Глава XII. §1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла — с. 275
1098. Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; 1/3; −1/3; 1 2/3; −2,8?
б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; 1/7; −0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; 1/7; −0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
Точки единичной полуокружности удовлетворяют условиям x² + y² = 1, y ≥ 0. Поэтому −1 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.
а) Абсцисса лежит в промежутке [−1; 1]. Значения 0,3; 1/3; −1/3 в этот промежуток входят, значит, могут быть абсциссами. Значения 1 2/3 и −2,8 по модулю больше 1, поэтому не могут.
б) Ордината лежит в промежутке [0; 1]. Значения 0,6 и 1/7 могут. Значение −0,3 отрицательно, 7 и 1,002 больше 1, поэтому они не могут.
Ответ: а) могут 0,3; 1/3; −1/3, не могут 1 2/3 и −2,8; б) могут 0,6 и 1/7, не могут −0,3; 7; 1,002.
а) Абсцисса лежит в промежутке [−1; 1]. Значения 0,3; 1/3; −1/3 в этот промежуток входят, значит, могут быть абсциссами. Значения 1 2/3 и −2,8 по модулю больше 1, поэтому не могут.
б) Ордината лежит в промежутке [0; 1]. Значения 0,6 и 1/7 могут. Значение −0,3 отрицательно, 7 и 1,002 больше 1, поэтому они не могут.
Ответ: а) могут 0,3; 1/3; −1/3, не могут 1 2/3 и −2,8; б) могут 0,6 и 1/7, не могут −0,3; 7; 1,002.
1099. Проверьте, что точки M1 (0; 1), M2 (1/2; √3/2), M3 (√2/2; √2/2), M4 (−√3/2; 1/2), A (1; 0), B (−1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов AOM1, AOM2, AOM3, AOM4, AOB.
Единичная полуокружность задаётся условиями x² + y² = 1, y ≥ 0. Проверка:
M1: 0 + 1 = 1; M2: 1/4 + 3/4 = 1; M3: 2/4 + 2/4 = 1; M4: 3/4 + 1/4 = 1; A: 1 + 0 = 1; B: 1 + 0 = 1. Ординаты всех точек неотрицательны, значит, все точки лежат на единичной полуокружности.
По определению sin α = y, cos α = x, tg α = y/x, где (x; y) — координаты точки, соответствующей углу α.
∠AOM1: sin = 1, cos = 0, tg не определён.
∠AOM2: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3 (∠AOM2 = 60°).
∠AOM3: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1 (угол 45°).
∠AOM4: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = (1/2) : (−√3/2) = −√3/3 (угол 150°).
∠AOB: sin = 0, cos = −1, tg = 0 (угол 180°).
M1: 0 + 1 = 1; M2: 1/4 + 3/4 = 1; M3: 2/4 + 2/4 = 1; M4: 3/4 + 1/4 = 1; A: 1 + 0 = 1; B: 1 + 0 = 1. Ординаты всех точек неотрицательны, значит, все точки лежат на единичной полуокружности.
По определению sin α = y, cos α = x, tg α = y/x, где (x; y) — координаты точки, соответствующей углу α.
∠AOM1: sin = 1, cos = 0, tg не определён.
∠AOM2: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3 (∠AOM2 = 60°).
∠AOM3: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1 (угол 45°).
∠AOM4: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = (1/2) : (−√3/2) = −√3/3 (угол 150°).
∠AOB: sin = 0, cos = −1, tg = 0 (угол 180°).
1100. Найдите sin α, если: а) cos α = 1/2; б) cos α = −2/3; в) cos α = −1.
Из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1 и условия sin α ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 180° получаем sin α = √(1 − cos²α).
а) sin α = √(1 − 1/4) = √3/2.
б) sin α = √(1 − 4/9) = √5/3.
в) sin α = √(1 − 1) = 0.
Ответ: а) √3/2; б) √5/3; в) 0.
а) sin α = √(1 − 1/4) = √3/2.
б) sin α = √(1 − 4/9) = √5/3.
в) sin α = √(1 − 1) = 0.
Ответ: а) √3/2; б) √5/3; в) 0.
