Глава XI. Метод координат. §1. Координаты вектора — с. 252
1006. Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b = −1/2·i + 2j, c = 8i, d = i − j, e = −2j, f = −i.
Коэффициенты разложения по i и j являются координатами вектора; отсутствующий член означает коэффициент 0.
a {2; 3}; b {−1/2; 2}; c {8; 0}; d {1; −1}; e {0; −2}; f {−1; 0}.
a {2; 3}; b {−1/2; 2}; c {8; 0}; d {1; −1}; e {0; −2}; f {−1; 0}.
1007. Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) x {−3; 1/5}; б) y {−2; −3}; в) z {−1; 0}; г) u {0; 3}; д) v {0; 1}.
Вектор {p; q} равен pi + qj.
а) x = −3i + 1/5·j; б) y = −2i − 3j; в) z = −i; г) u = 3j; д) v = j.
а) x = −3i + 1/5·j; б) y = −2i − 3j; в) z = −i; г) u = 3j; д) v = j.
1008. Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) xi + yj = 5i − 2j; б) −3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj = −4i; г) xi + yj = 0.
Разложение вектора по i и j единственно, поэтому коэффициенты при i и при j слева и справа равны.
а) x = 5, y = −2.
б) x = −3, y = 7.
в) xi + yj = −4i + 0·j, значит x = −4, y = 0.
г) 0 = 0·i + 0·j, значит x = 0, y = 0.
а) x = 5, y = −2.
б) x = −3, y = 7.
в) xi + yj = −4i + 0·j, значит x = −4, y = 0.
г) 0 = 0·i + 0·j, значит x = 0, y = 0.
1009. Найдите координаты вектора a + b, если: а) a {3; 2}, b {2; 5}; б) a {3; −4}, b {1; 5}; в) a {−4; −2}, b {5; 3}; г) a {2; 7}, b {−3; −7}.
Координаты суммы равны суммам соответствующих координат.
а) {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7}.
б) {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1}.
в) {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1}.
г) {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.
а) {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7}.
б) {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1}.
в) {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1}.
г) {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.
1010. Найдите координаты вектора a − b, если: а) a {5; 3}, b {2; 1}; б) a {3; 2}, b {−3; 2}; в) a {3; 6}, b {4; −3}; г) a {−5; −6}, b {2; −4}.
Координаты разности равны разностям соответствующих координат.
а) {5 − 2; 3 − 1} = {3; 2}.
б) {3 + 3; 2 − 2} = {6; 0}.
в) {3 − 4; 6 + 3} = {−1; 9}.
г) {−5 − 2; −6 + 4} = {−7; −2}.
а) {5 − 2; 3 − 1} = {3; 2}.
б) {3 + 3; 2 − 2} = {6; 0}.
в) {3 − 4; 6 + 3} = {−1; 9}.
г) {−5 − 2; −6 + 4} = {−7; −2}.
1011. Найдите координаты векторов 2a, 3a, −a, −3a, если a {3; 2}.
Каждая координата умножается на число.
2a {6; 4}; 3a {9; 6}; −a {−3; −2}; −3a {−9; −6}.
2a {6; 4}; 3a {9; 6}; −a {−3; −2}; −3a {−9; −6}.
1012. Даны векторы a {2; 4}, b {−2; 0}, c {0; 0}, d {−2; −3}, e {2; −3}, f {0; 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
Противоположный вектор равен −1 · (вектор), поэтому у него все координаты меняют знак.
−a {−2; −4}; −b {2; 0}; −c {0; 0}; −d {2; 3}; −e {−2; 3}; −f {0; −5}.
Оговорка: в условии опечатки в скобках у e и f; прочитано как e {2; −3}, f {0; 5}.
−a {−2; −4}; −b {2; 0}; −c {0; 0}; −d {2; 3}; −e {−2; 3}; −f {0; −5}.
Оговорка: в условии опечатки в скобках у e и f; прочитано как e {2; −3}, f {0; 5}.
1013. Найдите координаты вектора v, если: а) v = 3a − 3b, a {2; −5}, b {−5; 2}; б) v = 2a − 3b + 4c, a {4; 1}, b {1; 2}, c {2; 7}; в) v = 3a − 2b − 1/2·c, a {−7; −1}, b {−1; 7}, c {4; −6}; г) v = a − b − c, a {7; −2}, b {2; 5}, c {−3; 3}.
Координаты суммы, разности и произведения на число находим покоординатно.
а) x: 3·2 − 3·(−5) = 6 + 15 = 21; y: 3·(−5) − 3·2 = −15 − 6 = −21. v {21; −21}.
б) x: 2·4 − 3·1 + 4·2 = 8 − 3 + 8 = 13; y: 2·1 − 3·2 + 4·7 = 2 − 6 + 28 = 24. v {13; 24}.
