Глава X. §3. Применение векторов к решению задач — с. 241
963. Начертите два неколлинеарных вектора p и q, начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку O. От точки O отложите векторы, равные 2p и 1/2 q.
Вектор 2p сонаправлен с p и имеет длину 2|p|; вектор (1/2)q сонаправлен с q и имеет длину |q| / 2.
Построение: через точку O проводим прямую, параллельную p. На ней от O откладываем в направлении p отрезок, равный 2|p| (дважды откладываем длину p циркулем), ставим стрелку: получили вектор 2p.
Через O проводим прямую, параллельную q. Делим длину |q| пополам (построением серединного перпендикуляра к отрезку длины |q|) и откладываем от O в направлении q отрезок длины |q| / 2, ставим стрелку: получили (1/2)q.
Построение: через точку O проводим прямую, параллельную p. На ней от O откладываем в направлении p отрезок, равный 2|p| (дважды откладываем длину p циркулем), ставим стрелку: получили вектор 2p.
Через O проводим прямую, параллельную q. Делим длину |q| пополам (построением серединного перпендикуляра к отрезку длины |q|) и откладываем от O в направлении q отрезок длины |q| / 2, ставим стрелку: получили (1/2)q.
964. Начертите два неколлинеарных вектора x и y и постройте векторы: а) x + 2y; б) 1/2 y + x; в) 3x + 1/2 y; г) 1 1/2 x − 3y; д) 0x + 4y; е) −2x + 0y. Выполните задания а) — е) для двух коллинеарных ненулевых векторов x и y.
Откладываем x и y от общей точки O и строим все векторы от неё. Каждый вектор получается по правилам: kx сонаправлен с x при k > 0 (противоположно при k < 0), длина |k|·|x|; сумму строим по правилу параллелограмма.
а) x + 2y: удваиваем y, складываем с x.
б) (1/2)y + x: берём половину y и складываем с x.
в) 3x + (1/2)y: утраиваем x и прибавляем половину y.
г) 1 1/2 x − 3y: берём 1,5x и прибавляем (−3y) (утроенный y, направленный противоположно).
д) 0x + 4y = 0 + 4y = 4y: вектор, сонаправленный с y, длиной 4|y|.
е) −2x + 0y = −2x: вектор, противоположный x, длиной 2|x|.
Все построения на чертеже выполнены красным от точки O.
Коллинеарный случай. Пусть x и y лежат на одной прямой, например y = 2x (y сонаправлен с x и вдвое длиннее). Тогда: а) x + 2y = 5x; б) (1/2)y + x = 2x; в) 3x + (1/2)y = 4x; г) 1 1/2 x − 3y = −4 1/2 x; д) 4y = 8x; е) −2x. Все получающиеся векторы коллинеарны x: каждый откладывается на той же прямой (или параллельной ей) с нужной длиной и направлением, а при отрицательном коэффициенте стрелка направлена противоположно x. Если y = −2x или другое отношение, то коэффициенты при x подсчитываются так же.
а) x + 2y: удваиваем y, складываем с x.
б) (1/2)y + x: берём половину y и складываем с x.
в) 3x + (1/2)y: утраиваем x и прибавляем половину y.
г) 1 1/2 x − 3y: берём 1,5x и прибавляем (−3y) (утроенный y, направленный противоположно).
д) 0x + 4y = 0 + 4y = 4y: вектор, сонаправленный с y, длиной 4|y|.
е) −2x + 0y = −2x: вектор, противоположный x, длиной 2|x|.
Все построения на чертеже выполнены красным от точки O.
Коллинеарный случай. Пусть x и y лежат на одной прямой, например y = 2x (y сонаправлен с x и вдвое длиннее). Тогда: а) x + 2y = 5x; б) (1/2)y + x = 2x; в) 3x + (1/2)y = 4x; г) 1 1/2 x − 3y = −4 1/2 x; д) 4y = 8x; е) −2x. Все получающиеся векторы коллинеарны x: каждый откладывается на той же прямой (или параллельной ей) с нужной длиной и направлением, а при отрицательном коэффициенте стрелка направлена противоположно x. Если y = −2x или другое отношение, то коэффициенты при x подсчитываются так же.
