Глава XI. §3 (окончание задач) и вопросы для повторения к главе XI — с. 268
5. Что такое координатные векторы?
Это единичные векторы i и j, отложенные от начала координат O так, что направление i совпадает с направлением оси Ox, а направление j — с направлением оси Oy. Их длины равны 1, они не коллинеарны.
6. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
Утверждение. Любой вектор p можно разложить по координатным векторам, p = xi + yj, причём коэффициенты x и y определяются единственным образом.
Доказательство. Координатные векторы i и j не коллинеарны, так как лежат на перпендикулярных осях. По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам любой вектор p представляется в виде p = xi + yj, и числа x и y единственны.
Доказательство. Координатные векторы i и j не коллинеарны, так как лежат на перпендикулярных осях. По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам любой вектор p представляется в виде p = xi + yj, и числа x и y единственны.
7. Что такое координаты вектора?
Чему равны координаты координатных векторов?
Как связаны между собой координаты равных векторов?
Коэффициенты x и y разложения вектора p = xi + yj по координатным векторам называются координатами вектора p; записывают p {x; y}.
Координатные векторы: i = 1·i + 0·j, значит i {1; 0}; j = 0·i + 1·j, значит j {0; 1}. Нулевой вектор 0 = 0·i + 0·j имеет координаты {0; 0}.
Координаты равных векторов соответственно равны: если a = x1i + y1j и b = x2i + y2j равны, то x1 = x2 и y1 = y2 (в силу единственности разложения).
Координатные векторы: i = 1·i + 0·j, значит i {1; 0}; j = 0·i + 1·j, значит j {0; 1}. Нулевой вектор 0 = 0·i + 0·j имеет координаты {0; 0}.
Координаты равных векторов соответственно равны: если a = x1i + y1j и b = x2i + y2j равны, то x1 = x2 и y1 = y2 (в силу единственности разложения).
8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
Правило 1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство для двух векторов. Пусть a {x1; y1}, b {x2; y2}. Тогда a = x1i + y1j, b = x2i + y2j, и по свойствам сложения и умножения на число a + b = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j. Значит, a + b {x1 + x2; y1 + y2}.
Правило 2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат: a − b {x1 − x2; y1 − y2}. Доказательство такое же: a − b = (x1i + y1j) − (x2i + y2j) = (x1 − x2)i + (y1 − y2)j.
Правило 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.
Доказательство. Если a {x; y}, то a = xi + yj и ka = kxi + kyj, то есть ka {kx; ky}.
Доказательство для двух векторов. Пусть a {x1; y1}, b {x2; y2}. Тогда a = x1i + y1j, b = x2i + y2j, и по свойствам сложения и умножения на число a + b = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j. Значит, a + b {x1 + x2; y1 + y2}.
Правило 2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат: a − b {x1 − x2; y1 − y2}. Доказательство такое же: a − b = (x1i + y1j) − (x2i + y2j) = (x1 − x2)i + (y1 − y2)j.
Правило 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.
Доказательство. Если a {x; y}, то a = xi + yj и ka = kxi + kyj, то есть ka {kx; ky}.
9. Что такое радиус-вектор точки?
Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
Радиус-вектор точки M — это вектор OM, идущий из начала координат в точку M.
Доказательство. Пусть M (x; y). Проведём через M прямые, перпендикулярные осям, и обозначим M1 и M2 их точки пересечения с осями Ox и Oy. Тогда OM = OM1 + OM2. Докажем, что OM1 = xi. Если x > 0, то x = OM1, векторы OM1 и i сонаправлены, поэтому OM1 = OM1·i = xi. Если x < 0, то x = −OM1, векторы OM1 и i противоположно направлены, поэтому OM1 = −OM1·i = xi. Если x = 0, то OM1 = 0 и равенство верно. Аналогично OM2 = yj. Значит, OM = xi + yj, то есть координаты вектора OM равны {x; y}, как и координаты точки M.
Доказательство. Пусть M (x; y). Проведём через M прямые, перпендикулярные осям, и обозначим M1 и M2 их точки пересечения с осями Ox и Oy. Тогда OM = OM1 + OM2. Докажем, что OM1 = xi. Если x > 0, то x = OM1, векторы OM1 и i сонаправлены, поэтому OM1 = OM1·i = xi. Если x < 0, то x = −OM1, векторы OM1 и i противоположно направлены, поэтому OM1 = −OM1·i = xi. Если x = 0, то OM1 = 0 и равенство верно. Аналогично OM2 = yj. Значит, OM = xi + yj, то есть координаты вектора OM равны {x; y}, как и координаты точки M.
10. Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.
Пусть A (x1; y1) — начало, B (x2; y2) — конец вектора AB. По правилу треугольника AB = OB − OA. Векторы OB и OA — радиус-векторы точек B и A, их координаты равны координатам этих точек: OB {x2; y2}, OA {x1; y1}. По правилу вычитания координат вектор AB имеет координаты {x2 − x1; y2 − y1}. То есть каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
11. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.
Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x; y) — середина AB. Для середины отрезка верно равенство OC = 1/2·(OA + OB). Координаты OC {x; y}, OA {x1; y1}, OB {x2; y2}. Записывая равенство в координатах (сумма покоординатно, умножение на число покоординатно), получаем x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
12. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
Пусть a {x; y}. Отложим от начала координат вектор OA = a. Координаты точки A равны координатам вектора OA, то есть A (x; y). Проведём из A перпендикуляры AA1 и AA2 к осям Ox и Oy. Тогда OA1 = |x|, AA1 = OA2 = |y|. Из прямоугольного треугольника OA1A по теореме Пифагора OA = √(OA1² + AA1²) = √(x² + y²). Так как |a| = OA, получаем |a| = √(x² + y²).
13. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.
Пусть M1 (x1; y1), M2 (x2; y2). Вектор M1M2 имеет координаты {x2 − x1; y2 − y1}. Его длина по формуле длины вектора равна √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²). Но |M1M2| = d — искомое расстояние. Значит, d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²).
14. Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.
Задача. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
Решение. Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, M — середина гипотенузы AB. Введём систему координат: C (0; 0) — начало, B (a; 0) на оси Ox, A (0; b) на оси Oy. Середина AB: M (a/2; b/2). Тогда MC = √(a²/4 + b²/4) = 1/2·√(a² + b²); MA = √(a²/4 + (b/2 − b)²) = 1/2·√(a² + b²); MB = √((a/2 − a)² + b²/4) = 1/2·√(a² + b²). Значит, MA = MB = MC. Что и требовалось доказать.
Решение. Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, M — середина гипотенузы AB. Введём систему координат: C (0; 0) — начало, B (a; 0) на оси Ox, A (0; b) на оси Oy. Середина AB: M (a/2; b/2). Тогда MC = √(a²/4 + b²/4) = 1/2·√(a² + b²); MA = √(a²/4 + (b/2 − b)²) = 1/2·√(a² + b²); MB = √((a/2 − a)² + b²/4) = 1/2·√(a² + b²). Значит, MA = MB = MC. Что и требовалось доказать.
15. Какое уравнение называется уравнением данной линии?
Приведите пример.
Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если ему удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Пример: уравнение y = x является уравнением прямой, проходящей через точки O (0; 0) и A (1; 1): координаты любой точки этой прямой удовлетворяют равенству y = x (расстояния от точки до осей равны), а у точек вне этой прямой ордината не равна абсциссе.
Пример: уравнение y = x является уравнением прямой, проходящей через точки O (0; 0) и A (1; 1): координаты любой точки этой прямой удовлетворяют равенству y = x (расстояния от точки до осей равны), а у точек вне этой прямой ордината не равна абсциссе.
16. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.
Пусть центр окружности C (x0; y0), радиус r. Расстояние от произвольной точки M (x; y) до C равно MC = √((x − x0)² + (y − y0)²). Если M лежит на окружности, то MC = r, то есть MC² = r², и координаты M удовлетворяют уравнению (x − x0)² + (y − y0)² = r². Если M не лежит на окружности, то MC² ≠ r², и её координаты уравнению не удовлетворяют. Значит, это и есть уравнение окружности: (x − x0)² + (y − y0)² = r².
17. Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.
x² + y² = r². Это частный случай уравнения (x − x0)² + (y − y0)² = r² при x0 = y0 = 0.
18. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.
Отметим две точки A (x1; y1) и B (x2; y2) так, чтобы данная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB. Точка M (x; y) лежит на l тогда и только тогда, когда AM = BM, то есть AM² = BM². В координатах: (x − x1)² + (y − y1)² = (x − x2)² + (y − y2)². Если M не лежит на l, равенство не выполняется, так что это уравнение прямой l. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим ax + by + c = 0, где a = 2(x1 − x2), b = 2(y1 − y2), c = x2² + y2² − x1² − y1². Так как точки A и B различны, хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. Итак, уравнение прямой — уравнение первой степени ax + by + c = 0.
