прямые, перпендикулярные третьей). Аналогично AB ∥ CD. Значит, ABCD — параллелограмм с прямыми углами, то есть прямоугольник.
У этого прямоугольника все стороны равны, а прямоугольник с равными сторонами есть квадрат. Что и требовалось доказать.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°, а углы равны, поэтому каждый угол равен 360° : 4 = 90°.
У четырёхугольника ABCD ∠A = ∠B = 90°, поэтому AD ⊥ AB и BC ⊥ AB, то есть AD ∥ BC (две прямые, перпендикулярные третьей). Аналогично AB ∥ CD. Значит, ABCD — параллелограмм с прямыми углами, то есть прямоугольник.
У этого прямоугольника все стороны равны, а прямоугольник с равными сторонами есть квадрат. Что и требовалось доказать.
1170. Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 10; д) n = 18.
Угол правильного n-угольника равен αn = (n − 2)/n · 180°.
а) n = 3: 1/3 · 180° = 60°.
б) n = 5: 3/5 · 180° = 108°.
в) n = 6: 4/6 · 180° = 120°.
г) n = 10: 8/10 · 180° = 144°.
д) n = 18: 16/18 · 180° = 160°.
Ответ: а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°.
а) n = 3: 1/3 · 180° = 60°.
б) n = 5: 3/5 · 180° = 108°.
в) n = 6: 4/6 · 180° = 120°.
г) n = 10: 8/10 · 180° = 144°.
д) n = 18: 16/18 · 180° = 160°.
Ответ: а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°.
1171. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
Внешний угол при вершине равен 180° − αn, где αn — угол многоугольника. Углов n штук и все они равны, поэтому их сумма равна n · (180° − αn) = 180° · n − n · αn.
Сумма внутренних углов n · αn = (n − 2) · 180°. Значит, сумма внешних углов равна 180° · n − (n − 2) · 180° = 360°.
Ответ: 360° (не зависит от n).
Сумма внутренних углов n · αn = (n − 2) · 180°. Значит, сумма внешних углов равна 180° · n − (n − 2) · 180° = 360°.
Ответ: 360° (не зависит от n).
1172. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?
Из формулы α = (n − 2)/n · 180° получаем, что внешний угол равен 180° − α = 360°/n, откуда n = 360° : (180° − α).
а) 180° − 60° = 120°; n = 360 : 120 = 3.
б) 180° − 90° = 90°; n = 4.
в) 180° − 135° = 45°; n = 8.
г) 180° − 150° = 30°; n = 12.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.
а) 180° − 60° = 120°; n = 360 : 120 = 3.
б) 180° − 90° = 90°; n = 4.
в) 180° − 135° = 45°; n = 8.
г) 180° − 150° = 30°; n = 12.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.
1173. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
Вершины правильного вписанного n-угольника делят описанную окружность на n равных дуг, каждую из которых стягивает одна сторона. Значит, n = 360° : (градусная мера дуги).
а) 360 : 60 = 6.
б) 360 : 30 = 12.
в) 360 : 90 = 4.
г) 360 : 36 = 10.
д) 360 : 18 = 20.
е) 360 : 72 = 5.
Ответ: а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.
а) 360 : 60 = 6.
б) 360 : 30 = 12.
в) 360 : 90 = 4.
г) 360 : 36 = 10.
д) 360 : 18 = 20.
е) 360 : 72 = 5.
Ответ: а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.
1174. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность; пусть O — её центр. Точка O равноудалена от всех вершин, в частности от концов любой стороны. Множество точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку, поэтому серединный перпендикуляр к каждой стороне проходит через точку O.
Следовательно, серединные перпендикуляры к любым двум сторонам имеют общую точку O. Две прямые с общей точкой либо пересекаются в ней, либо совпадают (например, для двух противоположных сторон правильного шестиугольника серединный перпендикуляр у них общий). Что и требовалось доказать.
Следовательно, серединные перпендикуляры к любым двум сторонам имеют общую точку O. Две прямые с общей точкой либо пересекаются в ней, либо совпадают (например, для двух противоположных сторон правильного шестиугольника серединный перпендикуляр у них общий). Что и требовалось доказать.
1175. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность; пусть O — её центр. Точка O равноудалена от всех сторон многоугольника, в частности от сторон любого его угла. Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому биссектриса каждого угла многоугольника (и содержащая её прямая) проходит через точку O.
Значит, прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов, имеют общую точку O: они либо пересекаются в ней, либо совпадают. Что и требовалось доказать.
Значит, прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов, имеют общую точку O: они либо пересекаются в ней, либо совпадают. Что и требовалось доказать.
1176. На рисунке 347, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности). [рисунок 347, а: квадрат, вписанный в окружность радиуса R; r — радиус вписанной в квадрат окружности, a4 — сторона. Таблица со столбцами N, R, r, a4, P, S; известно: №1: a4 = 6; №2: r = 2; №3: R = 4; №4: P = 28; №5: S = 16]
Для квадрата: a4 = R√2, r = a4/2 = R√2/2, P = 4a4, S = a4².
№1: a4 = 6. R = a4/√2 = 3√2; r = 3; P = 24; S = 36.
№2: r = 2. a4 = 2r = 4; R = a4/√2 = 2√2; P = 16; S = 16.
№3: R = 4. a4 = 4√2; r = 2√2; P = 16√2; S = 32.
№4: P = 28. a4 = 7; R = 7/√2 = 7√2/2 = 3,5√2; r = 3,5; S = 49.
№5: S = 16. a4 = 4; R = 2√2; r = 2; P = 16.
№1: a4 = 6. R = a4/√2 = 3√2; r = 3; P = 24; S = 36.
№2: r = 2. a4 = 2r = 4; R = a4/√2 = 2√2; P = 16; S = 16.
№3: R = 4. a4 = 4√2; r = 2√2; P = 16√2; S = 32.
№4: P = 28. a4 = 7; R = 7/√2 = 7√2/2 = 3,5√2; r = 3,5; S = 49.
№5: S = 16. a4 = 4; R = 2√2; r = 2; P = 16.