Глава XII. Вопросы для повторения (продолжение) и дополнительные задачи — с. 292
1149. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 8 см, ∠А = 30°, ∠B = 45°; б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°; в) AB = 3 см, ВС = 3,3 см, ∠А = 48°30′; г) AC = 10,4 см, ВС = 5,2 см, ∠B = 62°48′.
а) ∠C = 180° − 30° − 45° = 105°. BC = AB sin A / sin C = 8 ⋅ 0,5 / 0,9659 ≈ 4,1 см; AC = AB sin B / sin C = 8 ⋅ 0,7071 / 0,9659 ≈ 5,9 см.
б) ∠A = 180° − 45° − 60° = 75°. AC = AB sin B / sin C = 5 ⋅ 0,7071 / 0,8660 ≈ 4,1 см; BC = AB sin A / sin C = 5 ⋅ 0,9659 / 0,8660 ≈ 5,6 см.
в) sin C = AB sin A / BC = 3 ⋅ 0,7490 / 3,3 ≈ 0,6809, ∠C ≈ 42°55′ (AB < BC, поэтому C < A, угол C острый). ∠B = 180° − 48°30′ − 42°55′ = 88°35′. AC = BC sin B / sin A = 3,3 ⋅ 0,9997 / 0,7490 ≈ 4,4 см.
г) AC = b = 10,4, BC = a = 5,2, ∠B = 62°48′. sin A = a sin B / b = 5,2 ⋅ 0,8887 / 10,4 ≈ 0,4444, ∠A ≈ 26°24′ (a < b, A острый). ∠C = 180° − 26°24′ − 62°48′ = 90°48′. AB = c = b sin C / sin B = 10,4 ⋅ 0,9999 / 0,8887 ≈ 11,7 см.
Оговорка: стороны округлены до десятых, углы — до минут; при другом округлении промежуточных значений результат может отличаться на 1–2 минуты.
б) ∠A = 180° − 45° − 60° = 75°. AC = AB sin B / sin C = 5 ⋅ 0,7071 / 0,8660 ≈ 4,1 см; BC = AB sin A / sin C = 5 ⋅ 0,9659 / 0,8660 ≈ 5,6 см.
в) sin C = AB sin A / BC = 3 ⋅ 0,7490 / 3,3 ≈ 0,6809, ∠C ≈ 42°55′ (AB < BC, поэтому C < A, угол C острый). ∠B = 180° − 48°30′ − 42°55′ = 88°35′. AC = BC sin B / sin A = 3,3 ⋅ 0,9997 / 0,7490 ≈ 4,4 см.
г) AC = b = 10,4, BC = a = 5,2, ∠B = 62°48′. sin A = a sin B / b = 5,2 ⋅ 0,8887 / 10,4 ≈ 0,4444, ∠A ≈ 26°24′ (a < b, A острый). ∠C = 180° − 26°24′ − 62°48′ = 90°48′. AB = c = b sin C / sin B = 10,4 ⋅ 0,9999 / 0,8887 ≈ 11,7 см.
Оговорка: стороны округлены до десятых, углы — до минут; при другом округлении промежуточных значений результат может отличаться на 1–2 минуты.
1150. Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 5 см, AC = 7,5 см, ∠А = 135°; б) AB = 2√2 дм, ВС = 3 дм, ∠B = 45°; в) AC = 0,6 м, BC = √3/4 дм, ∠C = 150°.
а) BC² = AB² + AC² − 2 AB ⋅ AC cos A = 25 + 56,25 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7,5 ⋅ (−0,7071) ≈ 81,25 + 53,03 = 134,28, BC ≈ 11,6 см. cos B = (AB² + BC² − AC²) / (2 AB ⋅ BC) = (25 + 134,28 − 56,25) / (2 ⋅ 5 ⋅ 11,59) ≈ 0,8889, ∠B ≈ 27°14′. ∠C = 180° − 135° − 27°14′ ≈ 17°46′.
б) AC² = AB² + BC² − 2 AB ⋅ BC cos B = 8 + 9 − 2 ⋅ 2√2 ⋅ 3 ⋅ √2/2 = 17 − 12 = 5, AC = √5 дм. cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 AB ⋅ AC) = (8 + 5 − 9) / (2 ⋅ 2√2 ⋅ √5) = 4 / (4√10) = 1/√10 ≈ 0,3162, ∠A ≈ 71°34′. ∠C = 180° − 45° − 71°34′ = 63°26′.
