Глава X. Вопросы для повторения к главе X (и задачи 978—987) — с. 244
6. Объясните смысл выражения: «Вектор a отложен от точки A». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Фраза «вектор a отложен от точки A» означает, что точка A является началом вектора, равного a: то есть построен вектор AB⃗ = a (с началом A).
Доказательство. Пусть задан вектор a и точка M. Если a нулевой, то искомый вектор MM⃗: нулевой вектор равен только нулевому, поэтому такой вектор единственный.
Пусть a ненулевой, и точки P и Q его начало и конец. Проведём через M прямую p, параллельную PQ (если M лежит на прямой PQ, то p сама прямая PQ). На прямой p по обе стороны от M отложим отрезки MN и MN1, равные отрезку PQ. Из двух векторов MN⃗ и MN1⃗ (они противоположно направлены) ровно один сонаправлен с a; пусть это MN⃗. Он сонаправлен с a и имеет длину PQ = |a|, поэтому MN⃗ = a. Существование доказано.
Единственность: любой вектор с началом M, равный a, должен быть сонаправлен с a, значит, лежать на прямой p в нужную сторону от M, и иметь длину |a|, значит, его конец отстоит от M на PQ, то есть совпадает с N. Следовательно, такой вектор только один.
Доказательство. Пусть задан вектор a и точка M. Если a нулевой, то искомый вектор MM⃗: нулевой вектор равен только нулевому, поэтому такой вектор единственный.
Пусть a ненулевой, и точки P и Q его начало и конец. Проведём через M прямую p, параллельную PQ (если M лежит на прямой PQ, то p сама прямая PQ). На прямой p по обе стороны от M отложим отрезки MN и MN1, равные отрезку PQ. Из двух векторов MN⃗ и MN1⃗ (они противоположно направлены) ровно один сонаправлен с a; пусть это MN⃗. Он сонаправлен с a и имеет длину PQ = |a|, поэтому MN⃗ = a. Существование доказано.
Единственность: любой вектор с началом M, равный a, должен быть сонаправлен с a, значит, лежать на прямой p в нужную сторону от M, и иметь длину |a|, значит, его конец отстоит от M на PQ, то есть совпадает с N. Следовательно, такой вектор только один.
7. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?
Пусть a и b два вектора. Отметим произвольную точку A, отложим от неё вектор AB⃗ = a, затем от точки B вектор BC⃗ = b. Вектор AC⃗ называется суммой векторов a и b: a + b = AC⃗. Сумма не зависит от выбора точки A (если заменить A на A1, то AC⃗ заменяется равным вектором A1C1⃗).
Правило треугольника: для любых точек A, B, C справедливо равенство AB⃗ + BC⃗ = AC⃗: чтобы сложить два вектора, откладываем второй от конца первого, и сумма идёт из начала первого в конец второго.
Правило треугольника: для любых точек A, B, C справедливо равенство AB⃗ + BC⃗ = AC⃗: чтобы сложить два вектора, откладываем второй от конца первого, и сумма идёт из начала первого в конец второго.
8. Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a + 0 = a.
Отложим от произвольной точки A вектор AB⃗ = a, а затем от точки B нулевой вектор BB⃗ = 0. По правилу треугольника a + 0 = AB⃗ + BB⃗ = AB⃗ = a. Равенство доказано.
9. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.
Теорема. Для любых векторов a, b и c справедливы равенства: 1) a + b = b + a (переместительный закон);
2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон).
Доказательство. 1. Пусть a и b не коллинеарны. От точки A отложим AB⃗ = a и AD⃗ = b и построим параллелограмм ABCD. Тогда BC⃗ = AD⃗ = b и DC⃗ = AB⃗ = a. По правилу треугольника AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a + b и AC⃗ = AD⃗ + DC⃗ = b + a. Следовательно, a + b = b + a.
Если a и b коллинеарны, то выберем на их прямой направление и числовую ось: каждому из векторов соответствует число (его длина со знаком), а сумма векторов соответствует сумме чисел (длины и направления складываются по правилу треугольника). Для чисел сложение переместительно, значит, и a + b = b + a. Если один из векторов нулевой, равенство следует из a + 0 = a = 0 + a.
