Глава XII. §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника — с. 282
1114. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) ∠А = 60°, ∠B = 40°, c = 14; б) ∠А = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5; в) ∠А = 80°, а = 16, b = 10; г) ∠B = 45°, ∠С = 70°, а = 24,6; д) ∠А = 60°, а = 10, b = 7; е) а = 6,3, b = 6,3, ∠С = 54°; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; з) а = 14, b = 18, с = 20; и) а = 6, b = 7,3, с = 4,8.
Обозначения: a = BC, b = CA, c = AB. Используем теорему синусов a/sin A = b/sin B = c/sin C и теорему косинусов, сумму углов 180°.
а) ∠C = 180° − 60° − 40° = 80°. a = c sin A / sin C = 14 ⋅ 0,8660 / 0,9848 ≈ 12,3; b = c sin B / sin C = 14 ⋅ 0,6428 / 0,9848 ≈ 9,1.
б) ∠B = 180° − 30° − 75° = 75°, значит, треугольник равнобедренный: c = b = 4,5. a = b sin A / sin B = 4,5 ⋅ 0,5 / 0,9659 ≈ 2,3.
в) sin B = b sin A / a = 10 ⋅ 0,9848 / 16 ≈ 0,6155, ∠B ≈ 37°59′ (тупой угол невозможен, так как b < a и B < A). ∠C = 180° − 80° − 37°59′ ≈ 62°01′. c = a sin C / sin A ≈ 16 ⋅ 0,8829 / 0,9848 ≈ 14,3.
г) ∠A = 180° − 45° − 70° = 65°. b = a sin B / sin A = 24,6 ⋅ 0,7071 / 0,9063 ≈ 19,2; c = a sin C / sin A = 24,6 ⋅ 0,9397 / 0,9063 ≈ 25,5.
д) sin B = b sin A / a = 7 ⋅ 0,8660 / 10 ≈ 0,6062, ∠B ≈ 37°19′ (b < a, значит, B острый). ∠C = 180° − 60° − 37°19′ = 82°41′. c = a sin C / sin A ≈ 10 ⋅ 0,9921 / 0,8660 ≈ 11,5.
е) Треугольник равнобедренный (a = b), ∠A = ∠B = (180° − 54°)/2 = 63°. c = 2 ⋅ 6,3 ⋅ sin 27° ≈ 5,7 (или по теореме косинусов c² = 2 ⋅ 6,3² (1 − cos 54°)).
ж) По теореме косинусов a² = b² + c² − 2bc cos A = 1024 + 2025 − 2880 ⋅ 0,0523 ≈ 2898, a ≈ 53,8. sin B = b sin A / a = 32 ⋅ 0,9986 / 53,8 ≈ 0,5936, ∠B ≈ 36°25′ (угол B лежит против стороны b = 32, которая меньше стороны c = 45, поэтому B острый). ∠C = 180° − 87° − 36°25′ ≈ 56°35′.
з) cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (324 + 400 − 196)/(720) ≈ 0,7333, ∠A ≈ 42°50′. cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (196 + 400 − 324)/560 ≈ 0,4857, ∠B ≈ 60°56′. ∠C = 180° − A − B ≈ 76°14′.
и) cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (53,29 + 23,04 − 36)/70,08 ≈ 0,5756, ∠A ≈ 54°52′. cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (36 + 23,04 − 53,29)/57,6 ≈ 0,0998, ∠B ≈ 84°16′. ∠C = 180° − A − B ≈ 40°52′.
Оговорка: значения с калькулятора округлены (стороны до десятых, углы до минут), последняя цифра может отличаться на единицу при другом округлении.
а) ∠C = 180° − 60° − 40° = 80°. a = c sin A / sin C = 14 ⋅ 0,8660 / 0,9848 ≈ 12,3; b = c sin B / sin C = 14 ⋅ 0,6428 / 0,9848 ≈ 9,1.
б) ∠B = 180° − 30° − 75° = 75°, значит, треугольник равнобедренный: c = b = 4,5. a = b sin A / sin B = 4,5 ⋅ 0,5 / 0,9659 ≈ 2,3.
