Глава XI. Метод координат. §1. Координаты вектора — с. 251
998. Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и |m| = 0,5 см, |n| = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и |m| = 12 см, |n| = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и |m| = 400 мм, |n| = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и |m| = √2 см, |n| = √50 см.
Если n = km, то |n| = |k|·|m|, то есть |k| = |n| : |m|. Знак k положителен, если векторы сонаправлены, и отрицателен, если противоположно направлены.
а) |k| = 2 : 0,5 = 4, векторы противоположно направлены, k = −4.
б) |n| = 24 дм = 240 см, |k| = 240 : 12 = 20, векторы сонаправлены, k = 20.
в) |m| = 400 мм = 40 см, |n| = 4 дм = 40 см, |k| = 1, направления противоположные, k = −1.
г) |k| = √50 : √2 = √25 = 5, векторы сонаправлены, k = 5.
Ответ: а) −4; б) 20; в) −1; г) 5.
а) |k| = 2 : 0,5 = 4, векторы противоположно направлены, k = −4.
б) |n| = 24 дм = 240 см, |k| = 240 : 12 = 20, векторы сонаправлены, k = 20.
в) |m| = 400 мм = 40 см, |n| = 4 дм = 40 см, |k| = 1, направления противоположные, k = −1.
г) |k| = √50 : √2 = √25 = 5, векторы сонаправлены, k = 5.
Ответ: а) −4; б) 20; в) −1; г) 5.
999. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) AB = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA; ж) MC = kAM; з) AC = kCM; и) AO = kBD. [рисунок: параллелограмм ABCD с диагоналями]
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC = 1/2 AC, BO = OD = 1/2 BD, а AM = 1/2 AO = 1/4 AC, MC = 3/4 AC. Кроме того, AB = DC и BC = AD.
а) AC = 2·AO, k = 2.
б) BO = 1/2·BD, k = 1/2.
в) OC = 1/2·AC = −1/2·CA, k = −1/2.
г) AB = DC, k = 1.
д) BC = AD = −DA, k = −1.
е) AM = 1/4·AC = −1/4·CA, k = −1/4.
ж) AM = 1/4·AC, MC = 3/4·AC, поэтому MC = 3·AM, k = 3.
з) CM = −MC = −3/4·AC, откуда AC = −4/3·CM, k = −4/3.
и) векторы AO и BD лежат на пересекающихся прямых AC и BD, они не коллинеарны, поэтому такого числа k не существует.
Ответ: а) 2; б) 1/2; в) −1/2; г) 1; д) −1; е) −1/4; ж) 3; з) −4/3; и) не существует.
а) AC = 2·AO, k = 2.
б) BO = 1/2·BD, k = 1/2.
в) OC = 1/2·AC = −1/2·CA, k = −1/2.
г) AB = DC, k = 1.
д) BC = AD = −DA, k = −1.
е) AM = 1/4·AC = −1/4·CA, k = −1/4.
ж) AM = 1/4·AC, MC = 3/4·AC, поэтому MC = 3·AM, k = 3.
з) CM = −MC = −3/4·AC, откуда AC = −4/3·CM, k = −4/3.
и) векторы AO и BD лежат на пересекающихся прямых AC и BD, они не коллинеарны, поэтому такого числа k не существует.
Ответ: а) 2; б) 1/2; в) −1/2; г) 1; д) −1; е) −1/4; ж) 3; з) −4/3; и) не существует.
1000. Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) a + 3b и a; б) b − 2a и a?
Ответ обоснуйте.
Если a = 0, то оба вектора в каждом пункте коллинеарны a, так как нулевой вектор коллинеарен любому. Пусть a ≠ 0. По лемме о коллинеарных векторах существует число k такое, что b = ka.
а) a + 3b = a + 3ka = (1 + 3k)a, то есть вектор a + 3b получен умножением a на число, значит он коллинеарен a.