в) x: 3·(−7) − 2·(−1) − 1/2·4 = −21 + 2 − 2 = −21; y: 3·(−1) − 2·7 − 1/2·(−6) = −3 − 14 + 3 = −14. v {−21; −14}.
г) x: 7 − 2 + 3 = 8; y: −2 − 5 − 3 = −10. v {8; −10}.
а) x: 3·2 − 3·(−5) = 6 + 15 = 21; y: 3·(−5) − 3·2 = −15 − 6 = −21. v {21; −21}.
б) x: 2·4 − 3·1 + 4·2 = 8 − 3 + 8 = 13; y: 2·1 − 3·2 + 4·7 = 2 − 6 + 28 = 24. v {13; 24}.
в) x: 3·(−7) − 2·(−1) − 1/2·4 = −21 + 2 − 2 = −21; y: 3·(−1) − 2·7 − 1/2·(−6) = −3 − 14 + 3 = −14. v {−21; −14}.
г) x: 7 − 2 + 3 = 8; y: −2 − 5 − 3 = −10. v {8; −10}.
1014. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Пусть векторы a {x1; y1} и b {x2; y2} коллинеарны.
Прямое утверждение. Если a = 0, то x1 = y1 = 0 и a = 0·b, координаты нулевого вектора пропорциональны координатам любого (с коэффициентом 0). Если a ≠ 0, то по лемме о коллинеарных векторах b = ka. Координаты вектора ka равны {kx1; ky1}, то есть x2 = kx1, y2 = ky1: координаты вектора b получаются из координат a умножением на одно и то же число k, то есть пропорциональны им.
Обратное утверждение. Если координаты вектора b пропорциональны координатам вектора a, то есть существует число k, для которого x2 = kx1 и y2 = ky1, то векторы a и b коллинеарны.
Доказательство. Вектор ka имеет координаты {kx1; ky1} = {x2; y2}. Векторы с равными координатами равны, поэтому b = ka, а вектор, равный произведению вектора на число, коллинеарен ему. Что и требовалось доказать.
Замечание. Если a ≠ 0 и, например, x1 ≠ 0, то условие пропорциональности равносильно равенству x1·y2 = x2·y1: при k = x2/x1 имеем x2 = kx1 и y2 = x2·y1/x1 = ky1.
Прямое утверждение. Если a = 0, то x1 = y1 = 0 и a = 0·b, координаты нулевого вектора пропорциональны координатам любого (с коэффициентом 0). Если a ≠ 0, то по лемме о коллинеарных векторах b = ka. Координаты вектора ka равны {kx1; ky1}, то есть x2 = kx1, y2 = ky1: координаты вектора b получаются из координат a умножением на одно и то же число k, то есть пропорциональны им.
Обратное утверждение. Если координаты вектора b пропорциональны координатам вектора a, то есть существует число k, для которого x2 = kx1 и y2 = ky1, то векторы a и b коллинеарны.
Доказательство. Вектор ka имеет координаты {kx1; ky1} = {x2; y2}. Векторы с равными координатами равны, поэтому b = ka, а вектор, равный произведению вектора на число, коллинеарен ему. Что и требовалось доказать.
Замечание. Если a ≠ 0 и, например, x1 ≠ 0, то условие пропорциональности равносильно равенству x1·y2 = x2·y1: при k = x2/x1 имеем x2 = kx1 и y2 = x2·y1/x1 = ky1.
1015. Даны векторы a {3; 7}, b {−2; 1}, c {6; 14}, d {2; −1}, e {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.
Два вектора коллинеарны, если координаты одного получаются умножением координат другого на число.
c {6; 14} = 2·{3; 7}, поэтому c = 2a, векторы a и c коллинеарны.
d {2; −1} = −1·{−2; 1}, поэтому d = −b, векторы b и d коллинеарны.
Вектор e {2; 4} не пропорционален другим: с a {3; 7} отношения 2/3 и 4/7 разные; с b {−2; 1} отношения −1 и 4 разные; с c и d аналогично (с c: 1/3 и 2/7; с d: 1 и −4).
Ответ: a и c; b и d.
c {6; 14} = 2·{3; 7}, поэтому c = 2a, векторы a и c коллинеарны.
d {2; −1} = −1·{−2; 1}, поэтому d = −b, векторы b и d коллинеарны.
Вектор e {2; 4} не пропорционален другим: с a {3; 7} отношения 2/3 и 4/7 разные; с b {−2; 1} отношения −1 и 4 разные; с c и d аналогично (с c: 1/3 и 2/7; с d: 1 и −4).
Ответ: a и c; b и d.