в) sin B = b sin A / a = 10 ⋅ 0,9848 / 16 ≈ 0,6155, ∠B ≈ 37°59′ (тупой угол невозможен, так как b < a и B < A). ∠C = 180° − 80° − 37°59′ ≈ 62°01′. c = a sin C / sin A ≈ 16 ⋅ 0,8829 / 0,9848 ≈ 14,3.
г) ∠A = 180° − 45° − 70° = 65°. b = a sin B / sin A = 24,6 ⋅ 0,7071 / 0,9063 ≈ 19,2; c = a sin C / sin A = 24,6 ⋅ 0,9397 / 0,9063 ≈ 25,5.
д) sin B = b sin A / a = 7 ⋅ 0,8660 / 10 ≈ 0,6062, ∠B ≈ 37°19′ (b < a, значит, B острый). ∠C = 180° − 60° − 37°19′ = 82°41′. c = a sin C / sin A ≈ 10 ⋅ 0,9921 / 0,8660 ≈ 11,5.
е) Треугольник равнобедренный (a = b), ∠A = ∠B = (180° − 54°)/2 = 63°. c = 2 ⋅ 6,3 ⋅ sin 27° ≈ 5,7 (или по теореме косинусов c² = 2 ⋅ 6,3² (1 − cos 54°)).
ж) По теореме косинусов a² = b² + c² − 2bc cos A = 1024 + 2025 − 2880 ⋅ 0,0523 ≈ 2898, a ≈ 53,8. sin B = b sin A / a = 32 ⋅ 0,9986 / 53,8 ≈ 0,5936, ∠B ≈ 36°25′ (угол B лежит против стороны b = 32, которая меньше стороны c = 45, поэтому B острый). ∠C = 180° − 87° − 36°25′ ≈ 56°35′.
з) cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (324 + 400 − 196)/(720) ≈ 0,7333, ∠A ≈ 42°50′. cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (196 + 400 − 324)/560 ≈ 0,4857, ∠B ≈ 60°56′. ∠C = 180° − A − B ≈ 76°14′.
и) cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (53,29 + 23,04 − 36)/70,08 ≈ 0,5756, ∠A ≈ 54°52′. cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (36 + 23,04 − 53,29)/57,6 ≈ 0,0998, ∠B ≈ 84°16′. ∠C = 180° − A − B ≈ 40°52′.
Оговорка: значения с калькулятора округлены (стороны до десятых, углы до минут), последняя цифра может отличаться на единицу при другом округлении.
1115. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 cм, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и SABC.
∠B = 180° − 75° − 60° = 45°. По теореме синусов AB / sin C = AC / sin B, откуда AB = 12 ⋅ sin 60° / sin 45° = 12 ⋅ (√3/2) / (√2/2) = 12 ⋅ √3/√2 = 6√6 ≈ 14,7 (см).
Площадь S = (1/2) ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A = (1/2) ⋅ 14,7 ⋅ 12 ⋅ sin 75° ≈ 88,2 ⋅ 0,9659 ≈ 85,2 (см²). Точное значение: S = 36√6 ⋅ (√6 + √2)/4 = 54 + 18√3.
Ответ: AB = 6√6 ≈ 14,7 см, S = 54 + 18√3 ≈ 85 см².
Площадь S = (1/2) ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A = (1/2) ⋅ 14,7 ⋅ 12 ⋅ sin 75° ≈ 88,2 ⋅ 0,9659 ≈ 85,2 (см²). Точное значение: S = 36√6 ⋅ (√6 + √2)/4 = 54 + 18√3.
Ответ: AB = 6√6 ≈ 14,7 см, S = 54 + 18√3 ≈ 85 см².
1116. Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.
∠B = 180° − 45° − 30° = 105°. Угол B тупой, поэтому основание D высоты AD лежит на продолжении стороны BC за точку B.
Из прямоугольного треугольника ADC (∠C = 30°): AC = 2 ⋅ AD = 6 м (катет против угла 30° вдвое меньше гипотенузы), DC = AD ⋅ ctg 30° = 3√3 м.