б) b − 2a = ka − 2a = (k − 2)a, значит вектор b − 2a коллинеарен a.
Ответ: в обоих случаях да.
а) a + 3b = a + 3ka = (1 + 3k)a, то есть вектор a + 3b получен умножением a на число, значит он коллинеарен a.
б) b − 2a = ka − 2a = (k − 2)a, значит вектор b − 2a коллинеарен a.
Ответ: в обоих случаях да.
1001. Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то: а) векторы a + b и a − b не коллинеарны; б) векторы 2a − b и a + b не коллинеарны; в) векторы a + b и a + 3b не коллинеарны.
Предварительное замечание. Если a и b не коллинеарны и xa + yb = 0, то x = 0 и y = 0. Действительно, если y ≠ 0, то b = −(x/y)a и векторы коллинеарны; если y = 0, но x ≠ 0, то a = 0, а нулевой вектор коллинеарен любому. Оба случая противоречат условию.
Все векторы в пунктах ненулевые (иначе, например, a + b = 0 дало бы b = −a, то есть коллинеарность). Поэтому коллинеарность p и q означала бы q = kp при некотором k. Докажем от противного.
а) Пусть a − b = k(a + b). Тогда (1 − k)a − (1 + k)b = 0, откуда 1 − k = 0 и 1 + k = 0. Это невозможно.
б) Пусть a + b = k(2a − b). Тогда (1 − 2k)a + (1 + k)b = 0, откуда k = 1/2 и k = −1. Противоречие.
в) Пусть a + 3b = k(a + b). Тогда (1 − k)a + (3 − k)b = 0, откуда k = 1 и k = 3. Противоречие.
Во всех случаях предположение неверно, значит, векторы не коллинеарны. Что и требовалось доказать.
Все векторы в пунктах ненулевые (иначе, например, a + b = 0 дало бы b = −a, то есть коллинеарность). Поэтому коллинеарность p и q означала бы q = kp при некотором k. Докажем от противного.
а) Пусть a − b = k(a + b). Тогда (1 − k)a − (1 + k)b = 0, откуда 1 − k = 0 и 1 + k = 0. Это невозможно.
б) Пусть a + b = k(2a − b). Тогда (1 − 2k)a + (1 + k)b = 0, откуда k = 1/2 и k = −1. Противоречие.
в) Пусть a + 3b = k(a + b). Тогда (1 − k)a + (3 − k)b = 0, откуда k = 1 и k = 3. Противоречие.
Во всех случаях предположение неверно, значит, векторы не коллинеарны. Что и требовалось доказать.
1002. Точка M лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD, причём AM : MC = 4 :
1. Разложите вектор AM по векторам a = AB и b = AD.
Так как AM : MC = 4 : 1, то AM = 4/5·AC (векторы AM и AC сонаправлены, AM составляет 4 части из 5). По правилу параллелограмма AC = AB + AD = a + b.
Следовательно, AM = 4/5·(a + b) = 4/5·a + 4/5·b.
Ответ: AM = 4/5·a + 4/5·b.
Следовательно, AM = 4/5·(a + b) = 4/5·a + 4/5·b.
Ответ: AM = 4/5·a + 4/5·b.
1003. Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) 3a − xb = ya + b; б) 4a − xa + 5b + yb = 0; в) xa + 3b − yb = 0; г) a + b − 3ya + xb = 0.
Используем единственность разложения по неколлинеарным векторам: если pa + qb = 0, то p = 0 и q = 0.
а) (3 − y)a + (−x − 1)b = 0, откуда y = 3 и x = −1.
б) (4 − x)a + (5 + y)b = 0, откуда x = 4 и y = −5.
в) xa + (3 − y)b = 0, откуда x = 0 и y = 3.
г) (1 − 3y)a + (1 + x)b = 0, откуда y = 1/3 и x = −1.
Ответ: а) x = −1, y = 3; б) x = 4, y = −5; в) x = 0, y = 3; г) x = −1, y = 1/3.