1101. Найдите cos α, если: а) sin α = √3/2; б) sin α = 1/4; в) sin α = 0.
Из sin²α + cos²α = 1 получаем cos α = ±√(1 − sin²α). Угол α может быть как острым, так и тупым, поэтому оба знака возможны (острому углу соответствует знак плюс, тупому или развёрнутому — минус).
а) cos α = ±√(1 − 3/4) = ±1/2.
б) cos α = ±√(1 − 1/16) = ±√15/4.
в) cos α = ±√(1 − 0) = ±1 (cos α = 1 при α = 0°, cos α = −1 при α = 180°).
Ответ: а) ±1/2; б) ±√15/4; в) ±1.
а) cos α = ±√(1 − 3/4) = ±1/2.
б) cos α = ±√(1 − 1/16) = ±√15/4.
в) cos α = ±√(1 − 0) = ±1 (cos α = 1 при α = 0°, cos α = −1 при α = 180°).
Ответ: а) ±1/2; б) ±√15/4; в) ±1.
1102. Найдите tg α, если: а) cos α = 1; б) cos α = −√3/2; в) sin α = √2/2 и 0° < α < 90°; г) sin α = 3/5 и 90° < α < 180°.
Используем sin²α + cos²α = 1, sin α ≥ 0 и tg α = sin α / cos α.
а) cos α = 1, значит, sin α = 0 и tg α = 0.
б) sin α = √(1 − 3/4) = 1/2, tg α = (1/2) : (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
в) α острый, cos α > 0: cos α = √(1 − 1/2) = √2/2, tg α = 1.
г) α тупой, cos α < 0: cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5, tg α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
Ответ: а) 0; б) −√3/3; в) 1; г) −3/4.
а) cos α = 1, значит, sin α = 0 и tg α = 0.
б) sin α = √(1 − 3/4) = 1/2, tg α = (1/2) : (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
в) α острый, cos α > 0: cos α = √(1 − 1/2) = √2/2, tg α = 1.
г) α тупой, cos α < 0: cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5, tg α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
Ответ: а) 0; б) −√3/3; в) 1; г) −3/4.
1103. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.
Используем формулы приведения sin (180° − α) = sin α, cos (180° − α) = −cos α и tg = sin/cos.
120° = 180° − 60°: sin 120° = sin 60° = √3/2, cos 120° = −cos 60° = −1/2, tg 120° = (√3/2) : (−1/2) = −√3.
135° = 180° − 45°: sin 135° = √2/2, cos 135° = −√2/2, tg 135° = −1.
150° = 180° − 30°: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tg 150° = (1/2) : (−√3/2) = −√3/3.
120° = 180° − 60°: sin 120° = sin 60° = √3/2, cos 120° = −cos 60° = −1/2, tg 120° = (√3/2) : (−1/2) = −√3.
135° = 180° − 45°: sin 135° = √2/2, cos 135° = −√2/2, tg 135° = −1.
150° = 180° − 30°: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tg 150° = (1/2) : (−√3/2) = −√3/3.
1104. Постройте ∠A, если: а) sin A = 2/3; б) cos A = 3/4; в) cos A = −2/5.
Построения выполняем на полуокружности с центром O и радиусом r (r берём в удобных единицах длины), A — конец полуокружности на оси Ox. Для точки M полуокружности sin ∠AOM = y/r, cos ∠AOM = x/r.
а) sin A = 2/3. Возьмём r = 3 единицы. Проведём полуокружность радиуса 3, прямую, параллельную Ox на расстоянии 2 единицы от неё (через перпендикуляр к Ox длиной 2), и отметим точку M пересечения этой прямой с полуокружностью. Угол AOM искомый: sin A = 2/3.
б) cos A = 3/4. Возьмём r = 4. Отложим на Ox от точки O отрезок длиной 3, проведём через его конец перпендикуляр к Ox и отметим точку M пересечения перпендикуляра с полуокружностью. Угол AOM искомый: cos A = 3/4.
в) cos A = −2/5. Возьмём r = 5. Отложим от O по Ox влево (в сторону, противоположную точке A) отрезок длиной 2, проведём через его конец перпендикуляр к Ox, точка M — пересечение с полуокружностью. Тогда ∠AOM тупой и cos A = −2/5.