2) От произвольной точки A отложим AB⃗ = a, от B вектор BC⃗ = b, от C вектор CD⃗ = c. Тогда (a + b) + c = (AB⃗ + BC⃗) + CD⃗ = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗, а a + (b + c) = AB⃗ + (BC⃗ + CD⃗) = AB⃗ + BD⃗ = AD⃗. Значит, (a + b) + c = a + (b + c). Теорема доказана.
Доказательство. 1. Пусть a и b не коллинеарны. От точки A отложим AB⃗ = a и AD⃗ = b и построим параллелограмм ABCD. Тогда BC⃗ = AD⃗ = b и DC⃗ = AB⃗ = a. По правилу треугольника AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a + b и AC⃗ = AD⃗ + DC⃗ = b + a. Следовательно, a + b = b + a.
Если a и b коллинеарны, то выберем на их прямой направление и числовую ось: каждому из векторов соответствует число (его длина со знаком), а сумма векторов соответствует сумме чисел (длины и направления складываются по правилу треугольника). Для чисел сложение переместительно, значит, и a + b = b + a. Если один из векторов нулевой, равенство следует из a + 0 = a = 0 + a.
2) От произвольной точки A отложим AB⃗ = a, от B вектор BC⃗ = b, от C вектор CD⃗ = c. Тогда (a + b) + c = (AB⃗ + BC⃗) + CD⃗ = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗, а a + (b + c) = AB⃗ + (BC⃗ + CD⃗) = AB⃗ + BD⃗ = AD⃗. Значит, (a + b) + c = a + (b + c). Теорема доказана.
10. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a и b, откладываем от какой-нибудь точки A векторы AB⃗ = a и AD⃗ = b и строим на них параллелограмм ABCD. Тогда диагональ AC⃗ равна сумме a + b (AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a + b, так как BC⃗ = AD⃗ = b).
11. В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?
Чтобы сложить несколько векторов, откладываем от произвольной точки первый вектор, от его конца второй, от конца второго третий и так далее. Вектор, идущий из начала первого в конец последнего, равен сумме. Иначе: для любых точек A1, A2, ..., An верно A1A2⃗ + A2A3⃗ + ... + An−1An⃗ = A1An⃗. Если конец последнего вектора совпадает с началом первого, сумма равна нулевому вектору. Сумма не зависит от порядка слагаемых.
12. Какой вектор называется разностью двух векторов?
Постройте разность двух данных векторов.
Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a. Обозначение a − b.
Построение. Отмечаем на плоскости произвольную точку O и откладываем от неё векторы OA⃗ = a и OB⃗ = b. Тогда вектор BA⃗ (от конца b к концу a) искомый: по правилу треугольника b + BA⃗ = OB⃗ + BA⃗ = OA⃗ = a, поэтому BA⃗ = a − b.
Другой способ: от O откладываем OA⃗ = a, от A вектор AB1⃗ = −b; вектор OB1⃗ = a + (−b) = a − b.
Построение. Отмечаем на плоскости произвольную точку O и откладываем от неё векторы OA⃗ = a и OB⃗ = b. Тогда вектор BA⃗ (от конца b к концу a) искомый: по правилу треугольника b + BA⃗ = OB⃗ + BA⃗ = OA⃗ = a, поэтому BA⃗ = a − b.
Другой способ: от O откладываем OA⃗ = a, от A вектор AB1⃗ = −b; вектор OB1⃗ = a + (−b) = a − b.
13. Какой вектор называется противоположным данному?
Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.
Вектор a1 называется противоположным ненулевому вектору a, если a и a1 имеют равные длины и противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор. Вектор, противоположный a, обозначают −a; a + (−a) = 0.
Теорема. Для любых векторов a и b справедливо равенство a − b = a + (−b).
Доказательство. По определению разности (a − b) + b = a. Прибавим к обеим частям равенства вектор (−b): (a − b) + b + (−b) = a + (−b), то есть (a − b) + 0 = a + (−b), откуда a − b = a + (−b). Теорема доказана.
Теорема. Для любых векторов a и b справедливо равенство a − b = a + (−b).