965. Начертите два неколлинеарных вектора p и q, начала которых не совпадают. Постройте векторы m = 2p − 1/2 q, n = p + 3q, l = −2p − 1/2 q, s = 2/3 q − p.
Отмечаем точку O и откладываем от неё нужные векторы, пользуясь правилом: kp сонаправлен с p при k > 0 и противоположен при k < 0, длина |k||p|; затем складываем по правилу треугольника.
m = 2p − (1/2)q: от O откладываем 2p (вдвое длиннее p), от его конца откладываем −(1/2)q (вектор, противоположный q, вдвое короче); соединяем O с концом.
n = p + 3q: от O откладываем p, затем 3q (втрое длиннее q).
l = −2p − (1/2)q: от O откладываем −2p, затем −(1/2)q.
s = (2/3)q − p: от O откладываем (2/3)q (длину q делим на 3 и берём две части), затем −p.
На чертеже слагаемые серые, найденные векторы красные.
m = 2p − (1/2)q: от O откладываем 2p (вдвое длиннее p), от его конца откладываем −(1/2)q (вектор, противоположный q, вдвое короче); соединяем O с концом.
n = p + 3q: от O откладываем p, затем 3q (втрое длиннее q).
l = −2p − (1/2)q: от O откладываем −2p, затем −(1/2)q.
s = (2/3)q − p: от O откладываем (2/3)q (длину q делим на 3 и берём две части), затем −p.
На чертеже слагаемые серые, найденные векторы красные.
966. Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b и c. Постройте векторы: а) 2a + 3b − 4c; б) 1/2 a − b + 1/3 c.
Строим по правилу многоугольника: слагаемые откладываем друг за другом, затем соединяем начало первого с концом последнего.
а) От точки O откладываем 2a (вдвое длиннее a, в том же направлении), от конца 3b (втрое длиннее b), от конца −4c (в четыре раза длиннее c и противоположно направленный). Вектор из O в конец последнего слагаемого равен 2a + 3b − 4c.
б) От точки O1 откладываем (1/2)a (половина длины a), затем −b (противоположный b), затем (1/3)c (треть длины c). Соединяем начало с концом: получаем (1/2)a − b + (1/3)c.
На чертеже результаты красные, слагаемые серые.
а) От точки O откладываем 2a (вдвое длиннее a, в том же направлении), от конца 3b (втрое длиннее b), от конца −4c (в четыре раза длиннее c и противоположно направленный). Вектор из O в конец последнего слагаемого равен 2a + 3b − 4c.
б) От точки O1 откладываем (1/2)a (половина длины a), затем −b (противоположный b), затем (1/3)c (треть длины c). Соединяем начало с концом: получаем (1/2)a − b + (1/3)c.
На чертеже результаты красные, слагаемые серые.
967. Дан вектор p = 3a, где a ≠ 0. Как направлен каждый из векторов a, −a, 1/2 a, −2a, 6a по отношению к вектору p?
Выразите длины этих векторов через |p|.
Так как p = 3a и 3 > 0, вектор p сонаправлен с a и |p| = 3|a|, откуда |a| = |p| / 3.
a: сонаправлен с p, |a| = |p| / 3.
−a: противоположно направлен вектору a, значит, противоположно направлен p; |−a| = |a| = |p| / 3.
(1/2)a: сонаправлен с a, значит, с p; длина (1/2)|a| = |p| / 6.
−2a: противоположно направлен p; длина 2|a| = 2|p| / 3.
6a: сонаправлен с p; длина 6|a| = 2|p|.
a: сонаправлен с p, |a| = |p| / 3.
−a: противоположно направлен вектору a, значит, противоположно направлен p; |−a| = |a| = |p| / 3.
(1/2)a: сонаправлен с a, значит, с p; длина (1/2)|a| = |p| / 6.
−2a: противоположно направлен p; длина 2|a| = 2|p| / 3.
