Геометрия · 9 КЛАСС

Упражнения 1024–1036 — Глава XI. §1 (окончание задач) и §2…

Страница 257 · Геометрия Атанасян 7-9 класс

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов · Просвещение, 2024 · 15-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава XI. §1 (окончание задач) и §2. Простейшие задачи в координатах — с. 257

1024. Даны точки A (0; 1) и B (5; −3). Найдите координаты точек C и D, если известно, что точка B — середина отрезка AC, а точка D — середина отрезка BC.
B — середина AC: 5 = (0 + x_C)/2, −3 = (1 + y_C)/2, откуда x_C = 10, y_C = −7. C (10; −7).
D — середина BC: x_D = (5 + 10)/2 = 7,5; y_D = (−3 − 7)/2 = −5. D (7,5; −5).
Ответ: C (10; −7), D (7,5; −5).
1025. Найдите длины векторов: а) a {5; 9}; б) b {−3; 4}; в) c {−10; −10}; г) d {10; 17}; д) e {11; −11}; е) f {10; 0}.
Длина вектора {x; y} равна √(x² + y²).
а) √(25 + 81) = √106.
б) √(9 + 16) = 5.
в) √(100 + 100) = √200 = 10√2.
г) √(100 + 289) = √389.
д) √(121 + 121) = 11√2.
е) √(100 + 0) = 10.
1026. Найдите расстояние от точки M (3; −2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат.
а) Расстояние до оси Ox равно модулю ординаты: |−2| = 2.
б) Расстояние до оси Oy равно модулю абсциссы: |3| = 3.
в) До начала координат: √(3² + (−2)²) = √13.
Ответ: а) 2; б) 3; в) √13.
1027. Найдите расстояние между точками A и B, если: а) A (2; 7), B (−2; 7); б) A (−5; 1), B (−5; −7); в) A (−3; 0), B (0; 4); г) A (0; 3), B (−4; 0).
Расстояние d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²).
а) √(16 + 0) = 4.
б) √(0 + 64) = 8.
в) √(9 + 16) = 5.
г) √(16 + 9) = 5.
1028. Найдите периметр треугольника MNP, если M (4; 0), N (12; −2), P (5; −9).
MN = √((12 − 4)² + (−2 − 0)²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17.
NP = √((5 − 12)² + (−9 + 2)²) = √(49 + 49) = 7√2.
MP = √((5 − 4)² + (−9 − 0)²) = √(1 + 81) = √82.
P = MN + NP + MP = √82 + 2√17 + 7√2.
Ответ: √82 + 2√17 + 7√2.
1029. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2).
M — середина BC: M ((1 + 5)/2; (−4 + 2)/2) = (3; −1).
AM = √((3 − 0)² + (−1 − 1)²) = √(9 + 4) = √13.
Ответ: √13.
1030. Точки B и C лежат соответственно на положительных полуосях Ox и Oy, а точка A лежит на отрицательной полуоси Ox, причём OA = a, OB = b, OC = h. Найдите стороны AC и BC треугольника ABC.
Координаты: A (−a; 0), B (b; 0), C (0; h).
AC = √((0 + a)² + (h − 0)²) = √(a² + h²).
BC = √((0 − b)² + (h − 0)²) = √(b² + h²).
Ответ: AC = √(a² + h²), BC = √(b² + h²).
1031. Найдите сторону AC и диагональ OC трапеции OBCA с основаниями OA = a и BC = d, если точка A лежит на положительной полуоси Ox, а вершина B имеет координаты (b; c).
O (0; 0), A (a; 0), B (b; c). Основания OA и BC параллельны, значит BC параллельна оси Ox, и C имеет ту же ординату c. Так как OA и BC — основания трапеции OBCA с вершинами в порядке O, B, C, A, векторы OA и BC сонаправлены, поэтому C (b + d; c).
AC = √((b + d − a)² + c²).
OC = √((b + d)² + c²).
Ответ: AC = √((b + d − a)² + c²), OC = √((b + d)² + c²).
1032. Найдите x, если: а) расстояние между точками A (2; 3) и B (x; 1) равно 2; б) расстояние между точками M1 (−1; x) и M2 (2x; 3) равно 7.
а) AB² = (x − 2)² + (1 − 3)² = (x − 2)² + 4 = 4, откуда (x − 2)² = 0, x = 2.