Доказательство. По определению разности (a − b) + b = a. Прибавим к обеим частям равенства вектор (−b): (a − b) + b + (−b) = a + (−b), то есть (a − b) + 0 = a + (−b), откуда a − b = a + (−b). Теорема доказана.
14. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|·|a|, причём векторы a и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Обозначение: ka.
15. Чему равно произведение ka, если: а) a = 0; б) k = 0?
а) Если a = 0, то по определению ka = 0 (нулевой вектор) при любом k.
б) Если k = 0, то ka = 0·a = 0: длина |0|·|a| = 0, получается нулевой вектор.
б) Если k = 0, то ka = 0·a = 0: длина |0|·|a| = 0, получается нулевой вектор.
16. Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?
Нет, не могут. По определению вектор ka сонаправлен с a при k ≥ 0 и противоположно направлен при k < 0, то есть лежит на одной прямой с a или на параллельной ей прямой. Если a или ka нулевой, то они тоже коллинеарны (нулевой вектор коллинеарен любому). Значит, a и ka всегда коллинеарны.
17. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:
1) (kl)a = k(la) (сочетательный закон);
2) (k + l)a = ka + la (первый распределительный закон);
3) k(a + b) = ka + kb (второй распределительный закон).
Благодаря этим свойствам выражения с суммами, разностями векторов и произведениями векторов на числа можно преобразовывать по тем же правилам, что и числовые выражения.
1) (kl)a = k(la) (сочетательный закон);
2) (k + l)a = ka + la (первый распределительный закон);
3) k(a + b) = ka + kb (второй распределительный закон).
Благодаря этим свойствам выражения с суммами, разностями векторов и произведениями векторов на числа можно преобразовывать по тем же правилам, что и числовые выражения.
18. Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.
Пример. Задача: точка C середина отрезка AB, O произвольная точка плоскости; доказать, что OC⃗ = (1/2)(OA⃗ + OB⃗).
Решение. По правилу треугольника OC⃗ = OA⃗ + AC⃗ и OC⃗ = OB⃗ + BC⃗. Складывая, получаем 2OC⃗ = OA⃗ + OB⃗ + (AC⃗ + BC⃗). Так как C середина AB, AC⃗ + BC⃗ = 0, поэтому 2OC⃗ = OA⃗ + OB⃗, то есть OC⃗ = (1/2)(OA⃗ + OB⃗).
Другие примеры: доказательство теоремы о средней линии треугольника или трапеции, доказательство того, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
Решение. По правилу треугольника OC⃗ = OA⃗ + AC⃗ и OC⃗ = OB⃗ + BC⃗. Складывая, получаем 2OC⃗ = OA⃗ + OB⃗ + (AC⃗ + BC⃗). Так как C середина AB, AC⃗ + BC⃗ = 0, поэтому 2OC⃗ = OA⃗ + OB⃗, то есть OC⃗ = (1/2)(OA⃗ + OB⃗).
Другие примеры: доказательство теоремы о средней линии треугольника или трапеции, доказательство того, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
19. Какой отрезок называется средней линией трапеции?
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
20. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD с основаниями AD и BC (M середина AB, N середина CD). Докажем, что MN ∥ AD и MN = (AD + BC) / 2.
По правилу многоугольника MN⃗ = MB⃗ + BC⃗ + CN⃗ и MN⃗ = MA⃗ + AD⃗ + DN⃗. Сложим: 2MN⃗ = (MB⃗ + MA⃗) + (BC⃗ + AD⃗) + (CN⃗ + DN⃗). Но M и N середины AB и CD, поэтому MB⃗ + MA⃗ = 0 и CN⃗ + DN⃗ = 0. Следовательно, 2MN⃗ = AD⃗ + BC⃗, откуда MN⃗ = (1/2)(AD⃗ + BC⃗).
Векторы AD⃗ и BC⃗ сонаправлены, поэтому MN⃗ сонаправлен с AD⃗, а длина вектора AD⃗ + BC⃗ равна AD + BC. Значит, MN ∥ AD и MN = (AD + BC) / 2. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD с основаниями AD и BC (M середина AB, N середина CD). Докажем, что MN ∥ AD и MN = (AD + BC) / 2.
