Глава XI. §2 (окончание задач) и §3. Уравнения окружности и прямой — с. 264
1047. Окружность задана уравнением (x + 5)² + (y − 1)² = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек A (−2; 4), B (−5; −3), C (−7; −2) и D (1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
Центр окружности (−5; 1), r² = 16. Для точки M найдём d² = (x + 5)² + (y − 1)² и сравним с 16: d² < 16 — внутри круга, d² = 16 — на окружности, d² > 16 — вне круга.
A: 9 + 9 = 18 > 16, вне.
B: 0 + 16 = 16, на окружности.
C: 4 + 9 = 13 < 16, внутри.
D: 36 + 16 = 52 > 16, вне.
Ответ: а) C; б) B; в) A и D.
A: 9 + 9 = 18 > 16, вне.
B: 0 + 16 = 16, на окружности.
C: 4 + 9 = 13 < 16, внутри.
D: 36 + 16 = 52 > 16, вне.
Ответ: а) C; б) B; в) A и D.
1048. Даны окружность x² + y² = 25 и две точки A (3; 4) и B (4; −3). Докажите, что AB — хорда данной окружности.
Подставим координаты точек в уравнение. A: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, верно, значит A лежит на окружности. B: 4² + (−3)² = 16 + 9 = 25, верно, значит B лежит на окружности. Точки A и B различны, и обе лежат на окружности, поэтому отрезок AB — хорда. Что и требовалось доказать.
1049. На окружности, заданной уравнением x² + y² = 25, найдите точки: а) с абсциссой −4; б) с ординатой 3.
а) Подставим x = −4: 16 + y² = 25, y² = 9, y = ±3. Точки (−4; 3) и (−4; −3).
б) Подставим y = 3: x² + 9 = 25, x² = 16, x = ±4. Точки (4; 3) и (−4; 3).
б) Подставим y = 3: x² + 9 = 25, x² = 16, x = ±4. Точки (4; 3) и (−4; 3).
1050. На окружности, заданной уравнением (x − 3)² + (y − 5)² = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
а) x = 3: (y − 5)² = 25, y − 5 = ±5, y = 10 или y = 0. Точки (3; 10) и (3; 0).
б) y = 5: (x − 3)² = 25, x − 3 = ±5, x = 8 или x = −2. Точки (8; 5) и (−2; 5).
б) y = 5: (x − 3)² = 25, x − 3 = ±5, x = 8 или x = −2. Точки (8; 5) и (−2; 5).
1051. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3, r2 = √2, r3 = 5/2.
Уравнение окружности с центром в начале координат: x² + y² = r².
r1 = 3: x² + y² = 9.
r2 = √2: x² + y² = 2.
r3 = 5/2: x² + y² = 25/4.
r1 = 3: x² + y² = 9.
r2 = √2: x² + y² = 2.
r3 = 5/2: x² + y² = 25/4.
1052. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром A, если: а) A (0; 5), r = 3; б) A (−1; 2), r = 2; в) A (−3; −7), r = 1/2; г) A (4; −3), r = 10.
Уравнение: (x − x0)² + (y − y0)² = r².
а) x² + (y − 5)² = 9.
б) (x + 1)² + (y − 2)² = 4.
в) (x + 3)² + (y + 7)² = 1/4.
г) (x − 4)² + (y + 3)² = 100.
а) x² + (y − 5)² = 9.
б) (x + 1)² + (y − 2)² = 4.
в) (x + 3)² + (y + 7)² = 1/4.
г) (x − 4)² + (y + 3)² = 100.
1053. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку B (−1; 3).
Уравнение имеет вид x² + y² = r². Точка B лежит на окружности, поэтому r² = (−1)² + 3² = 10.
Ответ: x² + y² = 10.
Ответ: x² + y² = 10.
1054. Напишите уравнение окружности с центром в точке A (0; 6), проходящей через точку B (−3; 2).
Уравнение: x² + (y − 6)² = r². Подставляем B: 9 + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 = r².
Ответ: x² + (y − 6)² = 25.
Ответ: x² + (y − 6)² = 25.
