Глава XI. §1 (окончание задач) и §2. Простейшие задачи в координатах — с. 259
1038. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
Введём систему координат с началом в вершине прямого угла C, оси направим по катетам: C(0; 0), A(2p; 0), B(0; 2q).
Середина гипотенузы AB — точка M(p; q) (полусуммы координат).
MC² = p² + q²; MA² = (p − 2p)² + (q − 0)² = p² + q²; MB² = (p − 0)² + (q − 2q)² = p² + q².
Значит, MA = MB = MC = √(p² + q²), т. е. точка M равноудалена от всех вершин треугольника. Что и требовалось доказать.
Середина гипотенузы AB — точка M(p; q) (полусуммы координат).
MC² = p² + q²; MA² = (p − 2p)² + (q − 0)² = p² + q²; MB² = (p − 0)² + (q − 2q)² = p² + q².
Значит, MA = MB = MC = √(p² + q²), т. е. точка M равноудалена от всех вершин треугольника. Что и требовалось доказать.
1039. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Пусть ABCD — параллелограмм. Поместим A в начало координат, сторону AD направим по оси Ox: A(0; 0), D(a; 0), B(b; c), тогда C(a + b; c) (так как BC ∥ AD и BC = AD).
Стороны: AB² = b² + c², CD² = b² + c², AD² = a², BC² = a². Сумма квадратов сторон: 2a² + 2b² + 2c².
Диагонали: AC² = (a + b)² + c², BD² = (a − b)² + c². Сумма квадратов диагоналей: (a + b)² + (a − b)² + 2c² = 2a² + 2b² + 2c².
Суммы равны, что и требовалось доказать.
Стороны: AB² = b² + c², CD² = b² + c², AD² = a², BC² = a². Сумма квадратов сторон: 2a² + 2b² + 2c².
Диагонали: AC² = (a + b)² + c², BD² = (a − b)² + c². Сумма квадратов диагоналей: (a + b)² + (a − b)² + 2c² = 2a² + 2b² + 2c².
Суммы равны, что и требовалось доказать.