Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 269 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава XI. Дополнительные задачи — с. 269 1076. Векторы a и b не коллинеарны. Найдите такое число x (если это возможно), чтобы векторы p и q были коллинеарны: а) p = 2a − b, q = a + xb; б) p = xa − b, q = a + xb; в) p = a + xb, q = a − 2b; г) p = 2a + b, q = xa + b. Во всех пунктах p ≠ 0 (коэффициент при одном из векторов отличен от нуля). Векторы p и q коллинеарны тогда и только тогда, когда q = kp при некотором k. Приравниваем коэффициенты при a и b (разложение единственно). а) a + xb = k(2a − b): 1 = 2k, x = −k. Отсюда k = 1/2, x = −1/2. б) a + xb = k(xa − b): 1 = kx, x = −k. Подставляя, −k² = 1, это невозможно. Такого x нет. в) a − 2b = k(a + xb): 1 = k, −2 = kx, откуда x = −2. г) xa + b = k(2a + b): x = 2k, 1 = k, откуда x = 2. Ответ: а) x = −1/2; б) не существует; в) x = −2; г) x = 2. 1077. Найдите координаты вектора p и его длину, если: а) p = 7a − 3b, a {1; −1}, b {5; −2}; б) p = 4a − 2b, a {6; 3}, b {5; 4}; в) p = 5a − 4b, a {3/5; 1/5}, b {6; −1}; г) p = 3(−2a − 4b), a {1; 5}, b {−1; −1}. а) x = 7·1 − 3·5 = −8; y = 7·(−1) − 3·(−2) = −1. p {−8; −1}, |p| = √(64 + 1) = √65. б) x = 24 − 10 = 14; y = 12 − 8 = 4. p {14; 4}, |p| = √(196 + 16) = √212 = 2√53. в) 5a {3; 1}, −4b {−24; 4}; p {3 − 24; 1 + 4} = {−21; 5}, |p| = √(441 + 25) = √466. г) −2a {−2; −10}, −4b {4; 4}, их сумма {2; −6}; p = 3·{2; −6} = {6; −18}, |p| = √(36 + 324) = √360 = 6√10. 1078. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками M1 (x1; 0) и M2 (x2; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |x1 − x2|. По формуле расстояния между точками d = √((x2 − x1)² + (0 − 0)²) = √((x2 − x1)²) = |x2 − x1| = |x1 − x2|. Что и требовалось доказать. 1079. Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют координаты A (4; 8), B (12; 11), C (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним. AB² = (12 − 4)² + (11 − 8)² = 64 + 9 = 73; AC² = (7 − 4)² + (0 − 8)² = 9 + 64 = 73; BC² = (7 − 12)² + (0 − 11)² = 25 + 121 = 146. AB = AC = √73, поэтому треугольник равнобедренный. BC = √146 ≠ √73, значит, он не равносторонний. Что и требовалось доказать. 1080. Докажите, что углы A и C треугольника ABC равны, если A (−5; 6), B (3; −9) и C (−12; −17). AB² = (3 + 5)² + (−9 − 6)² = 64 + 225 = 289, AB = 17. BC² = (−12 − 3)² + (−17 + 9)² = 225 + 64 = 289, BC = 17. Значит, AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, и углы при основании равны: ∠A = ∠C. Что и требовалось доказать. 1081. Докажите, что точка D равноудалена от точек A, B и C, если: а) D (1; 1), A (5; 4), B (4; −3), C (−2; 5); б) D (1; 0)