Глава X. §3. Применение векторов к решению задач — с. 243
978. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Пусть ABCD трапеция с основаниями AD и BC, AD > BC, а M и N середины диагоналей AC и BD. По задаче 973 MN⃗ = (1/2)(AD⃗ + CB⃗).
Векторы AD⃗ и BC⃗ сонаправлены, поэтому CB⃗ = −BC⃗ направлен противоположно AD⃗ и имеет длину BC. Так как AD > BC, то вектор AD⃗ + CB⃗ сонаправлен с AD⃗ и имеет длину AD − BC. Следовательно, MN⃗ сонаправлен с AD⃗, то есть MN ∥ AD ∥ BC, и MN = (1/2)(AD − BC) = (AD − BC) / 2.
Что и требовалось доказать.
Векторы AD⃗ и BC⃗ сонаправлены, поэтому CB⃗ = −BC⃗ направлен противоположно AD⃗ и имеет длину BC. Так как AD > BC, то вектор AD⃗ + CB⃗ сонаправлен с AD⃗ и имеет длину AD − BC. Следовательно, MN⃗ сонаправлен с AD⃗, то есть MN ∥ AD ∥ BC, и MN = (1/2)(AD − BC) = (AD − BC) / 2.
Что и требовалось доказать.
979. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Пусть ABCD четырёхугольник, K, L, M, N середины сторон AB, BC, CD, DA. Нужно доказать, что отрезки KM и LN имеют общую середину (это и есть их точка пересечения, и она делит каждый отрезок пополам).
Возьмём произвольную точку O. Для середины P отрезка KM: OP⃗ = (1/2)(OK⃗ + OM⃗). Так как OK⃗ = (1/2)(OA⃗ + OB⃗) и OM⃗ = (1/2)(OC⃗ + OD⃗), получаем OP⃗ = (1/4)(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Для середины Q отрезка LN аналогично OQ⃗ = (1/2)(OL⃗ + ON⃗) = (1/2)((1/2)(OB⃗ + OC⃗) + (1/2)(OD⃗ + OA⃗)) = (1/4)(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Итак, OP⃗ = OQ⃗, следовательно, точки P и Q совпадают. Значит, середина отрезка KM является и серединой LN, то есть KM и LN пересекаются в этой точке и делятся ею пополам.
Возьмём произвольную точку O. Для середины P отрезка KM: OP⃗ = (1/2)(OK⃗ + OM⃗). Так как OK⃗ = (1/2)(OA⃗ + OB⃗) и OM⃗ = (1/2)(OC⃗ + OD⃗), получаем OP⃗ = (1/4)(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Для середины Q отрезка LN аналогично OQ⃗ = (1/2)(OL⃗ + ON⃗) = (1/2)((1/2)(OB⃗ + OC⃗) + (1/2)(OD⃗ + OA⃗)) = (1/4)(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Итак, OP⃗ = OQ⃗, следовательно, точки P и Q совпадают. Значит, середина отрезка KM является и серединой LN, то есть KM и LN пересекаются в этой точке и делятся ею пополам.
980. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.
Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Пусть M и N середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда по правилу многоугольника MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ и MN⃗ = MB⃗ + BC⃗ + CN⃗.
Сложим: 2MN⃗ = (MA⃗ + MB⃗) + (AN⃗ + CN⃗) + BC⃗. Так как M середина AB, MA⃗ + MB⃗ = 0; так как N середина AC, AN⃗ + CN⃗ = 0. Поэтому 2MN⃗ = BC⃗, то есть MN⃗ = (1/2)BC⃗.
Значит, векторы MN⃗ и BC⃗ сонаправлены, то есть MN ∥ BC, и MN = (1/2)BC. Теорема доказана.
Пусть M и N середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда по правилу многоугольника MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ и MN⃗ = MB⃗ + BC⃗ + CN⃗.
Сложим: 2MN⃗ = (MA⃗ + MB⃗) + (AN⃗ + CN⃗) + BC⃗. Так как M середина AB, MA⃗ + MB⃗ = 0; так как N середина AC, AN⃗ + CN⃗ = 0. Поэтому 2MN⃗ = BC⃗, то есть MN⃗ = (1/2)BC⃗.
Значит, векторы MN⃗ и BC⃗ сонаправлены, то есть MN ∥ BC, и MN = (1/2)BC. Теорема доказана.
981. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Сумма оснований равна периметру без боковых сторон: a + b = 48 − 13 − 15 = 20 см.
Средняя линия равна полусумме оснований: (a + b) / 2 = 10 см.
Ответ: 10 см.
Средняя линия равна полусумме оснований: (a + b) / 2 = 10 см.
Ответ: 10 см.
982. Сторона AB треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне BC. Стороны AB и AC треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.
Пусть точки деления AB: P1, P2, P3 (AP1 = P1P2 = P2P3 = P3B). Прямые, проходящие через них параллельно BC, отсекают от треугольника ABC подобные ему треугольники AP1Q1, AP2Q2, AP3Q3 (Q точки на AC). Коэффициенты подобия равны AP1/AB = 1/4, 2/4 и 3/4. Поэтому искомые отрезки P1Q1 = BC/4, P2Q2 = BC/2, P3Q3 = 3BC/4.
Наименьший отрезок P1Q1 = 3,4 см, значит, BC = 13,6 см. Остальные: P2Q2 = 13,6 / 2 = 6,8 см; P3Q3 = 3 · 13,6 / 4 = 10,2 см.
Ответ: 6,8 см и 10,2 см.
Наименьший отрезок P1Q1 = 3,4 см, значит, BC = 13,6 см. Остальные: P2Q2 = 13,6 / 2 = 6,8 см; P3Q3 = 3 · 13,6 / 4 = 10,2 см.
Ответ: 6,8 см и 10,2 см.
983. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.
Пусть CD диаметр, O центр, l касательная, CC1 ⊥ l, DD1 ⊥ l, CC1 = 18 см, DD1 = 12 см (окружность лежит по одну сторону от касательной, поэтому C и D по одну сторону от l). Радиус OT в точку касания T перпендикулярен l.
Прямые CC1, OT, DD1 перпендикулярны l, значит, параллельны. Четырёхугольник CC1D1D трапеция с основаниями CC1 и DD1, O середина боковой стороны CD, а OT параллельна основаниям, поэтому OT средняя линия трапеции (T середина C1D1). Отсюда r = OT = (18 + 12) / 2 = 15 см.
Диаметр CD = 2r = 30 см.
Ответ: 30 см.
Прямые CC1, OT, DD1 перпендикулярны l, значит, параллельны. Четырёхугольник CC1D1D трапеция с основаниями CC1 и DD1, O середина боковой стороны CD, а OT параллельна основаниям, поэтому OT средняя линия трапеции (T середина C1D1). Отсюда r = OT = (18 + 12) / 2 = 15 см.
Диаметр CD = 2r = 30 см.
Ответ: 30 см.
984. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры CC1 и DD1 к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD1, если CC1 = 11 см, а CD = 27 см.
Пусть O центр окружности, T точка касания. Радиус OT ⊥ касательной, и CC1 ∥ OT ∥ DD1. Так как O середина CD, отрезок OT средняя линия трапеции CC1D1D, и OT = (CC1 + DD1) / 2.
OT = r = CD / 2 = 13,5 см. Отсюда 13,5 = (11 + DD1) / 2, DD1 = 27 − 11 = 16 см.
Ответ: 16 см.
OT = r = CD / 2 = 13,5 см. Отсюда 13,5 = (11 + DD1) / 2, DD1 = 27 − 11 = 16 см.
Ответ: 16 см.
985. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
Пусть ABCD трапеция с основаниями AD и BC, M и N середины боковых сторон AB и CD, MN средняя линия; MN ∥ AD ∥ BC.
Диагональ AC. Рассмотрим треугольник ABC: M середина AB и MK ∥ BC, где K точка пересечения прямой MN с AC. Прямая, проведённая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам (теорема Фалеса); значит, K середина AC. Так как через точку M проходит единственная прямая, параллельная BC, то это прямая MN, значит, MN проходит через K середину диагонали AC.
Диагональ BD. Аналогично в треугольнике ABD: M середина AB, прямая MN ∥ AD пересекает BD в её середине.
Итак, средняя линия проходит через середины обеих диагоналей.
