Глава XII. §3. Скалярное произведение векторов; применение скалярного произведения векторов к решению задач; вопросы для повторения — с. 289
1133. Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если: а) a {1/4; −1}, b {2; 3}; б) a {−5; 6}, b {6; 5}; в) a {1,5; 2}, b {4; −0,5}.
Скалярное произведение векторов a {x1; y1} и b {x2; y2} равно x1x2 + y1y2.
а) (1/4) ⋅ 2 + (−1) ⋅ 3 = 0,5 − 3 = −2,5.
б) (−5) ⋅ 6 + 6 ⋅ 5 = −30 + 30 = 0.
в) 1,5 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−0,5) = 6 − 1 = 5.
а) (1/4) ⋅ 2 + (−1) ⋅ 3 = 0,5 − 3 = −2,5.
б) (−5) ⋅ 6 + 6 ⋅ 5 = −30 + 30 = 0.
в) 1,5 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−0,5) = 6 − 1 = 5.
1134. Докажите, что ненулевые векторы а {x; у} и b {−у; x} перпендикулярны.
Скалярное произведение a ⋅ b = x ⋅ (−y) + y ⋅ x = −xy + xy = 0. Векторы ненулевые, а скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Значит, a ⊥ b.
1135. Докажите, что векторы i + j и i − j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.
Координатные векторы i {1; 0}, j {0; 1}. Тогда i + j {1; 1}, i − j {1; −1}. Скалярное произведение (i + j) ⋅ (i − j) = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) = 0. Векторы ненулевые, значит, они перпендикулярны.
(Другой способ: (i + j)(i − j) = i² − j² = 1 − 1 = 0.)
(Другой способ: (i + j)(i − j) = i² − j² = 1 − 1 = 0.)
1136. При каком значении x векторы a и b перпендикулярны, если: а) а {4; 5}, b {x; −6}; б) а {x; −1}, b {3; 2}; в) a {0; −3}, b {5; x}?
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.
а) 4x + 5 ⋅ (−6) = 0, 4x = 30, x = 7,5.
б) 3x + (−1) ⋅ 2 = 0, 3x = 2, x = 2/3.
в) 0 ⋅ 5 + (−3) ⋅ x = 0, x = 0.
Ответ: а) 7,5; б) 2/3; в) 0.
а) 4x + 5 ⋅ (−6) = 0, 4x = 30, x = 7,5.
б) 3x + (−1) ⋅ 2 = 0, 3x = 2, x = 2/3.
в) 0 ⋅ 5 + (−3) ⋅ x = 0, x = 0.
Ответ: а) 7,5; б) 2/3; в) 0.
1137. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A (2; 8), В (−1; 5), С (3; 1).
Найдём координаты векторов: AB⃗ {−3; −3}, AC⃗ {1; −7}, BC⃗ {4; −4}, BA⃗ {3; 3}, CA⃗ {−1; 7}, CB⃗ {−4; 4}. Длины: |AB| = √18 = 3√2, |AC| = √50 = 5√2, |BC| = √32 = 4√2.
cos A = (AB⃗ ⋅ AC⃗) / (|AB| |AC|) = (−3 ⋅ 1 + (−3)(−7)) / (3√2 ⋅ 5√2) = 18/30 = 3/5.
cos B = (BA⃗ ⋅ BC⃗) / (|BA| |BC|) = (3 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−4)) / (3√2 ⋅ 4√2) = 0.
cos C = (CA⃗ ⋅ CB⃗) / (|CA| |CB|) = ((−1)(−4) + 7 ⋅ 4) / (5√2 ⋅ 4√2) = 32/40 = 4/5.
Ответ: cos A = 3/5, cos B = 0, cos C = 4/5.
cos A = (AB⃗ ⋅ AC⃗) / (|AB| |AC|) = (−3 ⋅ 1 + (−3)(−7)) / (3√2 ⋅ 5√2) = 18/30 = 3/5.
cos B = (BA⃗ ⋅ BC⃗) / (|BA| |BC|) = (3 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−4)) / (3√2 ⋅ 4√2) = 0.
cos C = (CA⃗ ⋅ CB⃗) / (|CA| |CB|) = ((−1)(−4) + 7 ⋅ 4) / (5√2 ⋅ 4√2) = 32/40 = 4/5.
Ответ: cos A = 3/5, cos B = 0, cos C = 4/5.
1138. Найдите углы треугольника с вершинами A (−1; √3), B (1; −√3) и C (1/2; √3).
Векторы: AB⃗ {2; −2√3}, AC⃗ {3/2; 0}, BA⃗ {−2; 2√3}, BC⃗ {−1/2; 2√3}. Длины: |AB| = √(4 + 12) = 4, |AC| = 3/2, |BC| = √(1/4 + 12) = 7/2.
cos A = (2 ⋅ 3/2 + (−2√3) ⋅ 0) / (4 ⋅ 3/2) = 3/6 = 1/2, ∠A = 60°.
cos B = ((−2)(−1/2) + 2√3 ⋅ 2√3) / (4 ⋅ 7/2) = (1 + 12)/14 = 13/14, ∠B ≈ 21°47′.
