Глава XI. §1 (окончание задач) и §2. Простейшие задачи в координатах — с. 260
1040. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Введём систему координат: основание AB лежит на оси Ox, середина основания O — начало координат, медиана (она же высота) OC лежит на оси Oy. Тогда A (−40; 0), B (40; 0), C (0; 160).
Медиана из A идёт в середину BC: ((40 + 0)/2; (0 + 160)/2) = (20; 80). Длина: √((20 + 40)² + 80²) = √(3600 + 6400) = 100.
Медиана из B идёт в середину AC: (−20; 80), длина √((−20 − 40)² + 80²) = 100.
Ответ: 100 см и 100 см.
Медиана из A идёт в середину BC: ((40 + 0)/2; (0 + 160)/2) = (20; 80). Длина: √((20 + 40)² + 80²) = √(3600 + 6400) = 100.
Медиана из B идёт в середину AC: (−20; 80), длина √((−20 − 40)² + 80²) = 100.
Ответ: 100 см и 100 см.
1041. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.
Пусть CH — высота, CH = 10, основание AB, AH = 10, HB = 4, H лежит на AB. Введём систему координат: H (0; 0), A (−10; 0), B (4; 0), C (0; 10).
AC = √(100 + 100) = 10√2 ≈ 14,1; BC = √(16 + 100) = √116 ≈ 10,8. Меньшая из сторон AC и BC — сторона BC.
Медиана к BC идёт из A в середину BC: ((4 + 0)/2; (0 + 10)/2) = (2; 5). Её длина: √((2 + 10)² + 5²) = √(144 + 25) = 13.
Ответ: 13 см.
AC = √(100 + 100) = 10√2 ≈ 14,1; BC = √(16 + 100) = √116 ≈ 10,8. Меньшая из сторон AC и BC — сторона BC.
Медиана к BC идёт из A в середину BC: ((4 + 0)/2; (0 + 10)/2) = (2; 5). Её длина: √((2 + 10)² + 5²) = √(144 + 25) = 13.
Ответ: 13 см.
1042. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Введём систему координат: A (0; 0), D (d;
0. (основание AD на оси Ox, d > 0), B (p; h), C (q; h), где h > 0, q > p (BC ∥ AD и векторы BC, AD сонаправлены).
Прямое утверждение. Пусть AB = CD. Тогда p² + h² = (q − d)² + h², то есть |p| = |q − d|. Случай p = q − d дал бы BC = q − p = d = AD, то есть параллелограмм, а не трапецию. Поэтому p = d − q, то есть q = d − p. Диагонали: AC² = q² + h² = (d − p)² + h², BD² = (d − p)² + h². Следовательно, AC = BD.
Обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство. Пусть AC = BD: q² + h² = (d − p)² + h², откуда |q| = |d − p|. Так как q − p > 0 и d > 0, q = p − d невозможно (тогда q − p = −d < 0). Значит, q = d − p. Тогда CD² = (q − d)² + h² = p² + h² = AB², то есть AB = CD, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.
Прямое утверждение. Пусть AB = CD. Тогда p² + h² = (q − d)² + h², то есть |p| = |q − d|. Случай p = q − d дал бы BC = q − p = d = AD, то есть параллелограмм, а не трапецию. Поэтому p = d − q, то есть q = d − p. Диагонали: AC² = q² + h² = (d − p)² + h², BD² = (d − p)² + h². Следовательно, AC = BD.
Обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство. Пусть AC = BD: q² + h² = (d − p)² + h², откуда |q| = |d − p|. Так как q − p > 0 и d > 0, q = p − d невозможно (тогда q − p = −d < 0). Значит, q = d − p. Тогда CD² = (q − d)² + h² = p² + h² = AB², то есть AB = CD, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.
1043. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
Введём систему координат: A (0; 0), D (a; 0), a > 0, B (b; c). В параллелограмме ABCD имеем AD = BC как векторы, поэтому C (a + b; c).
AC² = (a + b)² + c², BD² = (a − b)² + c². Из AC = BD получаем (a + b)² = (a − b)², то есть 4ab = 0. Так как a ≠ 0, то b = 0.
Тогда B (0; c) лежит на оси Oy, и AB ⊥ AD (оси перпендикулярны). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
AC² = (a + b)² + c², BD² = (a − b)² + c². Из AC = BD получаем (a + b)² = (a − b)², то есть 4ab = 0. Так как a ≠ 0, то b = 0.
Тогда B (0; c) лежит на оси Oy, и AB ⊥ AD (оси перпендикулярны). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
1044. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки M плоскости справедливо равенство AM² + CM² = BM² + DM².
Введём систему координат: A (0; 0), B (a; 0), D (0; b), C (a; b). Пусть M (x; y).
AM² = x² + y²; CM² = (x − a)² + (y − b)²; BM² = (x − a)² + y²; DM² = x² + (y − b)².
AM² + CM² = x² + y² + (x − a)² + (y − b)².
BM² + DM² = (x − a)² + y² + x² + (y − b)².
Правые части равны (те же четыре слагаемых), значит AM² + CM² = BM² + DM². Что и требовалось доказать.
AM² = x² + y²; CM² = (x − a)² + (y − b)²; BM² = (x − a)² + y²; DM² = x² + (y − b)².
AM² + CM² = x² + y² + (x − a)² + (y − b)².
BM² + DM² = (x − a)² + y² + x² + (y − b)².
Правые части равны (те же четыре слагаемых), значит AM² + CM² = BM² + DM². Что и требовалось доказать.