в) AC = 0,6 м = 6 дм, BC = √3/4 ≈ 0,433 дм. AB² = AC² + BC² − 2 AC ⋅ BC cos 150° = 36 + 3/16 + 2 ⋅ 6 ⋅ (√3/4) ⋅ (√3/2) = 36 + 0,1875 + 4,5 = 40,6875, AB ≈ 6,38 ≈ 6,4 дм. sin A = BC sin C / AB = 0,433 ⋅ 0,5 / 6,379 ≈ 0,0339, ∠A ≈ 1°57′ (≈ 2°). ∠B = 180° − 150° − 1°57′ ≈ 28°03′ (≈ 28°).
Ответ: а) BC ≈ 11,6 см, ∠B ≈ 27°14′, ∠C ≈ 17°46′; б) AC = √5 дм, ∠A ≈ 71°34′, ∠C ≈ 63°26′; в) AB ≈ 6,4 дм, ∠A ≈ 2°, ∠B ≈ 28°.
б) AC² = AB² + BC² − 2 AB ⋅ BC cos B = 8 + 9 − 2 ⋅ 2√2 ⋅ 3 ⋅ √2/2 = 17 − 12 = 5, AC = √5 дм. cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 AB ⋅ AC) = (8 + 5 − 9) / (2 ⋅ 2√2 ⋅ √5) = 4 / (4√10) = 1/√10 ≈ 0,3162, ∠A ≈ 71°34′. ∠C = 180° − 45° − 71°34′ = 63°26′.
в) AC = 0,6 м = 6 дм, BC = √3/4 ≈ 0,433 дм. AB² = AC² + BC² − 2 AC ⋅ BC cos 150° = 36 + 3/16 + 2 ⋅ 6 ⋅ (√3/4) ⋅ (√3/2) = 36 + 0,1875 + 4,5 = 40,6875, AB ≈ 6,38 ≈ 6,4 дм. sin A = BC sin C / AB = 0,433 ⋅ 0,5 / 6,379 ≈ 0,0339, ∠A ≈ 1°57′ (≈ 2°). ∠B = 180° − 150° − 1°57′ ≈ 28°03′ (≈ 28°).
Ответ: а) BC ≈ 11,6 см, ∠B ≈ 27°14′, ∠C ≈ 17°46′; б) AC = √5 дм, ∠A ≈ 71°34′, ∠C ≈ 63°26′; в) AB ≈ 6,4 дм, ∠A ≈ 2°, ∠B ≈ 28°.
1151. В треугольнике DEF известно, что DE = 4,5 дм, EF = 9,9 дм, DF = 70 см. Найдите углы треугольника.
Переведём в сантиметры: DE = 45 см, EF = 99 см, DF = 70 см.
cos D = (DE² + DF² − EF²) / (2 DE ⋅ DF) = (2025 + 4900 − 9801) / (2 ⋅ 45 ⋅ 70) = −2876 / 6300 ≈ −0,4565, ∠D ≈ 117°10′.
cos E = (DE² + EF² − DF²) / (2 DE ⋅ EF) = (2025 + 9801 − 4900) / (2 ⋅ 45 ⋅ 99) = 6926 / 8910 ≈ 0,7773, ∠E ≈ 38°59′.
∠F = 180° − 117°10′ − 38°59′ ≈ 23°51′.
Ответ: ∠D ≈ 117°10′, ∠E ≈ 38°59′, ∠F ≈ 23°51′.
cos D = (DE² + DF² − EF²) / (2 DE ⋅ DF) = (2025 + 4900 − 9801) / (2 ⋅ 45 ⋅ 70) = −2876 / 6300 ≈ −0,4565, ∠D ≈ 117°10′.
cos E = (DE² + EF² − DF²) / (2 DE ⋅ EF) = (2025 + 9801 − 4900) / (2 ⋅ 45 ⋅ 99) = 6926 / 8910 ≈ 0,7773, ∠E ≈ 38°59′.
∠F = 180° − 117°10′ − 38°59′ ≈ 23°51′.
Ответ: ∠D ≈ 117°10′, ∠E ≈ 38°59′, ∠F ≈ 23°51′.
1152. Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠А = α, AB = с, AC = b.
Биссектриса AD делит угол A на два угла α/2. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и ACD:
(1/2) bc sin α = (1/2) c ⋅ AD ⋅ sin (α/2) + (1/2) b ⋅ AD ⋅ sin (α/2).
Учтём sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2) и сократим на (1/2) sin (α/2): 2bc cos (α/2) = AD (b + c).
Ответ: AD = 2bc cos (α/2) / (b + c).
(1/2) bc sin α = (1/2) c ⋅ AD ⋅ sin (α/2) + (1/2) b ⋅ AD ⋅ sin (α/2).
Учтём sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2) и сократим на (1/2) sin (α/2): 2bc cos (α/2) = AD (b + c).
Ответ: AD = 2bc cos (α/2) / (b + c).
1153. Чтобы определить расстояние между точками A и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки A и B. Измерив угол ACВ и расстояния AC и СВ, находят расстояние AB. Найдите AB, если AC = b, СВ = a, ∠ACВ = α.