По теореме синусов AB = AC sin C / sin B = 6 ⋅ (1/2) / sin 105°, sin 105° = sin 75° = (√6 + √2)/4, поэтому AB = 3 ⋅ 4 / (√6 + √2) = 3 (√6 − √2) ≈ 3,1 м.
BC = AC sin A / sin B = 6 ⋅ (√2/2) / ((√6 + √2)/4) = 12√2 / (√6 + √2) = 6 (√3 − 1) ≈ 4,4 м. (Проверка: ∠ABD = 75°, DB = 3 ctg 75° = 3 (2 − √3), BC = DC − DB = 3√3 − 6 + 3√3 = 6√3 − 6.)
Ответ: AC = 6 м, AB = 3 (√6 − √2) ≈ 3,1 м, BC = 6 (√3 − 1) ≈ 4,4 м.
Из прямоугольного треугольника ADC (∠C = 30°): AC = 2 ⋅ AD = 6 м (катет против угла 30° вдвое меньше гипотенузы), DC = AD ⋅ ctg 30° = 3√3 м.
По теореме синусов AB = AC sin C / sin B = 6 ⋅ (1/2) / sin 105°, sin 105° = sin 75° = (√6 + √2)/4, поэтому AB = 3 ⋅ 4 / (√6 + √2) = 3 (√6 − √2) ≈ 3,1 м.
BC = AC sin A / sin B = 6 ⋅ (√2/2) / ((√6 + √2)/4) = 12√2 / (√6 + √2) = 6 (√3 − 1) ≈ 4,4 м. (Проверка: ∠ABD = 75°, DB = 3 ctg 75° = 3 (2 − √3), BC = DC − DB = 3√3 − 6 + 3√3 = 6√3 − 6.)
Ответ: AC = 6 м, AB = 3 (√6 − √2) ≈ 3,1 м, BC = 6 (√3 − 1) ≈ 4,4 м.
1117. В параллелограмме ABCD известно, что AD = 7 1/3 м, BD = 4,4 м, ∠А = 22°30′. Найдите ∠BDC и ∠DBC.
В треугольнике ABD известны AD = 22/3 ≈ 7,33 м, BD = 4,4 м и ∠A = 22°30′. По теореме синусов sin ∠ABD = AD sin A / BD = 7,33 ⋅ 0,3827 / 4,4 ≈ 0,6376. Так как AD > BD, угол ABD может быть как острым, так и тупым: ∠ABD ≈ 39°38′ или ∠ABD ≈ 180° − 39°38′ = 140°22′.
В параллелограмме AB ∥ CD, поэтому ∠BDC = ∠ABD (накрест лежащие при секущей BD), а AD ∥ BC, поэтому ∠DBC = ∠ADB (накрест лежащие при секущей BD).
1) ∠ABD ≈ 39°38′: ∠ADB = 180° − 22°30′ − 39°38′ = 117°52′. Тогда ∠BDC ≈ 39°38′, ∠DBC ≈ 117°52′.
2) ∠ABD ≈ 140°22′: ∠ADB = 180° − 22°30′ − 140°22′ = 17°08′. Тогда ∠BDC ≈ 140°22′, ∠DBC ≈ 17°08′.
Ответ: ∠BDC ≈ 39°38′, ∠DBC ≈ 117°52′ или ∠BDC ≈ 140°22′, ∠DBC ≈ 17°08′.
В параллелограмме AB ∥ CD, поэтому ∠BDC = ∠ABD (накрест лежащие при секущей BD), а AD ∥ BC, поэтому ∠DBC = ∠ADB (накрест лежащие при секущей BD).
1) ∠ABD ≈ 39°38′: ∠ADB = 180° − 22°30′ − 39°38′ = 117°52′. Тогда ∠BDC ≈ 39°38′, ∠DBC ≈ 117°52′.
2) ∠ABD ≈ 140°22′: ∠ADB = 180° − 22°30′ − 140°22′ = 17°08′. Тогда ∠BDC ≈ 140°22′, ∠DBC ≈ 17°08′.
Ответ: ∠BDC ≈ 39°38′, ∠DBC ≈ 117°52′ или ∠BDC ≈ 140°22′, ∠DBC ≈ 17°08′.
