Глава XII. §3. Скалярное произведение векторов; применение скалярного произведения векторов к решению задач; вопросы для повторения — с. 288
1128. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) AB⃗ и AC⃗; б) AB⃗ и DA⃗; в) OA⃗ и OB⃗; г) AO⃗ и OB⃗; д) OA⃗ и OC⃗; е) AC⃗ и BD⃗; ж) AD⃗ и DB⃗; з) AO⃗ и OC⃗.
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делятся точкой O пополам и являются биссектрисами углов квадрата. Угол между векторами находим, откладывая их от одной точки.
а) AB⃗ и AC⃗ выходят из A, ∠BAC = 45°. Ответ 45°.
б) DA⃗ параллелен и противоположно направлен вектору AD⃗, а AD ⊥ AB. Значит, угол между AB⃗ и DA⃗ равен 90°.
в) OA⃗ и OB⃗ — лучи OA и OB, диагонали перпендикулярны: 90°.
г) AO⃗ сонаправлен AC⃗, OB⃗ сонаправлен с DB⃗. AC ⊥ BD, значит, угол 90°.
д) OA⃗ и OC⃗ направлены в противоположные стороны: 180°.
е) AC ⊥ BD: 90°.
ж) Отложим оба вектора от точки D: DA⃗ и DB⃗ образуют угол ADB = 45°, а вектор AD⃗ противоположен DA⃗. Поэтому угол между AD⃗ и DB⃗ равен 180° − 45° = 135°.
з) AO⃗ и OC⃗ сонаправлены: 0°.
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°.
а) AB⃗ и AC⃗ выходят из A, ∠BAC = 45°. Ответ 45°.
б) DA⃗ параллелен и противоположно направлен вектору AD⃗, а AD ⊥ AB. Значит, угол между AB⃗ и DA⃗ равен 90°.
в) OA⃗ и OB⃗ — лучи OA и OB, диагонали перпендикулярны: 90°.
г) AO⃗ сонаправлен AC⃗, OB⃗ сонаправлен с DB⃗. AC ⊥ BD, значит, угол 90°.
д) OA⃗ и OC⃗ направлены в противоположные стороны: 180°.
е) AC ⊥ BD: 90°.
ж) Отложим оба вектора от точки D: DA⃗ и DB⃗ образуют угол ADB = 45°, а вектор AD⃗ противоположен DA⃗. Поэтому угол между AD⃗ и DB⃗ равен 180° − 45° = 135°.
з) AO⃗ и OC⃗ сонаправлены: 0°.
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°.
1129. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) AB⃗ и AD⃗; б) AB⃗ и DA⃗; в) BA⃗ и AD⃗; г) OC⃗ и OD⃗; д) AB⃗ и DA⃗; е) AB⃗ и CD⃗.
Так как BD = AB = AD, треугольник ABD равносторонний, ∠A = 60°, ∠B = 120°. Диагонали ромба перпендикулярны.
а) Векторы AB⃗ и AD⃗ выходят из A: 60°.
б) AD⃗ и DA⃗ противоположны, поэтому угол между AB⃗ и DA⃗ равен 180° − 60° = 120°.
в) BA⃗ = −AB⃗, поэтому угол между BA⃗ и AD⃗ равен 180° − 60° = 120°.
г) OC⃗ лежит на AC, OD⃗ — на BD, AC ⊥ BD: 90°.
д) Условие в учебнике напечатано так же, как в пункте б): угол 120°. Если вместо DA⃗ имеется в виду DC⃗, то AB⃗ и DC⃗ сонаправлены и угол равен 0°.
е) CD⃗ противоположен DC⃗, а AB⃗ и DC⃗ сонаправлены (AB ∥ DC, ABCD параллелограмм), значит, AB⃗ и CD⃗ противоположно направлены: 180°.
Ответ: а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 120° (при чтении DC⃗: 0°); е) 180°.