По правилу многоугольника MN⃗ = MB⃗ + BC⃗ + CN⃗ и MN⃗ = MA⃗ + AD⃗ + DN⃗. Сложим: 2MN⃗ = (MB⃗ + MA⃗) + (BC⃗ + AD⃗) + (CN⃗ + DN⃗). Но M и N середины AB и CD, поэтому MB⃗ + MA⃗ = 0 и CN⃗ + DN⃗ = 0. Следовательно, 2MN⃗ = AD⃗ + BC⃗, откуда MN⃗ = (1/2)(AD⃗ + BC⃗).
Векторы AD⃗ и BC⃗ сонаправлены, поэтому MN⃗ сонаправлен с AD⃗, а длина вектора AD⃗ + BC⃗ равна AD + BC. Значит, MN ∥ AD и MN = (AD + BC) / 2. Теорема доказана.
988. Докажите, что если векторы m и n сонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, а если m и n противоположно направлены, причём |m| ≥ |n|, то |m + n| = |m| − |n|.
Если один из векторов нулевой, оба равенства очевидны (m + 0 = m). Пусть m и n ненулевые. От точки A отложим AB⃗ = m, от точки B вектор BC⃗ = n. Тогда AC⃗ = m + n.
1) m ↑↑ n. Тогда луч BC сонаправлен с лучом AB, значит, точка C лежит на луче AB за точкой B, и B лежит между A и C. Поэтому AC = AB + BC, то есть |m + n| = |m| + |n|.
2) m ↑↓ n, |m| ≥ |n|. Тогда луч BC направлен противоположно лучу AB, то есть от B в сторону A, и BC = |n| ≤ |m| = AB. Поэтому точка C лежит на отрезке AB (возможно, совпадает с A), и AC = AB − BC. Значит, |m + n| = |m| − |n|.
1) m ↑↑ n. Тогда луч BC сонаправлен с лучом AB, значит, точка C лежит на луче AB за точкой B, и B лежит между A и C. Поэтому AC = AB + BC, то есть |m + n| = |m| + |n|.
2) m ↑↓ n, |m| ≥ |n|. Тогда луч BC направлен противоположно лучу AB, то есть от B в сторону A, и BC = |n| ≤ |m| = AB. Поэтому точка C лежит на отрезке AB (возможно, совпадает с A), и AC = AB − BC. Значит, |m + n| = |m| − |n|.
989. Докажите, что для любых векторов x и y справедливы неравенства |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Правое неравенство. Отложим AB⃗ = x, BC⃗ = y, тогда AC⃗ = x + y. Если x и y не коллинеарны, то ABC треугольник, и по неравенству треугольника AC < AB + BC. Если они коллинеарны, то по задаче 988 |x + y| равно |x| + |y| (сонаправлены) либо ||x| − |y|| ≤ |x| + |y| (противоположно направлены); если один вектор нулевой, равенство. Во всех случаях |x + y| ≤ |x| + |y|.
Левое неравенство. Запишем x = (x + y) + (−y). По уже доказанному неравенству |x| ≤ |x + y| + |−y| = |x + y| + |y|, откуда |x| − |y| ≤ |x + y|. Оба неравенства доказаны.
Левое неравенство. Запишем x = (x + y) + (−y). По уже доказанному неравенству |x| ≤ |x + y| + |−y| = |x + y| + |y|, откуда |x| − |y| ≤ |x + y|. Оба неравенства доказаны.
990. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN⃗ через векторы a = BA⃗ и b = BC⃗.
Из BN = 2NC следует BN = (2/3)BC, и так как точка N лежит на отрезке BC, BN⃗ = (2/3)BC⃗ = (2/3)b.
AN⃗ = AB⃗ + BN⃗ = −BA⃗ + (2/3)b = −a + (2/3)b.
Ответ: AN⃗ = −a + (2/3)b.
AN⃗ = AB⃗ + BN⃗ = −BA⃗ + (2/3)b = −a + (2/3)b.
Ответ: AN⃗ = −a + (2/3)b.