Глава XII. §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника — с. 281
1109. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) AB = 6√8 см, АС = 4 см, ∠А = 60°; б) ВС = 3 см, AB = 18√2 см, ∠В = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C = 48°.
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
а) S = (1/2) ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A = (1/2) ⋅ 6√8 ⋅ 4 ⋅ √3/2 = 6√8 ⋅ √3 = 12√2 ⋅ √3 = 12√6 (см²).
б) Угол B заключён между сторонами BC и AB: S = (1/2) ⋅ 3 ⋅ 18√2 ⋅ sin 45° = 27√2 ⋅ √2/2 = 27 (см²).
в) S = (1/2) ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ sin 48° = 49 ⋅ 0,7431 ≈ 36,4 (см²).
Ответ: а) 12√6 см²; б) 27 см²; в) ≈ 36 см².
а) S = (1/2) ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A = (1/2) ⋅ 6√8 ⋅ 4 ⋅ √3/2 = 6√8 ⋅ √3 = 12√2 ⋅ √3 = 12√6 (см²).
б) Угол B заключён между сторонами BC и AB: S = (1/2) ⋅ 3 ⋅ 18√2 ⋅ sin 45° = 27√2 ⋅ √2/2 = 27 (см²).
в) S = (1/2) ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ sin 48° = 49 ⋅ 0,7431 ≈ 36,4 (см²).
Ответ: а) 12√6 см²; б) 27 см²; в) ≈ 36 см².
1110. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Пусть в параллелограмме ABCD AB = a, AD = b, ∠A = α. Диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника ABD и CDB (по трём сторонам), поэтому S(ABCD) = 2 S(ABD).
По теореме о площади треугольника S(ABD) = (1/2) ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin A = (1/2) ab sin α.
Следовательно, S(ABCD) = 2 ⋅ (1/2) ab sin α = ab sin α, что и требовалось доказать. (Для угла 180° − α синус тот же, поэтому результат не зависит от выбора угла.)
По теореме о площади треугольника S(ABD) = (1/2) ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin A = (1/2) ab sin α.
Следовательно, S(ABCD) = 2 ⋅ (1/2) ab sin α = ab sin α, что и требовалось доказать. (Для угла 180° − α синус тот же, поэтому результат не зависит от выбора угла.)
1111. Площадь треугольника ABC равна 60 см². Найдите сторону AB, если АС = 15 см, ∠A = 30°.
S = (1/2) ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A, то есть 60 = (1/2) ⋅ AB ⋅ 15 ⋅ (1/2) = 3,75 ⋅ AB.
Отсюда AB = 60 : 3,75 = 16 (см).
Ответ: 16 см.
Отсюда AB = 60 : 3,75 = 16 (см).
Ответ: 16 см.
1112. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения O делятся пополам, поэтому AO = BO = CO = DO = 5 см. Диагонали разбивают прямоугольник на четыре треугольника: два с углом 30° между сторонами 5 см и 5 см (AOB и COD) и два с углом 150° (BOC и AOD). Синусы этих углов равны: sin 30° = sin 150° = 1/2.
Площадь каждого треугольника равна (1/2) ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1/2 = 25/4 см². Значит, S = 4 ⋅ 25/4 = 25 (см²).
Ответ: 25 см².
Площадь каждого треугольника равна (1/2) ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1/2 = 25/4 см². Значит, S = 4 ⋅ 25/4 = 25 (см²).
Ответ: 25 см².
1113. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.
а) Высота hb проведена из B к прямой AC, поэтому из прямоугольного треугольника с гипотенузой AB имеем hb = AB ⋅ sin α, то есть AB = hb / sin α. Аналогично hc = AC ⋅ sin α, AC = hc / sin α. (Если угол α тупой, используем смежный угол, синус не меняется.) Тогда
S = (1/2) AB ⋅ AC ⋅ sin α = (1/2) ⋅ (hb / sin α) ⋅ (hc / sin α) ⋅ sin α = hb ⋅ hc / (2 sin α).
б) Угол C = 180° − α − β, sin C = sin (α + β). Высота h из B опущена на AC; из треугольника с гипотенузой AB: h = AB ⋅ sin α, AB = h / sin α. По теореме синусов BC / sin α = AB / sin C, откуда BC = AB sin α / sin C = h / sin (α + β). Тогда
S = (1/2) AB ⋅ BC ⋅ sin B = (1/2) ⋅ (h / sin α) ⋅ (h / sin (α + β)) ⋅ sin β = h² sin β / (2 sin α sin (α + β)).
Ответ: а) hb ⋅ hc / (2 sin α); б) h² sin β / (2 sin α sin (α + β)).
S = (1/2) AB ⋅ AC ⋅ sin α = (1/2) ⋅ (hb / sin α) ⋅ (hc / sin α) ⋅ sin α = hb ⋅ hc / (2 sin α).
б) Угол C = 180° − α − β, sin C = sin (α + β). Высота h из B опущена на AC; из треугольника с гипотенузой AB: h = AB ⋅ sin α, AB = h / sin α. По теореме синусов BC / sin α = AB / sin C, откуда BC = AB sin α / sin C = h / sin (α + β). Тогда
S = (1/2) AB ⋅ BC ⋅ sin B = (1/2) ⋅ (h / sin α) ⋅ (h / sin (α + β)) ⋅ sin β = h² sin β / (2 sin α sin (α + β)).
Ответ: а) hb ⋅ hc / (2 sin α); б) h² sin β / (2 sin α sin (α + β)).