Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 265 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава XI. §2 (окончание задач) и §3. Уравнения окружности и прямой — с. 265 1059. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (4; 6), B (−4; 0), C (−1; −4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану CM. M — середина AB: M ((4 − 4)/2; (6 + 0)/2) = (0; 3). Прямая проходит через C (−1; −4) и M (0; 3). Ищем уравнение ax + by + c = 0: из M: 3b + c = 0, c = −3b. Из C: −a − 4b + c = 0, −a − 7b = 0, a = −7b. Положим b = −1: a = 7, c = 3. Ответ: 7x − y + 3 = 0 (проверка: для C −7 + 4 + 3 = 0). 1060. Даны координаты вершин трапеции ABCD: A (−2; −2), B (−3; 1), C (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали AC и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции. Основания трапеции: BC {10; 6} и AD {5; 3} параллельны (BC = 2AD), значит BC ∥ AD, а AB и CD — боковые стороны. а) Прямая AC: ax + by + c = 0 через A (−2; −2) и C (7; 7): −2a − 2b + c = 0, 7a + 7b + c = 0, откуда c = 0 и a = −b. Уравнение x − y = 0. Прямая BD: обе точки B (−3; 1) и D (3; 1) имеют ординату 1, поэтому BD: y − 1 = 0. б) Средняя линия соединяет середины боковых сторон: середина AB: (−2,5; −0,5), середина CD: (5; 4). Для прямой ax + by + c = 0: −2,5a − 0,5b + c = 0 и 5a + 4b + c = 0. Вычитая, 7,5a + 4,5b = 0, откуда 5a = −3b. Положим a = 3, b = −5, тогда c = −5a − 4b = −15 + 20 = 5. Уравнение 3x − 5y + 5 = 0. Ответ: а) x − y = 0 и y − 1 = 0; б) 3x − 5y + 5 = 0. 1061. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M (2; 5) и параллельных осям координат. Прямая, параллельная оси Oy и проходящая через M0 (x0; y0), имеет уравнение x = x0; прямая, параллельная оси Ox, — y = y0. Ответ: x = 2 (параллельна оси Oy) и y = 5 (параллельна оси Ox). 1062. Начертите прямую, заданную уравнением: а) y = 3; б) x = −2; в) y = −4; г) x = 7. Уравнение y = y0 задаёт прямую, параллельную оси Ox и проходящую через точку (0; y0); уравнение x = x0 — прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку (x0; 0). а) y = 3: горизонтальная прямая через точку (0; 3). б) x = −2: вертикальная прямая через точку (−2; 0). в) y = −4: горизонтальная прямая через точку (0; −4). г) x = 7: вертикальная прямая через точку (7; 0). Все четыре прямые показаны на рисунке. Прямые y=3, x=-2, y=-4, x=7 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 O а) y = 3 б) x = −2 в) y = −4 г) x = 7 1063. Найдите ординату точки M, лежащей на прямой AB, если известно, что A (−8; −6), B (−3; −1) и абсцисса точки M равна 5. Уравнение прямой AB: ax + by + c = 0. Подставляем A и B: −8a − 6b + c = 0, −3a − b + c = 0. Вычитая, п