∠C = 180° − 60° − 21°47′ = 98°13′.
Ответ: ∠A = 60°, ∠B ≈ 21°47′, ∠C ≈ 98°13′.
cos A = (2 ⋅ 3/2 + (−2√3) ⋅ 0) / (4 ⋅ 3/2) = 3/6 = 1/2, ∠A = 60°.
cos B = ((−2)(−1/2) + 2√3 ⋅ 2√3) / (4 ⋅ 7/2) = (1 + 12)/14 = 13/14, ∠B ≈ 21°47′.
∠C = 180° − 60° − 21°47′ = 98°13′.
Ответ: ∠A = 60°, ∠B ≈ 21°47′, ∠C ≈ 98°13′.
1139. Вычислите | a + b | и | a − b |, если | a | = 5, | b | = 8, а угол между a и b равен 60°.
a ⋅ b = 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60° = 20.
|a + b|² = a² + 2 a ⋅ b + b² = 25 + 40 + 64 = 129, |a + b| = √129.
|a − b|² = a² − 2 a ⋅ b + b² = 25 − 40 + 64 = 49, |a − b| = 7.
Ответ: √129 и 7.
|a + b|² = a² + 2 a ⋅ b + b² = 25 + 40 + 64 = 129, |a + b| = √129.
|a − b|² = a² − 2 a ⋅ b + b² = 25 − 40 + 64 = 49, |a − b| = 7.
Ответ: √129 и 7.
1140. Известно, что угол между a и c и угол между b и c равны 60°, | a | = 1, | b | = | c | = 2. Вычислите (a + b) ⋅ с.
По распределительному закону (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c.
a ⋅ c = 1 ⋅ 2 ⋅ cos 60° = 1; b ⋅ c = 2 ⋅ 2 ⋅ cos 60° = 2.
Итого 1 + 2 = 3.
Ответ: 3.
a ⋅ c = 1 ⋅ 2 ⋅ cos 60° = 1; b ⋅ c = 2 ⋅ 2 ⋅ cos 60° = 2.
Итого 1 + 2 = 3.
Ответ: 3.
1141. Вычислите скалярное произведение векторов p = a − b − с и q = a − b + с, если | a | = 5, | b | = 2, | с | = 4 и a ⊥ b.
p ⋅ q = ((a − b) − c) ⋅ ((a − b) + c) = (a − b)² − c² = a² − 2 a ⋅ b + b² − c².
Так как a ⊥ b, a ⋅ b = 0. Получаем 25 − 0 + 4 − 16 = 13.
Ответ: 13.
Так как a ⊥ b, a ⋅ b = 0. Получаем 25 − 0 + 4 − 16 = 13.
Ответ: 13.
1142. Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a = 3p − 2q и b = p + 4q, где p и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
p² = q² = 1, p ⋅ q = 0.
a ⋅ b = (3p − 2q) ⋅ (p + 4q) = 3p² + 12 p ⋅ q − 2 q ⋅ p − 8q² = 3 + 0 − 0 − 8 = −5.
Ответ: −5.
a ⋅ b = (3p − 2q) ⋅ (p + 4q) = 3p² + 12 p ⋅ q − 2 q ⋅ p − 8q² = 3 + 0 − 0 − 8 = −5.
Ответ: −5.
1143. Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
Точка M — середина BC, поэтому AM⃗ = (AB⃗ + AC⃗)/2, то есть 2AM⃗ = AB⃗ + AC⃗. Возведём в скалярный квадрат: 4 AM² = (AB⃗ + AC⃗)² = AB² + 2 AB⃗ ⋅ AC⃗ + AC². Так как AB⃗ ⋅ AC⃗ = AB ⋅ AC ⋅ cos A, получаем 4AM² = AB² + AC² + 2 AB ⋅ AC ⋅ cos A.
Пусть теперь треугольник ABC равнобедренный, AB = AC, и пусть BN, CK — медианы, проведённые к боковым сторонам AC и AB. Применяя доказанную формулу к медиане BN (из вершины B, к стороне AC): 4BN² = BA² + BC² + 2 BA ⋅ BC ⋅ cos B. Для медианы CK (из вершины C): 4CK² = CA² + CB² + 2 CA ⋅ CB ⋅ cos C. Так как BA = CA, а углы при основании ∠B = ∠C, правые части равны. Значит, BN = CK. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь треугольник ABC равнобедренный, AB = AC, и пусть BN, CK — медианы, проведённые к боковым сторонам AC и AB. Применяя доказанную формулу к медиане BN (из вершины B, к стороне AC): 4BN² = BA² + BC² + 2 BA ⋅ BC ⋅ cos B. Для медианы CK (из вершины C): 4CK² = CA² + CB² + 2 CA ⋅ CB ⋅ cos C. Так как BA = CA, а углы при основании ∠B = ∠C, правые части равны. Значит, BN = CK. Что и требовалось доказать.