1118. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
Пусть AB = a, ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ = 180° − α − β, sin γ = sin (α + β).
Биссектриса AD (D на BC). В треугольнике ABD: ∠BAD = α/2, ∠B = β, ∠ADB = 180° − α/2 − β. По теореме синусов AD / sin β = AB / sin ∠ADB, откуда AD = a sin β / sin (α/2 + β).
Аналогично биссектриса BE (E на AC): BE = a sin α / sin (β/2 + α).
Биссектриса CL (L на AB). AC = a sin β / sin (α + β) (теорема синусов). В треугольнике ACL: ∠A = α, ∠ACL = γ/2 = 90° − (α + β)/2, ∠ALC = 180° − α − 90° + (α + β)/2 = 90° − (α − β)/2. По теореме синусов CL = AC sin α / sin ∠ALC = a sin α sin β / (sin (α + β) cos ((α − β)/2)).
Ответ: a sin β / sin (α/2 + β); a sin α / sin (β/2 + α); a sin α sin β / (sin (α + β) cos ((α − β)/2)).
Биссектриса AD (D на BC). В треугольнике ABD: ∠BAD = α/2, ∠B = β, ∠ADB = 180° − α/2 − β. По теореме синусов AD / sin β = AB / sin ∠ADB, откуда AD = a sin β / sin (α/2 + β).
Аналогично биссектриса BE (E на AC): BE = a sin α / sin (β/2 + α).
Биссектриса CL (L на AB). AC = a sin β / sin (α + β) (теорема синусов). В треугольнике ACL: ∠A = α, ∠ACL = γ/2 = 90° − (α + β)/2, ∠ALC = 180° − α − 90° + (α + β)/2 = 90° − (α − β)/2. По теореме синусов CL = AC sin α / sin ∠ALC = a sin α sin β / (sin (α + β) cos ((α − β)/2)).
Ответ: a sin β / sin (α/2 + β); a sin α / sin (β/2 + α); a sin α sin β / (sin (α + β) cos ((α − β)/2)).
1119. Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
Пусть в параллелограмме ABCD AB = a, AD = b, ∠A = α, тогда ∠B = 180° − α.
Диагональ BD (в треугольнике ABD): BD² = a² + b² − 2ab cos α, BD = √(a² + b² − 2ab cos α).
Диагональ AC (в треугольнике ABC, ∠B = 180° − α): AC² = a² + b² − 2ab cos (180° − α) = a² + b² + 2ab cos α, AC = √(a² + b² + 2ab cos α).
Угол φ между диагоналями: площадь параллелограмма равна ab sin α и равна (1/2) AC ⋅ BD ⋅ sin φ (четыре треугольника с общим углом φ или 180° − φ при вершине O). Поэтому sin φ = 2ab sin α / (AC ⋅ BD). Можно найти и косинус: AC⃗ = AB⃗ + AD⃗, DB⃗ = AB⃗ − AD⃗, скалярное произведение AC⃗ ⋅ DB⃗ = a² − b², откуда cos φ = |a² − b²| / (AC ⋅ BD) = |a² − b²| / √((a² + b²)² − 4a²b² cos² α) (для острого угла между диагоналями; при a = b диагонали перпендикулярны).
Ответ: √(a² + b² − 2ab cos α); √(a² + b² + 2ab cos α); угол φ между диагоналями: cos φ = |a² − b²| / √((a² + b²)² − 4a²b² cos² α).
Диагональ BD (в треугольнике ABD): BD² = a² + b² − 2ab cos α, BD = √(a² + b² − 2ab cos α).
Диагональ AC (в треугольнике ABC, ∠B = 180° − α): AC² = a² + b² − 2ab cos (180° − α) = a² + b² + 2ab cos α, AC = √(a² + b² + 2ab cos α).
Угол φ между диагоналями: площадь параллелограмма равна ab sin α и равна (1/2) AC ⋅ BD ⋅ sin φ (четыре треугольника с общим углом φ или 180° − φ при вершине O). Поэтому sin φ = 2ab sin α / (AC ⋅ BD). Можно найти и косинус: AC⃗ = AB⃗ + AD⃗, DB⃗ = AB⃗ − AD⃗, скалярное произведение AC⃗ ⋅ DB⃗ = a² − b², откуда cos φ = |a² − b²| / (AC ⋅ BD) = |a² − b²| / √((a² + b²)² − 4a²b² cos² α) (для острого угла между диагоналями; при a = b диагонали перпендикулярны).