В треугольнике ABC известны две стороны AC = b, CB = a и угол между ними ∠C = α. По теореме косинусов AB² = AC² + CB² − 2 AC ⋅ CB cos C = a² + b² − 2ab cos α.
Ответ: AB = √(a² + b² − 2ab cos α).
Ответ: AB = √(a² + b² − 2ab cos α).
1154. Докажите, что треугольник с вершинами A (3; 0), B (1; 5) и C (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
Найдём векторы: AB⃗ {−2; 5}, AC⃗ {−1; 1}, BA⃗ {2; −5}, BC⃗ {1; −4}, CA⃗ {1; −1}, CB⃗ {−1; 4}. Длины: |AB| = √29, |AC| = √2, |BC| = √17.
Скалярные произведения при вершинах: AB⃗ ⋅ AC⃗ = 2 + 5 = 7 > 0 (угол A острый); BA⃗ ⋅ BC⃗ = 2 + 20 = 22 > 0 (угол B острый); CA⃗ ⋅ CB⃗ = −1 − 4 = −5 < 0 (угол C тупой).
У треугольника есть тупой угол C, значит, он тупоугольный.
cos C = CA⃗ ⋅ CB⃗ / (|CA| |CB|) = −5 / (√2 ⋅ √17) = −5 / √34 = −5√34 / 34 ≈ −0,857.
Ответ: cos C = −5√34 / 34.
Скалярные произведения при вершинах: AB⃗ ⋅ AC⃗ = 2 + 5 = 7 > 0 (угол A острый); BA⃗ ⋅ BC⃗ = 2 + 20 = 22 > 0 (угол B острый); CA⃗ ⋅ CB⃗ = −1 − 4 = −5 < 0 (угол C тупой).
У треугольника есть тупой угол C, значит, он тупоугольный.
cos C = CA⃗ ⋅ CB⃗ / (|CA| |CB|) = −5 / (√2 ⋅ √17) = −5 / √34 = −5√34 / 34 ≈ −0,857.
Ответ: cos C = −5√34 / 34.
1155. Найдите длину вектора а = 3i − 4j, где i и j — координатные векторы.
Координатные векторы i {1; 0}, j {0; 1}, поэтому a {3; −4}. |a| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5.
1156. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b = p − 3q, если | p | = 2√2, | q | = 3 и угол между p и q равен 45°.
Диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b, равны |a + b| и |a − b|. a + b = 6p − q, a − b = 4p + 5q.
p ⋅ q = 2√2 ⋅ 3 ⋅ cos 45° = 6√2 ⋅ √2/2 = 6. p² = 8, q² = 9.
|a + b|² = 36 p² − 12 p ⋅ q + q² = 288 − 72 + 9 = 225, |a + b| = 15.
|a − b|² = 16 p² + 40 p ⋅ q + 25 q² = 128 + 240 + 225 = 593, |a − b| = √593 ≈ 24,4.
Ответ: 15 и √593 ≈ 24,4.
p ⋅ q = 2√2 ⋅ 3 ⋅ cos 45° = 6√2 ⋅ √2/2 = 6. p² = 8, q² = 9.
|a + b|² = 36 p² − 12 p ⋅ q + q² = 288 − 72 + 9 = 225, |a + b| = 15.
|a − b|² = 16 p² + 40 p ⋅ q + 25 q² = 128 + 240 + 225 = 593, |a − b| = √593 ≈ 24,4.
Ответ: 15 и √593 ≈ 24,4.
1157. При каком значении x векторы p = xа + 17b и q = 3а − b перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и угол между a и b равен 120°?
Условие перпендикулярности: p ⋅ q = 0. a² = 4, b² = 25, a ⋅ b = 2 ⋅ 5 ⋅ cos 120° = −5.
p ⋅ q = (xa + 17b) ⋅ (3a − b) = 3x a² − x a ⋅ b + 51 a ⋅ b − 17 b² = 12x + 5x − 255 − 425 = 17x − 680.
17x − 680 = 0, x = 40.
Ответ: x = 40.
p ⋅ q = (xa + 17b) ⋅ (3a − b) = 3x a² − x a ⋅ b + 51 a ⋅ b − 17 b² = 12x + 5x − 255 − 425 = 17x − 680.
17x − 680 = 0, x = 40.
Ответ: x = 40.
1158. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
Пусть C — вершина прямого угла, CA = CB = 2. Введём координаты: C (0; 0), A (2; 0), B (0; 2). Середина CB — точка A1 (0; 1), середина CA — точка B1 (1; 0). Медианы из вершин острых углов: AA1⃗ {−2; 1}, BB1⃗ {1; −2}.
cos φ = |AA1⃗ ⋅ BB1⃗| / (|AA1| |BB1|) = |−2 − 2| / (√5 ⋅ √5) = 4/5 (берём модуль, так как нужен острый угол).