Диагональ AC. Рассмотрим треугольник ABC: M середина AB и MK ∥ BC, где K точка пересечения прямой MN с AC. Прямая, проведённая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам (теорема Фалеса); значит, K середина AC. Так как через точку M проходит единственная прямая, параллельная BC, то это прямая MN, значит, MN проходит через K середину диагонали AC.
Диагональ BD. Аналогично в треугольнике ABD: M середина AB, прямая MN ∥ AD пересекает BD в её середине.
Итак, средняя линия проходит через середины обеих диагоналей.
986. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
Пусть ABCD трапеция с основаниями BC (меньшее) и AD, средняя линия MN пересекает диагональ AC в точке K. В треугольнике ABC отрезок MK средняя линия, значит, BC = 2·MK. В треугольнике ACD отрезок KN средняя линия, значит, AD = 2·KN. Меньшее основание соответствует меньшему отрезку: MK = 11 см, KN = 35 см, поэтому BC = 22 см, AD = 70 см.
Опустим из B высоту BH на AD. В равнобедренной трапеции AH = (AD − BC) / 2 = (70 − 22) / 2 = 24 см.
В прямоугольном треугольнике ABH: cos A = AH / AB = 24 / 48 = 1/2, значит, ∠A = 60°. Тогда ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 180° − 60° = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Опустим из B высоту BH на AD. В равнобедренной трапеции AH = (AD − BC) / 2 = (70 − 22) / 2 = 24 см.
В прямоугольном треугольнике ABH: cos A = AH / AB = 24 / 48 = 1/2, значит, ∠A = 60°. Тогда ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 180° − 60° = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
987. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины B к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Пусть BH ⊥ AD (H лежит на AD), основание BC меньшее. Проведём ещё CH1 ⊥ AD. Четырёхугольник HBCH1 прямоугольник, поэтому HH1 = BC. Прямоугольные треугольники ABH и DCH1 равны (по гипотенузе и катету: AB = CD, BH = CH1), поэтому AH = H1D = (AD − BC) / 2.
Больший из отрезков, на которые H делит AD, это HD = HH1 + H1D = BC + (AD − BC) / 2 = (AD + BC) / 2, то есть полусумма оснований, а это средняя линия трапеции.
Значит, средняя линия равна 7 см.
Ответ: 7 см.
Больший из отрезков, на которые H делит AD, это HD = HH1 + H1D = BC + (AD − BC) / 2 = (AD + BC) / 2, то есть полусумма оснований, а это средняя линия трапеции.
Значит, средняя линия равна 7 см.
Ответ: 7 см.
1. Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.
Векторные величины определяются числовым значением и направлением. Примеры из физики: сила, скорость, ускорение, перемещение, импульс тела, напряжённость электрического поля, сила тяжести, вес.
2. Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
Вектором (направленным отрезком) называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом. Обозначают AB⃗ (A начало, B конец) или одной строчной буквой a. На рисунке вектор изображают отрезком со стрелкой в конце.
Нулевым вектором называют любую точку плоскости, рассматриваемую как вектор: у него начало совпадает с концом. Обозначается MM⃗ или 0.
Нулевым вектором называют любую точку плоскости, рассматриваемую как вектор: у него начало совпадает с концом. Обозначается MM⃗ или 0.
3. Что называется длиной ненулевого вектора?
Чему равна длина нулевого вектора?
Длиной (модулем) ненулевого вектора AB⃗ называется длина отрезка AB; обозначение |AB⃗| (для вектора a: |a|). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0| = 0.
4. Какие векторы называются коллинеарными?
Изобразите на рисунке сонаправленные векторы a и b и противоположно направленные векторы c и d.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Коллинеарные ненулевые векторы бывают сонаправленными (лучи, на которых они лежат, направлены в одну сторону; обозначение a ↑↑ b) и противоположно направленными (обозначение c ↑↓ d).
На рисунке: векторы a и b лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (a ↑↑ b); векторы c и d лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны (c ↑↓ d).
Коллинеарные ненулевые векторы бывают сонаправленными (лучи, на которых они лежат, направлены в одну сторону; обозначение a ↑↑ b) и противоположно направленными (обозначение c ↑↓ d).
На рисунке: векторы a и b лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (a ↑↑ b); векторы c и d лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны (c ↑↓ d).
5. Дайте определение равных векторов.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов a и b записывают a = b: это значит, что a ↑↑ b и |a| = |b|.