Ответ: √(a² + b² − 2ab cos α); √(a² + b² + 2ab cos α); угол φ между диагоналями: cos φ = |a² − b²| / √((a² + b²)² − 4a²b² cos² α).
1120. Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
Против наибольшей стороны лежит наибольший угол. По теореме косинусов c² = a² + b² − 2ab cos γ, поэтому знак cos γ совпадает со знаком a² + b² − c². Сравниваем квадрат наибольшей стороны c² с суммой квадратов двух других: если c² < a² + b² — треугольник остроугольный, если равно — прямоугольный, если больше — тупоугольный.
а) 5² = 25 < 4² + 4² = 32 — остроугольный.
б) 17² = 289, 8² + 15² = 64 + 225 = 289 — прямоугольный.
в) 9² = 81 > 5² + 6² = 61 — тупоугольный.
а) 5² = 25 < 4² + 4² = 32 — остроугольный.
б) 17² = 289, 8² + 15² = 64 + 225 = 289 — прямоугольный.
в) 9² = 81 > 5² + 6² = 61 — тупоугольный.
1121. Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
Пусть каждая сила равна F. Равнодействующая R — диагональ ромба, построенного на силах, выходящая из общей вершины; она делит угол 72° пополам. Рассмотрим параллелограмм сил: стороны F, F, угол между сторонами 72°, диагональ R лежит против угла 180° − 72° = 108°. По теореме косинусов R² = F² + F² − 2F² cos 108° = 2F² (1 + cos 72°) = 4F² cos² 36°. Следовательно, R = 2F cos 36°.
F = R / (2 cos 36°) = 120 / (2 ⋅ 0,8090) ≈ 74,2 (кг).
Ответ: ≈ 74,2 кг.
F = R / (2 cos 36°) = 120 / (2 ⋅ 0,8090) ≈ 74,2 (кг).
Ответ: ≈ 74,2 кг.
1122. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Докажем, что BC / sin A = 2R, то есть BC = 2R sin A.
Проведём диаметр BA1 и рассмотрим треугольник A1BC. Если A1 = C, то BC — диаметр, ∠A опирается на диаметр и равен 90° (по следствию о вписанном угле), sin A = 1 и BC = 2R = 2R sin A. Пусть A1 ≠ C. Угол C треугольника A1BC опирается на диаметр BA1, поэтому он прямой, и BC = BA1 ⋅ sin A1 = 2R sin A1.
Угол A1 равен углу A или дополняет его до 180°. Если A и A1 лежат по одну сторону от прямой BC (на одной дуге), то вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC, равны: ∠A1 = ∠A. Если A и A1 лежат по разные стороны от BC, то четырёхугольник ABA1C вписанный и ∠A1 = 180° − ∠A. В обоих случаях sin A1 = sin A.
Поэтому BC = 2R sin A, откуда BC / sin A = 2R. Для остальных сторон доказательство то же. Утверждение доказано.
Проведём диаметр BA1 и рассмотрим треугольник A1BC. Если A1 = C, то BC — диаметр, ∠A опирается на диаметр и равен 90° (по следствию о вписанном угле), sin A = 1 и BC = 2R = 2R sin A. Пусть A1 ≠ C. Угол C треугольника A1BC опирается на диаметр BA1, поэтому он прямой, и BC = BA1 ⋅ sin A1 = 2R sin A1.
Угол A1 равен углу A или дополняет его до 180°. Если A и A1 лежат по одну сторону от прямой BC (на одной дуге), то вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC, равны: ∠A1 = ∠A. Если A и A1 лежат по разные стороны от BC, то четырёхугольник ABA1C вписанный и ∠A1 = 180° − ∠A. В обоих случаях sin A1 = sin A.
Поэтому BC = 2R sin A, откуда BC / sin A = 2R. Для остальных сторон доказательство то же. Утверждение доказано.