φ = arccos 0,8 ≈ 36°52′.
Ответ: ≈ 36°52′.
cos φ = |AA1⃗ ⋅ BB1⃗| / (|AA1| |BB1|) = |−2 − 2| / (√5 ⋅ √5) = 4/5 (берём модуль, так как нужен острый угол).
φ = arccos 0,8 ≈ 36°52′.
Ответ: ≈ 36°52′.
1159. В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4√7 cм, а ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции.
Боковая сторона, прилежащая к углу D, — это CD = 4√7 см (∠ADC = 60° — угол при вершине D между AD и CD). Проведём высоту CH на AD. В прямоугольном треугольнике CHD: CH = CD ⋅ sin 60° = 4√7 ⋅ √3/2 = 2√21 (см). Площадь трапеции S = (AD + BC)/2 ⋅ CH = (16 + 8)/2 ⋅ 2√21 = 24√21 (см²). Прямая l через вершину C делит трапецию на две части равной площади, то есть площадь каждой равна 12√21. Если бы l пересекала сторону AB, то отсекаемый треугольник с вершиной C и основанием на AB имел бы площадь не больше, чем у треугольника с основанием BC = 8 и высотой CH: (1/2) ⋅ 8 ⋅ 2√21 = 8√21 < 12√21, поэтому l пересекает основание AD в некоторой точке C1. Площадь треугольника CC1D: (1/2) ⋅ C1D ⋅ CH = C1D ⋅ √21 = 12√21, откуда C1D = 12 см (12 < 16, точка лежит на AD). По теореме косинусов в треугольнике CC1D: CC1² = CD² + C1D² − 2 ⋅ CD ⋅ C1D ⋅ cos 60° = 112 + 144 − 2 ⋅ 4√7 ⋅ 12 ⋅ 1/2 = 256 − 48√7, CC1 = 4√(16 − 3√7) ≈ 11,4 см. Ответ: S = 24√21 см² ≈ 110 см²; длина отрезка l внутри трапеции равна 4√(16 − 3√7) см ≈ 11,4 см.
1160. В треугольнике ABC, площадь которого равна 3√3, угол А острый, AB = 4√3, AC = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
S = (1/2) AB ⋅ AC ⋅ sin A: 3√3 = (1/2) ⋅ 4√3 ⋅ 3 ⋅ sin A = 6√3 sin A, sin A = 1/2. Угол A острый, значит, ∠A = 30°, cos A = √3/2.
По теореме косинусов BC² = AB² + AC² − 2 AB ⋅ AC cos A = 48 + 9 − 2 ⋅ 4√3 ⋅ 3 ⋅ √3/2 = 57 − 36 = 21, BC = √21.
По следствию из теоремы синусов BC / sin A = 2R, откуда R = BC / (2 sin A) = √21 / (2 ⋅ 1/2) = √21.
Ответ: √21.
По теореме косинусов BC² = AB² + AC² − 2 AB ⋅ AC cos A = 48 + 9 − 2 ⋅ 4√3 ⋅ 3 ⋅ √3/2 = 57 − 36 = 21, BC = √21.
По следствию из теоремы синусов BC / sin A = 2R, откуда R = BC / (2 sin A) = √21 / (2 ⋅ 1/2) = √21.
Ответ: √21.
1161. Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = а. Найдите площадь данного ромба.
Диагональ MP ромба — биссектриса угла M, поэтому ∠QMP = 2α. Так как MQ = QP, треугольник MQP равнобедренный: ∠QPM = ∠QMP = 2α, ∠Q = 180° − 4α. Отрезок MF — биссектриса угла QMP, F лежит на QP, ∠QMF = α.
В треугольнике MQF: ∠Q = 180° − 4α, ∠QMF = α, ∠MFQ = 180° − (180° − 4α) − α = 3α. По теореме синусов MQ / sin ∠MFQ = FQ / sin ∠QMF, то есть MQ = a sin 3α / sin α.
Площадь ромба S = MQ² sin ∠Q = MQ² sin (180° − 4α) = MQ² sin 4α.
Ответ: S = a² sin² 3α ⋅ sin 4α / sin² α.
В треугольнике MQF: ∠Q = 180° − 4α, ∠QMF = α, ∠MFQ = 180° − (180° − 4α) − α = 3α. По теореме синусов MQ / sin ∠MFQ = FQ / sin ∠QMF, то есть MQ = a sin 3α / sin α.
Площадь ромба S = MQ² sin ∠Q = MQ² sin (180° − 4α) = MQ² sin 4α.
Ответ: S = a² sin² 3α ⋅ sin 4α / sin² α.