Глава XII. §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника — с. 283
1123. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
Пусть ABCD — трапеция, AD = 10 см — большее основание, BC = AB = CD = x, ∠A = ∠D = 70°. Опустим высоты BH и CK на AD. Тогда AH = KD = x cos 70° (из прямоугольных треугольников), HK = BC = x.
AD = AH + HK + KD = x + 2x cos 70°, поэтому x = 10 / (1 + 2 cos 70°) = 10 / (1 + 0,6840) ≈ 5,94 (см).
Периметр P = 3x + 10 ≈ 17,8 + 10 ≈ 27,8 (см).
Ответ: ≈ 28 см.
AD = AH + HK + KD = x + 2x cos 70°, поэтому x = 10 / (1 + 2 cos 70°) = 10 / (1 + 0,6840) ≈ 5,94 (см).
Периметр P = 3x + 10 ≈ 17,8 + 10 ≈ 27,8 (см).
Ответ: ≈ 28 см.
1124. В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если AB = 13 см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.
По свойству пересекающихся хорд AE ⋅ EB = CE ⋅ ED = 9 ⋅ 4 = 36. Так как AE + EB = 13, числа AE и EB — корни уравнения t² − 13t + 36 = 0, то есть 4 и 9 см. Возможны два случая: BE = 4 см или BE = 9 см.
Рассмотрим треугольник BED, в нём ED = 4, BD = 4√3. По теореме косинусов BD² = BE² + ED² − 2 BE ⋅ ED cos ∠BED.
1) BE = 4: 48 = 16 + 16 − 32 cos ∠BED, cos ∠BED = −1/2, ∠BED = 120°. Острый угол между хордами 180° − 120° = 60°.
2) BE = 9: 48 = 81 + 16 − 72 cos ∠BED, cos ∠BED = 49/72 ≈ 0,6806, ∠BED ≈ 47°7′ (острый).
Ответ: 60° или ≈ 47°7′.
Рассмотрим треугольник BED, в нём ED = 4, BD = 4√3. По теореме косинусов BD² = BE² + ED² − 2 BE ⋅ ED cos ∠BED.
1) BE = 4: 48 = 16 + 16 − 32 cos ∠BED, cos ∠BED = −1/2, ∠BED = 120°. Острый угол между хордами 180° − 120° = 60°.
2) BE = 9: 48 = 81 + 16 − 72 cos ∠BED, cos ∠BED = 49/72 ≈ 0,6806, ∠BED ≈ 47°7′ (острый).
Ответ: 60° или ≈ 47°7′.
1125. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 334). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни? [рисунок 334: наблюдатель на расстоянии 50 м от башни; основание башни видно под углом 2° вниз от горизонтали, вершина — под углом 45° вверх]
Глаза наблюдателя находятся на высоте, с которой горизонтальная линия идёт к башне. Высота башни складывается из двух частей: выше горизонтали и ниже неё.
Часть выше горизонтали: 50 ⋅ tg 45° = 50 м. Часть ниже горизонтали: 50 ⋅ tg 2° ≈ 50 ⋅ 0,0349 ≈ 1,75 м.
Высота башни ≈ 50 + 1,75 ≈ 51,7 м.
Ответ: ≈ 52 м.
Часть выше горизонтали: 50 ⋅ tg 45° = 50 м. Часть ниже горизонтали: 50 ⋅ tg 2° ≈ 50 ⋅ 0,0349 ≈ 1,75 м.
Высота башни ≈ 50 + 1,75 ≈ 51,7 м.
Ответ: ≈ 52 м.
1126. Для определения ширины реки отметили два пункта A и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы CAB и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠СAB = 12°30′, ∠ABС = 72°42′. Найдите ширину реки.
Ширина реки — расстояние от точки C до прямой AB, то есть высота h треугольника ABC, проведённая из C. В треугольнике ABC ∠C = 180° − 12°30′ − 72°42′ = 94°48′. По теореме синусов AC = AB sin B / sin C = 70 ⋅ sin 72°42′ / sin 94°48′ ≈ 70 ⋅ 0,9546 / 0,9965 ≈ 67,1 (м).
Высота h = AC ⋅ sin A = 67,1 ⋅ sin 12°30′ ≈ 67,1 ⋅ 0,2164 ≈ 14,5 (м).
Ответ: ≈ 14,5 м.
Высота h = AC ⋅ sin A = 67,1 ⋅ sin 12°30′ ≈ 67,1 ⋅ 0,2164 ≈ 14,5 (м).
Ответ: ≈ 14,5 м.
1127. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 335). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы. [рисунок 335: башня BC высотой 100 м стоит на горе высотой H; предмет A у подножия, из B виден под углом 60° к горизонту, из C — под углом 30°]
Проведём через A горизонтальную прямую. Линия AC составляет с ней угол 30°, линия AB — угол 60°. Следовательно, ∠CAB = 60° − 30° = 30°.
Башня BC вертикальна. Угол BCA между CB (вверх) и CA (вниз под углом 30° к горизонтали) равен 90° + 30° = 120°. Тогда ∠B = 180° − 30° − 120° = 30° = ∠A, значит, треугольник ABC равнобедренный и AC = BC = 100 м.
Высота горы H — это вертикальный катет прямоугольного треугольника с гипотенузой AC и углом 30° при вершине A: H = AC ⋅ sin 30° = 100 ⋅ 1/2 = 50 (м).
Ответ: 50 м.
Башня BC вертикальна. Угол BCA между CB (вверх) и CA (вниз под углом 30° к горизонтали) равен 90° + 30° = 120°. Тогда ∠B = 180° − 30° − 120° = 30° = ∠A, значит, треугольник ABC равнобедренный и AC = BC = 100 м.
Высота горы H — это вертикальный катет прямоугольного треугольника с гипотенузой AC и углом 30° при вершине A: H = AC ⋅ sin 30° = 100 ⋅ 1/2 = 50 (м).
Ответ: 50 м.