Глава XI. §1 (окончание задач) и §2. Простейшие задачи в координатах — с. 256
1017. Корабль проплывает от пункта A сначала 100 км на восток, а потом 75 км на север. В системе координат, указанной на рисунке 314, изобразите результирующее перемещение как вектор a. Найдите координаты вектора a. [рисунок 314: координатная сетка с осями «Восток» (горизонтально) и «Север» (вертикально), отметка 50 и 100 на обеих осях, точка A на оси «Восток»]
Отмечаем точку A, от неё откладываем 100 км вправо (на восток), затем 75 км вверх (на север). Результирующее перемещение — вектор a от начальной точки A к конечной точке пути. Сложив перемещения (100; 0) и (0; 75), получаем вектор a = 100i + 75j.
Координаты вектора a равны разностям координат конца и начала: смещение по оси «Восток» равно 100, по оси «Север» равно 75, поэтому a {100; 75}. Длина вектора |a| = √(100² + 75²) = 125 км.
Ответ: a {100; 75}.
Оговорка: на рисунке книги точка A лежит на оси «Восток» примерно в отметке 30; на координаты вектора положение A не влияет.
Координаты вектора a равны разностям координат конца и начала: смещение по оси «Восток» равно 100, по оси «Север» равно 75, поэтому a {100; 75}. Длина вектора |a| = √(100² + 75²) = 125 км.
Ответ: a {100; 75}.
Оговорка: на рисунке книги точка A лежит на оси «Восток» примерно в отметке 30; на координаты вектора положение A не влияет.
1018. Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина P имела координаты (−3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек M, N и Q.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, и точка пересечения здесь O (0; 0). Вершины M и P — концы одной диагонали (они не соседние в обозначении MNPQ), поэтому O — середина MP: M = (−(−3); −3) = (3; −3).
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны, так что N и Q лежат на прямой, проходящей через O перпендикулярно MP, на расстоянии OP = 3√2 от O. Прямая MP — это y = −x, перпендикулярная ей прямая — y = x. На ней точки (3; 3) и (−3; −3) удалены от O на 3√2. Значит, N и Q — это эти две точки.
Строим: отмечаем P (−3; 3), M (3; −3), затем (3; 3) и (−3; −3), соединяем последовательно M, N, P, Q (рисунок). Стороны равны 6 и параллельны осям.
Ответ: M (3; −3), N (3; 3), Q (−3; −3); возможен и симметричный вариант N (−3; −3), Q (3; 3. (вершины N и Q меняются местами).
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны, так что N и Q лежат на прямой, проходящей через O перпендикулярно MP, на расстоянии OP = 3√2 от O. Прямая MP — это y = −x, перпендикулярная ей прямая — y = x. На ней точки (3; 3) и (−3; −3) удалены от O на 3√2. Значит, N и Q — это эти две точки.
Строим: отмечаем P (−3; 3), M (3; −3), затем (3; 3) и (−3; −3), соединяем последовательно M, N, P, Q (рисунок). Стороны равны 6 и параллельны осям.
Ответ: M (3; −3), N (3; 3), Q (−3; −3); возможен и симметричный вариант N (−3; −3), Q (3; 3. (вершины N и Q меняются местами).
1019. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображённого на рисунке 315, если AB = 2a, а высота CO равна h. [рисунок 315: равнобедренный треугольник ABC с основанием AB на оси Ox, высота CO лежит на оси Oy, O между A и B]
В равнобедренном треугольнике высота CO, проведённая к основанию, является медианой, поэтому O — середина AB и AO = OB = a. Начало координат совпадает с точкой O, основание лежит на оси Ox, высота на оси Oy.
A лежит на отрицательной полуоси Ox: A (−a; 0); B на положительной: B (a; 0); C на положительной полуоси Oy на расстоянии h: C (0; h).
Ответ: A (−a; 0), B (a; 0), C (0; h).
A лежит на отрицательной полуоси Ox: A (−a; 0); B на положительной: B (a; 0); C на положительной полуоси Oy на расстоянии h: C (0; h).
Ответ: A (−a; 0), B (a; 0), C (0; h).
1020. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (0; 0), B (5; 0), C (12; −3).
В параллелограмме AB = DC как векторы. AB {5; 0}. Если D (x; y), то DC {12 − x; −3 − y}. Приравниваем: 12 − x = 5, −3 − y = 0, откуда x = 7, y = −3.
Проверка по серединам диагоналей: середина AC (6; −1,5), середина BD ((5 + 7)/2; (0 − 3)/2) = (6; −1,5). Совпадают.
Ответ: D (7; −3).
