Глава XII. §3. Скалярное произведение векторов; применение скалярного произведения векторов к решению задач; вопросы для повторения — с. 290
1144. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. [рисунок 341: равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, медианы AA1 и BB1 к боковым сторонам]
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB, CA = CB = s, AA1 и BB1 — медианы к боковым сторонам CB и CA (A1 и B1 — середины CB и CA). Положим CA⃗ = u, CB⃗ = v, |u| = |v| = s, u ⋅ v = s² cos C.
AA1⃗ = CA1⃗ − CA⃗ = v/2 − u, BB1⃗ = CB1⃗ − CB⃗ = u/2 − v.
Медианы перпендикулярны, поэтому AA1⃗ ⋅ BB1⃗ = 0:
(v/2 − u) ⋅ (u/2 − v) = u ⋅ v/4 − v²/2 − u²/2 + u ⋅ v = (5/4) u ⋅ v − (u² + v²)/2 = (5/4) s² cos C − s² = 0.
Отсюда cos C = 4/5, ∠C ≈ 36°52′.
Ответ: ≈ 36°52′ (cos C = 4/5).
AA1⃗ = CA1⃗ − CA⃗ = v/2 − u, BB1⃗ = CB1⃗ − CB⃗ = u/2 − v.
Медианы перпендикулярны, поэтому AA1⃗ ⋅ BB1⃗ = 0:
(v/2 − u) ⋅ (u/2 − v) = u ⋅ v/4 − v²/2 − u²/2 + u ⋅ v = (5/4) u ⋅ v − (u² + v²)/2 = (5/4) s² cos C − s² = 0.
Отсюда cos C = 4/5, ∠C ≈ 36°52′.
Ответ: ≈ 36°52′ (cos C = 4/5).
1145. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Пусть ABCD — ромб, AB⃗ = a, AD⃗ = b, |a| = |b| (стороны ромба равны). Тогда AC⃗ = a + b, DB⃗ = a − b (так как DB⃗ = AB⃗ − AD⃗).
Скалярное произведение AC⃗ ⋅ DB⃗ = (a + b) ⋅ (a − b) = a² − b² = |a|² − |b|² = 0.
Диагонали ненулевые, значит, AC ⊥ BD.
Скалярное произведение AC⃗ ⋅ DB⃗ = (a + b) ⋅ (a − b) = a² − b² = |a|² − |b|² = 0.
Диагонали ненулевые, значит, AC ⊥ BD.
1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.
Проводим две взаимно перпендикулярные прямые: ось абсцисс Ox и ось ординат Oy с началом в точке O. Выбираем единичный отрезок. Единичная полуокружность — это полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1, лежащая в верхней полуплоскости (y ≥ 0). Строим: циркулем с центром O и раствором, равным единичному отрезку, проводим дугу от точки A (1; 0) через точку C (0; 1) до точки B (−1; 0). Она состоит из точек, для которых x² + y² = 1, y ≥ 0.
На рисунке красным показана единичная полуокружность ACB.
На рисунке красным показана единичная полуокружность ACB.
2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°.
Отложим от положительной полуоси Ox угол α в верхнюю полуплоскость. Луч, образующий этот угол с Ox, пересекает единичную полуокружность в точке M (x; y). Синусом угла α называется ордината y точки M, косинусом — абсцисса x этой точки: sin α = y, cos α = x.
Для острого угла это согласуется с прежним определением: если MD — перпендикуляр к Ox, то в прямоугольном треугольнике OMD с гипотенузой OM = 1 имеем sin α = MD/OM = y, cos α = OD/OM = x. Для 0° ≤ α ≤ 180° выполняются неравенства 0 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1. Значения: sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0; cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = −1.
Для острого угла это согласуется с прежним определением: если MD — перпендикуляр к Ox, то в прямоугольном треугольнике OMD с гипотенузой OM = 1 имеем sin α = MD/OM = y, cos α = OD/OM = x. Для 0° ≤ α ≤ 180° выполняются неравенства 0 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1. Значения: sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0; cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = −1.
3. Что называется тангенсом угла α?
Для какого значения α тангенс не определён и почему?
Тангенсом угла α (α ≠ 90°) называется отношение sin α / cos α, то есть tg α = sin α / cos α. При α = 90° тангенс не определён: cos 90° = 0, и в формуле знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя. При этом tg 0° = 0 и tg 180° = 0.
4. Что называется котангенсом угла a?
Для каких значений a котангенс не определён и почему?
Котангенсом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называется отношение cos α / sin α, то есть ctg α = cos α / sin α. При α = 0° и α = 180° котангенс не определён, потому что sin 0° = sin 180° = 0, и знаменатель равен нулю. При α = 90° ctg 90° = 0.
5. Докажите основное тригонометрическое тождество.
Точка M (x; y) единичной полуокружности лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 1, уравнение которой x² + y² = 1. По определению x = cos α, y = sin α. Подставляя, получаем sin²α + cos²α = 1 для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Что и требовалось доказать.
6. Напишите формулы приведения.
sin (90° − α) = cos α, cos (90° − α) = sin α при 0° ≤ α ≤ 90°;
sin (180° − α) = sin α, cos (180° − α) = −cos α при 0° ≤ α ≤ 180°.
sin (180° − α) = sin α, cos (180° − α) = −cos α при 0° ≤ α ≤ 180°.
7. Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.
Пусть A (x; y), y ≥ 0, ∠ между лучом OA и положительной полуосью Ox равен α. Луч OA пересекает единичную полуокружность в точке M, координаты которой (cos α; sin α). Вектор OM⃗ имеет те же координаты {cos α; sin α}. Вектор OA⃗ имеет координаты {x; y}. Векторы OA⃗ и OM⃗ сонаправлены, и OA⃗ = OA ⋅ OM⃗ (длина единичного вектора OM⃗ равна 1). Приравнивая координаты, получаем x = OA ⋅ cos α, y = OA ⋅ sin α.