1055. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) M (−3; 5), N (7; −3); б) M (2; −1), N (4; 3).
Центр — середина диаметра, радиус — расстояние от центра до M.
а) Центр ((−3 + 7)/2; (5 − 3)/2) = (2; 1). r² = (−3 − 2)² + (5 − 1)² = 25 + 16 = 41. Уравнение: (x − 2)² + (y − 1)² = 41.
б) Центр ((2 + 4)/2; (−1 + 3)/2) = (3; 1). r² = (2 − 3)² + (−1 − 1)² = 1 + 4 = 5. Уравнение: (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
а) Центр ((−3 + 7)/2; (5 − 3)/2) = (2; 1). r² = (−3 − 2)² + (5 − 1)² = 25 + 16 = 41. Уравнение: (x − 2)² + (y − 1)² = 41.
б) Центр ((2 + 4)/2; (−1 + 3)/2) = (3; 1). r² = (2 − 3)² + (−1 − 1)² = 1 + 4 = 5. Уравнение: (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
1056. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку A (1; 3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?
Центр лежит на оси Ox: (p; 0). Уравнение (x − p)² + y² = 25. Точка A лежит на окружности: (1 − p)² + 9 = 25, (p − 1)² = 16, p − 1 = ±4, p = 5 или p = −3.
Получаем окружности (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25.
Ответ: две окружности: (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25.
Получаем окружности (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25.
Ответ: две окружности: (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25.
1057. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A (−3; 0) и B (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Центр (0; q), уравнение x² + (y − q)² = r². Подставляем A: 9 + q² = r². Подставляем B: (9 − q)² = r². Приравниваем: 9 + q² = 81 − 18q + q², откуда 18q = 72, q = 4. Тогда r² = 9 + 16 = 25.
Ответ: x² + (y − 4)² = 25.
Ответ: x² + (y − 4)² = 25.
1058. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) A (1; −1) и B (−3; 2); б) C (2; 5) и D (5; 2); в) M (0; 1) и N (−4; −5).
Ищем уравнение в виде ax + by + c = 0 и подставляем координаты двух точек.
а) a − b + c = 0 и −3a + 2b + c = 0. Вычитая, получаем 4a − 3b = 0, значит a = 3b/4. Положим b = 4, тогда a = 3, c = b − a = 1. Уравнение: 3x + 4y + 1 = 0 (проверка для B: −9 + 8 + 1 = 0).
б) 2a + 5b + c = 0 и 5a + 2b + c = 0. Вычитая, получаем 3a − 3b = 0, a = b. Положим a = b = 1, тогда c = −7. Уравнение: x + y − 7 = 0.
в) b + c = 0 и −4a − 5b + c = 0. Из первого c = −b, подставляем: −4a − 6b = 0, a = −3b/2. Положим b = −2, тогда a = 3, c = 2. Уравнение: 3x − 2y + 2 = 0 (проверка для N: −12 + 10 + 2 = 0).
Ответ: а) 3x + 4y + 1 = 0; б) x + y − 7 = 0; в) 3x − 2y + 2 = 0.
а) a − b + c = 0 и −3a + 2b + c = 0. Вычитая, получаем 4a − 3b = 0, значит a = 3b/4. Положим b = 4, тогда a = 3, c = b − a = 1. Уравнение: 3x + 4y + 1 = 0 (проверка для B: −9 + 8 + 1 = 0).
б) 2a + 5b + c = 0 и 5a + 2b + c = 0. Вычитая, получаем 3a − 3b = 0, a = b. Положим a = b = 1, тогда c = −7. Уравнение: x + y − 7 = 0.
в) b + c = 0 и −4a − 5b + c = 0. Из первого c = −b, подставляем: −4a − 6b = 0, a = −3b/2. Положим b = −2, тогда a = 3, c = 2. Уравнение: 3x − 2y + 2 = 0 (проверка для N: −12 + 10 + 2 = 0).
Ответ: а) 3x + 4y + 1 = 0; б) x + y − 7 = 0; в) 3x − 2y + 2 = 0.