Оговорка: пункт д) напечатан в учебнике как пункт б), поэтому приведены оба варианта.
а) Векторы AB⃗ и AD⃗ выходят из A: 60°.
б) AD⃗ и DA⃗ противоположны, поэтому угол между AB⃗ и DA⃗ равен 180° − 60° = 120°.
в) BA⃗ = −AB⃗, поэтому угол между BA⃗ и AD⃗ равен 180° − 60° = 120°.
г) OC⃗ лежит на AC, OD⃗ — на BD, AC ⊥ BD: 90°.
д) Условие в учебнике напечатано так же, как в пункте б): угол 120°. Если вместо DA⃗ имеется в виду DC⃗, то AB⃗ и DC⃗ сонаправлены и угол равен 0°.
е) CD⃗ противоположен DC⃗, а AB⃗ и DC⃗ сонаправлены (AB ∥ DC, ABCD параллелограмм), значит, AB⃗ и CD⃗ противоположно направлены: 180°.
Ответ: а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 120° (при чтении DC⃗: 0°); е) 180°.
Оговорка: пункт д) напечатан в учебнике как пункт б), поэтому приведены оба варианта.
1130. Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если | а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cos φ.
а) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 45° = 6 ⋅ √2/2 = 3√2.
б) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 90° = 0.
в) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 135° = 6 ⋅ (−√2/2) = −3√2.
а) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 45° = 6 ⋅ √2/2 = 3√2.
б) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 90° = 0.
в) 2 ⋅ 3 ⋅ cos 135° = 6 ⋅ (−√2/2) = −3√2.
1131. В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) AB⃗ ⋅ AC⃗; б) AC⃗ ⋅ CB⃗; в) AC⃗ ⋅ BD⃗; г) AC⃗ ⋅ AC⃗.
Все углы треугольника по 60°, BD ⊥ AC.
а) Угол между AB⃗ и AC⃗ равен ∠A = 60°: AB⃗ ⋅ AC⃗ = a ⋅ a ⋅ cos 60° = a²/2.
б) Отложим AC⃗ и CB⃗ от точки C: вместо AC⃗ берём вектор CA⃗ с противоположным направлением, угол между CA⃗ и CB⃗ равен ∠C = 60°, значит, угол между AC⃗ и CB⃗ равен 180° − 60° = 120°. AC⃗ ⋅ CB⃗ = a ⋅ a ⋅ cos 120° = −a²/2.
в) BD ⊥ AC, значит, AC⃗ ⋅ BD⃗ = 0.
г) AC⃗ ⋅ AC⃗ = |AC⃗|² = a².
Ответ: а) a²/2; б) −a²/2; в) 0; г) a².
а) Угол между AB⃗ и AC⃗ равен ∠A = 60°: AB⃗ ⋅ AC⃗ = a ⋅ a ⋅ cos 60° = a²/2.
б) Отложим AC⃗ и CB⃗ от точки C: вместо AC⃗ берём вектор CA⃗ с противоположным направлением, угол между CA⃗ и CB⃗ равен ∠C = 60°, значит, угол между AC⃗ и CB⃗ равен 180° − 60° = 120°. AC⃗ ⋅ CB⃗ = a ⋅ a ⋅ cos 120° = −a²/2.
в) BD ⊥ AC, значит, AC⃗ ⋅ BD⃗ = 0.
г) AC⃗ ⋅ AC⃗ = |AC⃗|² = a².
Ответ: а) a²/2; б) −a²/2; в) 0; г) a².
1132. К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причём | P | = 8, | Q | = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
R = P + Q (векторы). Тогда |R|² = R ⋅ R = |P|² + 2 P ⋅ Q + |Q|² = 64 + 2 ⋅ 8 ⋅ 15 ⋅ cos 120° + 225 = 64 − 120 + 225 = 169.
|R| = 13.
Ответ: 13.
|R| = 13.
Ответ: 13.