Проверка по серединам диагоналей: середина AC (6; −1,5), середина BD ((5 + 7)/2; (0 − 3)/2) = (6; −1,5). Совпадают.
Ответ: D (7; −3).
1021. Найдите координаты вектора AB, зная координаты его начала и конца: а) A (2; 7), B (−2; 7); б) A (−5; 1), B (−5; 27); в) A (−3; 0), B (0; 4); г) A (0; 3), B (−4; 0).
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
а) {−2 − 2; 7 − 7} = {−4; 0}.
б) {−5 + 5; 27 − 1} = {0; 26}.
в) {0 + 3; 4 − 0} = {3; 4}.
г) {−4 − 0; 0 − 3} = {−4; −3}.
а) {−2 − 2; 7 − 7} = {−4; 0}.
б) {−5 + 5; 27 − 1} = {0; 26}.
в) {0 + 3; 4 − 0} = {3; 4}.
г) {−4 − 0; 0 − 3} = {−4; −3}.
1022. Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите x и y: [таблица, пять столбцов; строки A, B, AB:
1. A (0; 0), B (1; 1), AB пусто;
2. A (x; −3), B (2; −7), AB {5; y};
3. A пусто, B (3; 1), AB {−3; −1/2};
4. A (a; b), B пусто, AB {c; d};
5. A (1; 2), B пусто, AB {0; 0}]
Используем AB {x_B − x_A; y_B − y_A}.
1) AB {1 − 0; 1 − 0} = {1; 1}.
2) 2 − x = 5, откуда x = −3; −7 − (−3) = y, откуда y = −4. Итак, A (−3; −3), AB {5; −4}.
3) x_B − x_A = −3, значит x_A = 3 + 3 = 6; y_A = 1 − (−1/2) = 3/2. A (6; 3/2).
4) B (a + c; b + d).
5) Нулевой вектор: конец совпадает с началом, B (1; 2).
Ответ: x = −3, y = −4; заполненные клетки: 1. AB {1; 1}; 3. A (6; 1,5); 4. B (a + c; b + d); 5. B (1; 2).
1) AB {1 − 0; 1 − 0} = {1; 1}.
2) 2 − x = 5, откуда x = −3; −7 − (−3) = y, откуда y = −4. Итак, A (−3; −3), AB {5; −4}.
3) x_B − x_A = −3, значит x_A = 3 + 3 = 6; y_A = 1 − (−1/2) = 3/2. A (6; 3/2).
4) B (a + c; b + d).
5) Нулевой вектор: конец совпадает с началом, B (1; 2).
Ответ: x = −3, y = −4; заполненные клетки: 1. AB {1; 1}; 3. A (6; 1,5); 4. B (a + c; b + d); 5. B (1; 2).
1023. Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины M отрезка AB, заполните пустые клетки: [таблица, восемь столбцов; строки A, B, M:
1. A (2; −3), B (−3; 1), M пусто;
2. A пусто, B (4; 7), M (−3; −2);
3. A (0; 1), B пусто, M (3; −5);
4. A (0; 0), B (−3; 7), M пусто;
5. A (c; d), B пусто, M (a; b);
6. A (3; 5), B (3; 8), M пусто;
7. A (3t + 5; 7), B (t + 7; −7), M пусто;
8. A (1; 3), B пусто, M (0; 0)]
Середина: x_M = (x_A + x_B)/2, y_M = (y_A + y_B)/2. Если нужен конец: x_B = 2x_M − x_A, y_B = 2y_M − y_A.
1) M ((2 − 3)/2; (−3 + 1)/2) = (−1/2; −1).
2) A (2·(−3) − 4; 2·(−2) − 7) = (−10; −11).
3) B (2·3 − 0; 2·(−5) − 1) = (6; −11).
4) M (−3/2; 7/2) = (−1,5; 3,5).
5) B (2a − c; 2b − d).
6) M (3; (5 + 8)/2) = (3; 6,5).
7) M ((3t + 5 + t + 7)/2; (7 − 7)/2) = (2t + 6; 0).
8) B (2·0 − 1; 2·0 − 3) = (−1; −3).
1) M ((2 − 3)/2; (−3 + 1)/2) = (−1/2; −1).
2) A (2·(−3) − 4; 2·(−2) − 7) = (−10; −11).
3) B (2·3 − 0; 2·(−5) − 1) = (6; −11).
4) M (−3/2; 7/2) = (−1,5; 3,5).
5) B (2a − c; 2b − d).
6) M (3; (5 + 8)/2) = (3; 6,5).
7) M ((3t + 5 + t + 7)/2; (7 − 7)/2) = (2t + 6; 0).
8) B (2·0 − 1; 2·0 − 3) = (−1; −3).