б) M1M2² = (2x + 1)² + (3 − x)² = 49. Раскрываем: 4x² + 4x + 1 + 9 − 6x + x² = 49, 5x² − 2x − 39 = 0. Дискриминант 4 + 780 = 784 = 28². x = (2 ± 28)/10, то есть x = 3 или x = −2,6.
Ответ: а) 2; б) 3 или −2,6.
1033. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) A (−4; 1), B (−2; 4), C (0; 1).
а) AB = √(1 + 25) = √26, AC = √(25 + 1) = √26, BC = √(16 + 36) = √52. AB = AC, треугольник равнобедренный с основанием BC. Медиана AM к основанию является высотой; M (3; −1), AM = √(9 + 4) = √13. BC = √52 = 2√13. S = 1/2·BC·AM = 1/2·2√13·√13 = 13.
б) AB = √(4 + 9) = √13, BC = √(4 + 9) = √13, AC = 4. AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC. Основание AC лежит на прямой y = 1, высота из B равна 4 − 1 = 3. S = 1/2·4·3 = 6.
Ответ: а) 13; б) 6.
1034. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); б) M (−5; 1), N (−4; 4), P (−1; 5), Q (−2; 2).
Признак: если MN = QP как векторы, то MNPQ — параллелограмм.
а) MN {5; 0}, QP {7 − 2; 4 − 4} = {5; 0}, векторы равны. Диагонали: MP = √(36 + 9) = √45 = 3√5; NQ = √((2 − 6)² + (4 − 1)²) = √(16 + 9) = 5.
б) MN {1; 3}, QP {−1 + 2; 5 − 2} = {1; 3}, векторы равны. Диагонали: MP = √(16 + 16) = 4√2; NQ = √((−2 + 4)² + (2 − 4)²) = √8 = 2√2.
Ответ: а) MP = 3√5, NQ = 5; б) MP = 4√2, NQ = 2√2.
1035. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) A (−3; −1), B (1; −1), C (1; −3), D (−3; −3); б) A (4; 1), B (3; 5), C (−1; 4), D (0; 0).
Сначала доказываем, что это параллелограмм (AB = DC как векторы), затем что его диагонали равны; параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
а) AB {4; 0}, DC {4; 0}, параллелограмм. AC = √(16 + 4) = √20, BD = √(16 + 4) = √20, диагонали равны, значит прямоугольник. AB = 4, AD = √(0 + 4) = 2. S = 4·2 = 8.
б) AB {−1; 4}, DC {−1; 4}, параллелограмм. AC = √(25 + 9) = √34, BD = √(9 + 25) = √34, диагонали равны, прямоугольник. AB = √17, AD = √(16 + 1) = √17. S = √17·√17 = 17 (это квадрат).
Ответ: а) 8; б) 17.
1036. Курьер должен принести заказ из пекарни в магазин, кафе и столовую. Ему предоставили карту маршрута, масштаб которой 1:10 000 (рис. 316). Все пункты, в которых может находиться курьер, соединяют прямолинейные дороги. Пекарня находится ровно посередине отрезка, соединяющего кафе и столовую. Какое расстояние должен пройти курьер, чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно в пекарню? [рисунок 316: координатная сетка, одна клетка равна 1 см; отмечены Кафе, Магазин, Столовая и ещё один пункт внизу (Ко...)]
По рисунку 316 (одна клетка равна 1 см на карте): кафе C (−8; 1), столовая S (8; 1), магазин M (0; 7). Пекарня B — середина CS: B (0; 1).
Расстояния: BM = 6, BC = BS = 8, CM = √(8² + 6²) = 10, SM = 10, CS = 16.
Курьер выходит из B, посещает C, S и M в каком-то порядке и возвращается в B. Возможные замкнутые маршруты:
B–C–M–S–B: 8 + 10 + 10 + 8 = 36;
B–S–M–C–B: так же 36;
B–M–C–S–B: 6 + 10 + 16 + 8 = 40;
B–M–S–C–B: 6 + 10 + 16 + 8 = 40;
B–C–S–M–B: 8 + 16 + 10 + 6 = 40;
B–S–C–M–B: 40.
Кратчайший путь равен 36 см на карте. Масштаб 1:10 000 означает, что 1 см на карте равен 100 м на местности, поэтому 36 · 100 м = 3600 м.
Ответ: 3600 м.
Оговорка: координаты пунктов считаны с рисунка 316 (подписи стоят рядом с точками), единичный отрезок сетки принят равным 1 см.