Глава XI. §2 (окончание задач) и §3. Уравнения окружности и прямой — с. 267
1070. Точка B — середина отрезка AC, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) AM² + BM² + CM² = 50; б) AM² + 2BM² + 3CM² = 4.
Введём систему координат: B (0; 0) — начало, A (−1; 0), C (1;
0. (AC = 2). Пусть M (x; y). AM² = (x + 1)² + y², BM² = x² + y², CM² = (x − 1)² + y².
а) Сумма: (x² + 2x + 1 + y²) + (x² + y²) + (x² − 2x + 1 + y²) = 3x² + 3y² + 2 = 50, откуда x² + y² = 16. Это окружность радиуса 4 с центром B.
б) (x² + 2x + 1 + y²) + 2(x² + y²) + 3(x² − 2x + 1 + y²) = 6x² + 6y² − 4x + 4 = 4, откуда 6x² + 6y² − 4x = 0, x² − (2/3)x + y² = 0, (x − 1/3)² + y² = 1/9. Это окружность радиуса 1/3 с центром D (1/3; 0), лежащим на отрезке BC, причём BD = 1/3.
Ответ: а) окружность радиуса 4 с центром B; б) окружность радиуса 1/3 с центром D на отрезке BC, BD = 1/3.
а) Сумма: (x² + 2x + 1 + y²) + (x² + y²) + (x² − 2x + 1 + y²) = 3x² + 3y² + 2 = 50, откуда x² + y² = 16. Это окружность радиуса 4 с центром B.
б) (x² + 2x + 1 + y²) + 2(x² + y²) + 3(x² − 2x + 1 + y²) = 6x² + 6y² − 4x + 4 = 4, откуда 6x² + 6y² − 4x = 0, x² − (2/3)x + y² = 0, (x − 1/3)² + y² = 1/9. Это окружность радиуса 1/3 с центром D (1/3; 0), лежащим на отрезке BC, причём BD = 1/3.
Ответ: а) окружность радиуса 4 с центром B; б) окружность радиуса 1/3 с центром D на отрезке BC, BD = 1/3.
1071. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² + BM² = k², где k — данное число.
Введём систему координат: начало в середине O отрезка AB, ось Ox вдоль AB. Пусть AB = 2a, тогда A (−a; 0), B (a; 0), M (x; y).
AM² + BM² = (x + a)² + y² + (x − a)² + y² = 2x² + 2y² + 2a² = k², откуда x² + y² = (k² − 2a²)/2.
Если k² > 2a² (то есть k² > AB²/2), это окружность с центром O (серединой AB) и радиусом √((k² − 2a²)/2).
Если k² = 2a², получаем x² + y² = 0, то есть единственную точку O.
Если k² < 2a², решений нет: множество пусто.
Здесь a = AB/2.
AM² + BM² = (x + a)² + y² + (x − a)² + y² = 2x² + 2y² + 2a² = k², откуда x² + y² = (k² − 2a²)/2.
Если k² > 2a² (то есть k² > AB²/2), это окружность с центром O (серединой AB) и радиусом √((k² − 2a²)/2).
Если k² = 2a², получаем x² + y² = 0, то есть единственную точку O.
Если k² < 2a², решений нет: множество пусто.
Здесь a = AB/2.
1073. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых BM² − AM² = 2AB².
Введём систему координат: A (0; 0), B (a; 0), a = AB, M (x; y). BM² − AM² = (x − a)² + y² − x² − y² = −2ax + a². Условие: −2ax + a² = 2a², откуда x = −a/2.
Это прямая, перпендикулярная оси Ox (то есть прямой AB), проходящая через точку (−a/2; 0). Она лежит по ту сторону от A, где нет точки B, на расстоянии AB/2 от A. Это серединный перпендикуляр к отрезку AB', где B' (−a; 0) — точка, симметричная B относительно A.
Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку на продолжении BA за A на расстоянии AB/2 от A.
Это прямая, перпендикулярная оси Ox (то есть прямой AB), проходящая через точку (−a/2; 0). Она лежит по ту сторону от A, где нет точки B, на расстоянии AB/2 от A. Это серединный перпендикуляр к отрезку AB', где B' (−a; 0) — точка, симметричная B относительно A.
Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку на продолжении BA за A на расстоянии AB/2 от A.
1074. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых (AM² + DM²) − (BM² + CM²) = 2AB².
Введём систему координат: A (0; 0), D (d; 0), B (0; h), C (d; h), где h = AB. Пусть M (x; y).
AM² + DM² = x² + y² + (x − d)² + y².
BM² + CM² = x² + (y − h)² + (x − d)² + (y − h)².
Разность: 2y² − 2(y − h)² = 4hy − 2h².
Условие 4hy − 2h² = 2h² даёт 4hy = 4h², y = h. Это уравнение прямой BC (параллельной AD, проходящей через B и C).
Ответ: прямая BC.
AM² + DM² = x² + y² + (x − d)² + y².
BM² + CM² = x² + (y − h)² + (x − d)² + (y − h)².
Разность: 2y² − 2(y − h)² = 4hy − 2h².
Условие 4hy − 2h² = 2h² даёт 4hy = 4h², y = h. Это уравнение прямой BC (параллельной AD, проходящей через B и C).
Ответ: прямая BC.
1075*. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2a и 2b. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² + DM² = BM² + CM².
Введём систему координат с началом в точке пересечения диагоналей, осями вдоль диагоналей: A (−a; 0), C (a; 0), B (0; −b), D (0; b). Пусть M (x; y).
AM² + DM² = (x + a)² + y² + x² + (y − b)².
BM² + CM² = x² + (y + b)² + (x − a)² + y².
Разность: [(x + a)² − (x − a)²] + [(y − b)² − (y + b)²] = 4ax − 4by.
Условие: 4ax − 4by = 0, то есть ax = by. Это прямая, проходящая через начало координат O (точку пересечения диагоналей) с направляющим вектором {b; a}.
Эта прямая перпендикулярна стороне AB: прямая AB проходит через A (−a; 0) и B (0; −b) и имеет угловой коэффициент −b/a, а прямая ax = by (y = (a/b)x) — угловой коэффициент a/b; их произведение равно −1. Значит, она перпендикулярна и параллельной AB стороне CD.
Ответ: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная стороне AB (а значит, и CD).
Оговорка: признак перпендикулярности прямых по произведению угловых коэффициентов (−1) взят из курса алгебры.
AM² + DM² = (x + a)² + y² + x² + (y − b)².
BM² + CM² = x² + (y + b)² + (x − a)² + y².
Разность: [(x + a)² − (x − a)²] + [(y − b)² − (y + b)²] = 4ax − 4by.
Условие: 4ax − 4by = 0, то есть ax = by. Это прямая, проходящая через начало координат O (точку пересечения диагоналей) с направляющим вектором {b; a}.
Эта прямая перпендикулярна стороне AB: прямая AB проходит через A (−a; 0) и B (0; −b) и имеет угловой коэффициент −b/a, а прямая ax = by (y = (a/b)x) — угловой коэффициент a/b; их произведение равно −1. Значит, она перпендикулярна и параллельной AB стороне CD.
Ответ: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная стороне AB (а значит, и CD).
Оговорка: признак перпендикулярности прямых по произведению угловых коэффициентов (−1) взят из курса алгебры.
1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
Лемма. Если векторы a и b коллинеарны и a ≠ 0, то существует такое число k, что b = ka.
Доказательство. Возможны два случая.
1) a ↑↑ b. Возьмём k = |b|/|a|. Так как k ≥ 0, векторы ka и b сонаправлены. Их длины равны: |ka| = |k|·|a| = |b|/|a|·|a| = |b|. Сонаправленные векторы равной длины равны, поэтому b = ka.
2) a ↑↓ b. Возьмём k = −|b|/|a|. Так как k < 0, векторы ka и b снова сонаправлены (ka направлен противоположно a, а b тоже противоположен a). Длины равны: |ka| = |k|·|a| = |b|. Значит, b = ka.
Лемма доказана.
Доказательство. Возможны два случая.
1) a ↑↑ b. Возьмём k = |b|/|a|. Так как k ≥ 0, векторы ka и b сонаправлены. Их длины равны: |ka| = |k|·|a| = |b|/|a|·|a| = |b|. Сонаправленные векторы равной длины равны, поэтому b = ka.