6a: сонаправлен с p; длина 6|a| = 2|p|.
968. Докажите, что для любого вектора a справедливы равенства: а) 1 · a = a; б) (−1) · a = −a.
Если a = 0, то по определению произведение нулевого вектора на любое число нулевой вектор: 1·0 = 0 = −0 = (−1)·0, и оба равенства верны.
Пусть a ≠ 0.
а) Вектор b = 1·a имеет длину |1|·|a| = |a|, и так как 1 > 0, сонаправлен с a. Векторы с равными длинами и одинаковым направлением равны: 1·a = a.
б) Вектор c = (−1)·a имеет длину |−1|·|a| = |a|, и так как −1 < 0, направлен противоположно a. Но вектор, противоположный a, это вектор той же длины, противоположно направленный a; значит, (−1)·a = −a.
Пусть a ≠ 0.
а) Вектор b = 1·a имеет длину |1|·|a| = |a|, и так как 1 > 0, сонаправлен с a. Векторы с равными длинами и одинаковым направлением равны: 1·a = a.
б) Вектор c = (−1)·a имеет длину |−1|·|a| = |a|, и так как −1 < 0, направлен противоположно a. Но вектор, противоположный a, это вектор той же длины, противоположно направленный a; значит, (−1)·a = −a.
969. Пусть x = m + n, y = m − n. Выразите через m и n векторы: а) 2x − 2y; б) 2x + 1/2 y; в) −x − 1/3 y.
Подставим x = m + n, y = m − n и раскроем скобки по правилам действий над векторами.
а) 2x − 2y = 2(m + n) − 2(m − n) = 2m + 2n − 2m + 2n = 4n.
б) 2x + (1/2)y = 2m + 2n + (1/2)m − (1/2)n = (5/2)m + (3/2)n.
в) −x − (1/3)y = −m − n − (1/3)m + (1/3)n = −(4/3)m − (2/3)n.
Ответ: а) 4n; б) (5/2)m + (3/2)n; в) −(4/3)m − (2/3)n.
а) 2x − 2y = 2(m + n) − 2(m − n) = 2m + 2n − 2m + 2n = 4n.
б) 2x + (1/2)y = 2m + 2n + (1/2)m − (1/2)n = (5/2)m + (3/2)n.
в) −x − (1/3)y = −m − n − (1/3)m + (1/3)n = −(4/3)m − (2/3)n.
Ответ: а) 4n; б) (5/2)m + (3/2)n; в) −(4/3)m − (2/3)n.
970. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, точка G — середина стороны BC. Выразите векторы EC⃗ и AG⃗ через векторы DC⃗ = a и BC⃗ = b.
В параллелограмме AD⃗ = BC⃗ = b и AB⃗ = DC⃗ = a.
EC⃗ = ED⃗ + DC⃗. E середина AD, поэтому ED⃗ = (1/2)AD⃗ = (1/2)b. Итак, EC⃗ = a + (1/2)b.
AG⃗ = AB⃗ + BG⃗. G середина BC, поэтому BG⃗ = (1/2)BC⃗ = (1/2)b. Итак, AG⃗ = a + (1/2)b.
Ответ: EC⃗ = a + (1/2)b; AG⃗ = a + (1/2)b (эти векторы равны: AECG параллелограмм).
EC⃗ = ED⃗ + DC⃗. E середина AD, поэтому ED⃗ = (1/2)AD⃗ = (1/2)b. Итак, EC⃗ = a + (1/2)b.
AG⃗ = AB⃗ + BG⃗. G середина BC, поэтому BG⃗ = (1/2)BC⃗ = (1/2)b. Итак, AG⃗ = a + (1/2)b.
Ответ: EC⃗ = a + (1/2)b; AG⃗ = a + (1/2)b (эти векторы равны: AECG параллелограмм).
971. Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 :
1. Выразите векторы AM⃗ и MD⃗ через векторы a = AD⃗ и b = AB⃗.