Доказательство: абсцисса и ордината точки M делённые на r дают косинус и синус угла AOM по определению. Каждый раз точка M существует и единственна, так как 2 < 3, 3 < 4, 2 < 5, поэтому угол определён однозначно.
На рисунке красным показан искомый угол A, пунктиром — вспомогательные прямая и перпендикуляр.
а) sin A = 2/3. Возьмём r = 3 единицы. Проведём полуокружность радиуса 3, прямую, параллельную Ox на расстоянии 2 единицы от неё (через перпендикуляр к Ox длиной 2), и отметим точку M пересечения этой прямой с полуокружностью. Угол AOM искомый: sin A = 2/3.
б) cos A = 3/4. Возьмём r = 4. Отложим на Ox от точки O отрезок длиной 3, проведём через его конец перпендикуляр к Ox и отметим точку M пересечения перпендикуляра с полуокружностью. Угол AOM искомый: cos A = 3/4.
в) cos A = −2/5. Возьмём r = 5. Отложим от O по Ox влево (в сторону, противоположную точке A) отрезок длиной 2, проведём через его конец перпендикуляр к Ox, точка M — пересечение с полуокружностью. Тогда ∠AOM тупой и cos A = −2/5.
Доказательство: абсцисса и ордината точки M делённые на r дают косинус и синус угла AOM по определению. Каждый раз точка M существует и единственна, так как 2 < 3, 3 < 4, 2 < 5, поэтому угол определён однозначно.
На рисунке красным показан искомый угол A, пунктиром — вспомогательные прямая и перпендикуляр.
1105. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки А, если: а) ОА = 3, α = 45°; б) ОА = 1,5, α = 90°; в) ОА = 5, α = 150°; г) ОА = 1, α = 180°; д) ОА = 2, α = 30°.
Координаты точки A: x = OA ⋅ cos α, y = OA ⋅ sin α.
а) x = 3 cos 45° = 3√2/2, y = 3 sin 45° = 3√2/2. A (3√2/2; 3√2/2).
б) x = 1,5 ⋅ 0 = 0, y = 1,5 ⋅ 1 = 1,5. A (0; 1,5).
в) x = 5 cos 150° = −5√3/2, y = 5 sin 150° = 5/2 = 2,5. A (−5√3/2; 2,5).
г) x = 1 ⋅ (−1) = −1, y = 0. A (−1; 0).
д) x = 2 cos 30° = √3, y = 2 sin 30° = 1. A (√3; 1).
а) x = 3 cos 45° = 3√2/2, y = 3 sin 45° = 3√2/2. A (3√2/2; 3√2/2).
б) x = 1,5 ⋅ 0 = 0, y = 1,5 ⋅ 1 = 1,5. A (0; 1,5).
в) x = 5 cos 150° = −5√3/2, y = 5 sin 150° = 5/2 = 2,5. A (−5√3/2; 2,5).
г) x = 1 ⋅ (−1) = −1, y = 0. A (−1; 0).
д) x = 2 cos 30° = √3, y = 2 sin 30° = 1. A (√3; 1).
1106. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (−√3; 1); г) (−2√2; 2√2).
Если A (x; y), OA = √(x² + y²), то cos α = x/OA, sin α = y/OA.
а) OA = √8 = 2√2, cos α = 2/(2√2) = √2/2, sin α = √2/2, α = 45°.
б) OA = 3, cos α = 0, sin α = 1, α = 90°.
в) OA = √(3 + 1) = 2, cos α = −√3/2, sin α = 1/2, α = 150°.
г) OA = √(8 + 8) = 4, cos α = −2√2/4 = −√2/2, sin α = √2/2, α = 135°.
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 135°.
а) OA = √8 = 2√2, cos α = 2/(2√2) = √2/2, sin α = √2/2, α = 45°.
б) OA = 3, cos α = 0, sin α = 1, α = 90°.
в) OA = √(3 + 1) = 2, cos α = −√3/2, sin α = 1/2, α = 150°.
г) OA = √(8 + 8) = 4, cos α = −2√2/4 = −√2/2, sin α = √2/2, α = 135°.
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 135°.