а) (3 − y)a + (−x − 1)b = 0, откуда y = 3 и x = −1.
б) (4 − x)a + (5 + y)b = 0, откуда x = 4 и y = −5.
в) xa + (3 − y)b = 0, откуда x = 0 и y = 3.
г) (1 − 3y)a + (1 + x)b = 0, откуда y = 1/3 и x = −1.
Ответ: а) x = −1, y = 3; б) x = 4, y = −5; в) x = 0, y = 3; г) x = −1, y = 1/3.
1004. Начертите прямоугольную систему координат Oxy и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке O, заданные координатами a {3; 0}, b {2; −1}, c {0; −3}, d {1; 1}, e {2; √2}.
Чертим оси Ox и Oy с единичным отрезком (например, 2 клетки), от точки O откладываем координатные векторы i {1; 0} вдоль Ox и j {0; 1} вдоль Oy. Вектор с координатами {x; y} имеет началом O, а концом точку с координатами (x; y), так как координаты вектора равны координатам его радиус-вектора. Поэтому конец каждого вектора строим так:
a: точка (3; 0), три единицы вправо по оси Ox.
b: точка (2; −1), две единицы вправо и одна вниз.
c: точка (0; −3), три единицы вниз по оси Oy.
d: точка (1; 1), диагональ единичного квадрата.
e: точка (2; √2), две единицы вправо и √2 ≈ 1,41 вверх (длина √2 — диагональ единичного квадрата, её можно получить циркулем).
Проводим из O векторы в эти точки и ставим стрелки. Результат на рисунке.
a: точка (3; 0), три единицы вправо по оси Ox.
b: точка (2; −1), две единицы вправо и одна вниз.
c: точка (0; −3), три единицы вниз по оси Oy.
d: точка (1; 1), диагональ единичного квадрата.
e: точка (2; √2), две единицы вправо и √2 ≈ 1,41 вверх (длина √2 — диагональ единичного квадрата, её можно получить циркулем).
Проводим из O векторы в эти точки и ставим стрелки. Результат на рисунке.
1005. Разложите векторы a, b, c, d, e и f, изображённые на рисунке 309, а, б, в, по координатным векторам i и j и найдите их координаты. [рисунок 309: клетчатые поля с координатными векторами и векторами a; b, c; d, e, f]
Одна клетка равна единице (длине i и j). Считаем, на сколько клеток конец вектора смещён от начала по горизонтали и по вертикали.
Рисунок а: a идёт на 2 клетки вправо и 3 вверх, a = 2i + 3j, a {2; 3}.
Рисунок б: b идёт на 2 влево и 3 вверх, b = −2i + 3j, b {−2; 3}; c идёт на 2 вправо, c = 2i, c {2; 0}.
Рисунок в: d идёт на 3 влево и 4 вниз, d = −3i − 4j, d {−3; −4}; e идёт на 2 вправо и 2 вниз, e = 2i − 2j, e {2; −2}; f направлен из точки (0; 5) в точку (−4; 0): на 4 влево и 5 вниз, f = −4i − 5j, f {−4; −5}.
Оговорка: направление f определено по стрелке на левом нижнем конце отрезка.
Рисунок а: a идёт на 2 клетки вправо и 3 вверх, a = 2i + 3j, a {2; 3}.
Рисунок б: b идёт на 2 влево и 3 вверх, b = −2i + 3j, b {−2; 3}; c идёт на 2 вправо, c = 2i, c {2; 0}.
Рисунок в: d идёт на 3 влево и 4 вниз, d = −3i − 4j, d {−3; −4}; e идёт на 2 вправо и 2 вниз, e = 2i − 2j, e {2; −2}; f направлен из точки (0; 5) в точку (−4; 0): на 4 влево и 5 вниз, f = −4i − 5j, f {−4; −5}.
Оговорка: направление f определено по стрелке на левом нижнем конце отрезка.