BM : MC = 3 : 1, значит, BM = (3/4)BC, и так как BC⃗ = AD⃗ = a, то BM⃗ = (3/4)a, а MC⃗ = (1/4)a.
AM⃗ = AB⃗ + BM⃗ = b + (3/4)a = (3/4)a + b.
MD⃗ = MC⃗ + CD⃗ = (1/4)a − b (так как CD⃗ = −AB⃗ = −b). Проверка: AM⃗ + MD⃗ = (3/4)a + b + (1/4)a − b = a = AD⃗.
Ответ: AM⃗ = (3/4)a + b; MD⃗ = (1/4)a − b.
AM⃗ = AB⃗ + BM⃗ = b + (3/4)a = (3/4)a + b.
MD⃗ = MC⃗ + CD⃗ = (1/4)a − b (так как CD⃗ = −AB⃗ = −b). Проверка: AM⃗ + MD⃗ = (3/4)a + b + (1/4)a − b = a = AD⃗.
Ответ: AM⃗ = (3/4)a + b; MD⃗ = (1/4)a − b.
972. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — такая точка на стороне AD, что AM = 1/2 MD. Выразите через векторы x = AD⃗, y = AB⃗ следующие векторы: а) AC⃗, AO⃗, CO⃗, DO⃗, AD⃗ + BC⃗, AD⃗ + CO⃗, CO⃗ + OA⃗; б) AM⃗, MC⃗, BM⃗, OM⃗.
Так как AM = (1/2)MD, то AM = (1/3)AD.
а) AC⃗ = AB⃗ + AD⃗ = x + y (правило параллелограмма).
AO⃗ = (1/2)AC⃗ = (1/2)(x + y).
CO⃗ = −AO⃗ = −(1/2)(x + y) (O середина AC).
DO⃗ = (1/2)DB⃗ = (1/2)(AB⃗ − AD⃗) = (1/2)(y − x).
AD⃗ + BC⃗ = x + x = 2x (BC⃗ = AD⃗).
AD⃗ + CO⃗ = x − (1/2)(x + y) = (1/2)(x − y).
CO⃗ + OA⃗ = CA⃗ = −(x + y).
б) AM⃗ = (1/3)AD⃗ = (1/3)x.
MC⃗ = MD⃗ + DC⃗ = (2/3)x + y.
BM⃗ = BA⃗ + AM⃗ = −y + (1/3)x = (1/3)x − y.
OM⃗ = OA⃗ + AM⃗ = −(1/2)(x + y) + (1/3)x = −(1/6)x − (1/2)y.
Ответ: а) x + y; (1/2)(x + y); −(1/2)(x + y); (1/2)(y − x); 2x; (1/2)(x − y); −x − y. б) (1/3)x; (2/3)x + y; (1/3)x − y; −(1/6)x − (1/2)y.
а) AC⃗ = AB⃗ + AD⃗ = x + y (правило параллелограмма).
AO⃗ = (1/2)AC⃗ = (1/2)(x + y).
CO⃗ = −AO⃗ = −(1/2)(x + y) (O середина AC).
DO⃗ = (1/2)DB⃗ = (1/2)(AB⃗ − AD⃗) = (1/2)(y − x).
AD⃗ + BC⃗ = x + x = 2x (BC⃗ = AD⃗).
AD⃗ + CO⃗ = x − (1/2)(x + y) = (1/2)(x − y).
CO⃗ + OA⃗ = CA⃗ = −(x + y).
б) AM⃗ = (1/3)AD⃗ = (1/3)x.
MC⃗ = MD⃗ + DC⃗ = (2/3)x + y.
BM⃗ = BA⃗ + AM⃗ = −y + (1/3)x = (1/3)x − y.
OM⃗ = OA⃗ + AM⃗ = −(1/2)(x + y) + (1/3)x = −(1/6)x − (1/2)y.
Ответ: а) x + y; (1/2)(x + y); −(1/2)(x + y); (1/2)(y − x); 2x; (1/2)(x − y); −x − y. б) (1/3)x; (2/3)x + y; (1/3)x − y; −(1/6)x − (1/2)y.