2) a ↑↓ b. Возьмём k = −|b|/|a|. Так как k < 0, векторы ka и b снова сонаправлены (ka направлен противоположно a, а b тоже противоположен a). Длины равны: |ka| = |k|·|a| = |b|. Значит, b = ka.
Лемма доказана.
2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
Пусть a и b — два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p = xa + yb, где x и y — некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a и b. Числа x и y называются коэффициентами разложения.
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство. Пусть a и b — данные неколлинеарные векторы, p — произвольный вектор.
Существование. 1. Если p коллинеарен одному из векторов, например b, то по лемме p = yb = 0·a + yb. 2. Если p не коллинеарен ни a, ни b, отложим от точки O векторы OA = a, OB = b, OP = p. Через P проведём прямую, параллельную OB, до пересечения с прямой OA в точке A1. По правилу треугольника p = OA1 + A1P. Векторы OA1 и A1P коллинеарны соответственно a и b, поэтому по лемме OA1 = xa, A1P = yb, и p = xa + yb.
Единственность. Пусть p = xa + yb и p = x1a + y1b. Вычитая, получаем 0 = (x − x1)a + (y − y1)b. Если x − x1 ≠ 0, то a = −(y − y1)/(x − x1)·b, и векторы a и b коллинеарны, что противоречит условию. Значит, x = x1, а тогда (y − y1)b = 0 и, так как b ≠ 0, y = y1. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть a и b — данные неколлинеарные векторы, p — произвольный вектор.
Существование. 1. Если p коллинеарен одному из векторов, например b, то по лемме p = yb = 0·a + yb. 2. Если p не коллинеарен ни a, ни b, отложим от точки O векторы OA = a, OB = b, OP = p. Через P проведём прямую, параллельную OB, до пересечения с прямой OA в точке A1. По правилу треугольника p = OA1 + A1P. Векторы OA1 и A1P коллинеарны соответственно a и b, поэтому по лемме OA1 = xa, A1P = yb, и p = xa + yb.
Единственность. Пусть p = xa + yb и p = x1a + y1b. Вычитая, получаем 0 = (x − x1)a + (y − y1)b. Если x − x1 ≠ 0, то a = −(y − y1)/(x − x1)·b, и векторы a и b коллинеарны, что противоречит условию. Значит, x = x1, а тогда (y − y1)b = 0 и, так как b ≠ 0, y = y1. Теорема доказана.
4. Объясните, как вводится прямоугольная система координат.
Проводят две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой выбирают направление (оно обозначается стрелкой) и выбирают единицу измерения отрезков. Точка пересечения прямых — начало координат O, прямые — оси Ox (абсцисс) и Oy (ординат). Длина каждого отрезка при выбранной единице измерения выражается положительным числом.
1072. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² − BM² = k, где k — данное число.
Введём систему координат: A(0; 0), B(a; 0), a = AB > 0. Для M(x; y): AM² = x² + y², BM² = (x − a)² + y².
Условие AM² − BM² = k даёт x² + y² − (x − a)² − y² = k, т. е. 2ax − a² = k, откуда x = (a² + k)/(2a).
Это уравнение прямой, параллельной оси Oy (при a² + k ≠ 0), а при k = −a² — самой оси Oy; в любом случае это прямая, перпендикулярная к прямой AB (так как ось Ox направлена вдоль AB).
Ответ: прямая, перпендикулярная к AB, проходящая через точку, абсцисса которой (a² + k)/(2a) при начале координат в точке A и оси Ox вдоль AB.
Условие AM² − BM² = k даёт x² + y² − (x − a)² − y² = k, т. е. 2ax − a² = k, откуда x = (a² + k)/(2a).
Это уравнение прямой, параллельной оси Oy (при a² + k ≠ 0), а при k = −a² — самой оси Oy; в любом случае это прямая, перпендикулярная к прямой AB (так как ось Ox направлена вдоль AB).
Ответ: прямая, перпендикулярная к AB, проходящая через точку, абсцисса которой (a² + k)/(2a) при начале координат в точке A и оси Ox вдоль AB.