19. Что такое угловой коэффициент прямой?
Если в уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициент b ≠ 0, то его можно записать в виде y = kx + d, где k = −a/b, d = −c/b. Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением.
20. Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.
Пусть прямые заданы уравнениями y = kx + d1 и y = k1x + d2 (обе не параллельны оси Oy). Абсциссы общих точек находятся из уравнения kx + d1 = k1x + d2, то есть (k − k1)x = d2 − d1.
1) Пусть прямые параллельны (различны, общих точек нет). Если бы k ≠ k1, уравнение имело бы решение x = (d2 − d1)/(k − k1), и общая точка существовала бы. Противоречие, значит, k = k1.
2) Пусть k = k1. Тогда уравнение принимает вид 0·x = d2 − d1. Если d1 ≠ d2 (прямые различны), оно решений не имеет, то есть общих точек нет, и прямые параллельны. Если d1 = d2, прямые совпадают.
Что и требовалось доказать.
Оговорка: параллельными считаются различные прямые без общих точек.
1) Пусть прямые параллельны (различны, общих точек нет). Если бы k ≠ k1, уравнение имело бы решение x = (d2 − d1)/(k − k1), и общая точка существовала бы. Противоречие, значит, k = k1.
2) Пусть k = k1. Тогда уравнение принимает вид 0·x = d2 − d1. Если d1 ≠ d2 (прямые различны), оно решений не имеет, то есть общих точек нет, и прямые параллельны. Если d1 = d2, прямые совпадают.
Что и требовалось доказать.
Оговорка: параллельными считаются различные прямые без общих точек.
21. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку M0 (x0; y0) и параллельных осям координат.
Прямая, проходящая через M0 параллельно оси Oy: все её точки имеют абсциссу x0, поэтому её уравнение x = x0. Прямая, проходящая через M0 параллельно оси Ox: все её точки имеют ординату y0, уравнение y = y0.
22. Напишите уравнения осей координат.
Ось Ox: y = 0 (ординаты всех её точек равны нулю). Ось Oy: x = 0.
23. Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.
Пусть радиусы окружностей R и r (R ≥ r), расстояние между центрами d. Введём систему координат: центр первой в начале, центр второй (d; 0). Уравнения: x² + y² = R² и (x − d)² + y² = r². Вычитая, получаем x = (d² + R² − r²)/(2d) (при d ≠ 0), и y² = R² − x². Число общих точек зависит от знака R² − x², то есть от неравенств для d, R, r (по неравенству треугольника).
Выводы:
1) d > R + r — окружности не пересекаются, лежат вне друг друга (общих точек нет).
2) d = R + r — внешнее касание (одна общая точка).
3) R − r < d < R + r — окружности пересекаются в двух точках.
4) d = R − r > 0 — внутреннее касание (одна общая точка).
5) d < R − r — одна окружность лежит внутри другой (общих точек нет); при d = 0 — концентрические окружности (при R = r совпадают).
Выводы:
1) d > R + r — окружности не пересекаются, лежат вне друг друга (общих точек нет).
2) d = R + r — внешнее касание (одна общая точка).
3) R − r < d < R + r — окружности пересекаются в двух точках.
4) d = R − r > 0 — внутреннее касание (одна общая точка).
5) d < R − r — одна окружность лежит внутри другой (общих точек нет); при d = 0 — концентрические окружности (при R = r совпадают).
24. Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.
Пример 1. Множество точек M, для которых AM = 2BM (A и B данные), находится так: A (0; 0), B (a; 0), условие AM² = 4BM² даёт x² + y² = 4((x − a)² + y²), то есть (x − 4a/3)² + y² = (2a/3)². Это окружность радиуса 2a/3 с центром (4a/3; 0).
Пример 2. Множество точек M, для которых AM² − BM² = k, приводит к уравнению 2ax − a² − k = 0, то есть к прямой, перпендикулярной AB.
Пример 3. Чтобы выяснить число общих точек прямой и окружности, подставляем уравнение прямой в уравнение окружности и исследуем получившееся квадратное уравнение.
Пример 2. Множество точек M, для которых AM² − BM² = k, приводит к уравнению 2ax − a² − k = 0, то есть к прямой, перпендикулярной AB.
Пример 3. Чтобы выяснить число общих точек прямой и окружности, подставляем уравнение прямой в уравнение окружности и исследуем получившееся квадратное уравнение.