Глава X. §3. Применение векторов к решению задач — с. 242
973. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN⃗ = 1/2 (AD⃗ + CB⃗).
По правилу многоугольника MN⃗ = MA⃗ + AD⃗ + DN⃗ и MN⃗ = MC⃗ + CB⃗ + BN⃗.
Сложим эти равенства: 2MN⃗ = (MA⃗ + MC⃗) + (AD⃗ + CB⃗) + (DN⃗ + BN⃗).
M середина AC, поэтому MA⃗ + MC⃗ = 0; N середина BD, поэтому DN⃗ + BN⃗ = 0. Остаётся 2MN⃗ = AD⃗ + CB⃗, откуда MN⃗ = (1/2)(AD⃗ + CB⃗). Что и требовалось.
Сложим эти равенства: 2MN⃗ = (MA⃗ + MC⃗) + (AD⃗ + CB⃗) + (DN⃗ + BN⃗).
M середина AC, поэтому MA⃗ + MC⃗ = 0; N середина BD, поэтому DN⃗ + BN⃗ = 0. Остаётся 2MN⃗ = AD⃗ + CB⃗, откуда MN⃗ = (1/2)(AD⃗ + CB⃗). Что и требовалось.
974. Отрезки AA1, BB1 и CC1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1⃗, BB1⃗, CC1⃗ через векторы a = AC⃗ и b = AB⃗.
Для середины C отрезка PQ и любой точки O справедливо OC⃗ = (1/2)(OP⃗ + OQ⃗) (медиана вектор полусуммы). Поэтому:
AA1⃗ = (1/2)(AB⃗ + AC⃗) = (1/2)(a + b).
BB1⃗ = (1/2)(BA⃗ + BC⃗). Здесь BA⃗ = −b, BC⃗ = BA⃗ + AC⃗ = −b + a. Значит, BB1⃗ = (1/2)(−b + a − b) = (1/2)a − b.
CC1⃗ = (1/2)(CA⃗ + CB⃗). Здесь CA⃗ = −a, CB⃗ = CA⃗ + AB⃗ = −a + b. Значит, CC1⃗ = (1/2)(−a − a + b) = (1/2)b − a.
Ответ: AA1⃗ = (1/2)(a + b); BB1⃗ = (1/2)a − b; CC1⃗ = (1/2)b − a.
AA1⃗ = (1/2)(AB⃗ + AC⃗) = (1/2)(a + b).
BB1⃗ = (1/2)(BA⃗ + BC⃗). Здесь BA⃗ = −b, BC⃗ = BA⃗ + AC⃗ = −b + a. Значит, BB1⃗ = (1/2)(−b + a − b) = (1/2)a − b.
CC1⃗ = (1/2)(CA⃗ + CB⃗). Здесь CA⃗ = −a, CB⃗ = CA⃗ + AB⃗ = −a + b. Значит, CC1⃗ = (1/2)(−a − a + b) = (1/2)b − a.
Ответ: AA1⃗ = (1/2)(a + b); BB1⃗ = (1/2)a − b; CC1⃗ = (1/2)b − a.
975. Точка O — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO⃗ через векторы a = ED⃗ и b = EF⃗.
G середина DF, поэтому EG⃗ = (1/2)(ED⃗ + EF⃗) = (1/2)(a + b). O середина EG: EO⃗ = (1/2)EG⃗ = (1/4)(a + b).
DO⃗ = DE⃗ + EO⃗ = −a + (1/4)(a + b) = −(3/4)a + (1/4)b.
Ответ: DO⃗ = −(3/4)a + (1/4)b.
DO⃗ = DE⃗ + EO⃗ = −a + (1/4)(a + b) = −(3/4)a + (1/4)b.
Ответ: DO⃗ = −(3/4)a + (1/4)b.
976. Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.
Пусть AA1, BB1, CC1 медианы. Выразим их через стороны (для середины отрезка вектор из точки равен полусумме векторов к концам):
AA1⃗ = (1/2)(AB⃗ + AC⃗), BB1⃗ = (1/2)(BC⃗ + BA⃗), CC1⃗ = (1/2)(CA⃗ + CB⃗).
Сложим: AA1⃗ + BB1⃗ + CC1⃗ = (1/2)((AB⃗ + BA⃗) + (AC⃗ + CA⃗) + (BC⃗ + CB⃗)) = 0, так как в каждой скобке сумма противоположных векторов.
Отложим от произвольной точки M вектор MN⃗ = AA1⃗, от точки N вектор NP⃗ = BB1⃗. По правилу треугольника MP⃗ = MN⃗ + NP⃗ = AA1⃗ + BB1⃗ = −CC1⃗ (из равенства суммы нулю). Значит, PM⃗ = CC1⃗. Итак, стороны треугольника MNP это MN⃗ = AA1⃗, NP⃗ = BB1⃗, PM⃗ = CC1⃗: они параллельны и равны медианам AA1, BB1, CC1 треугольника ABC. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, так как медианы треугольника не параллельны друг другу, следовательно, MNP настоящий треугольник.
AA1⃗ = (1/2)(AB⃗ + AC⃗), BB1⃗ = (1/2)(BC⃗ + BA⃗), CC1⃗ = (1/2)(CA⃗ + CB⃗).
Сложим: AA1⃗ + BB1⃗ + CC1⃗ = (1/2)((AB⃗ + BA⃗) + (AC⃗ + CA⃗) + (BC⃗ + CB⃗)) = 0, так как в каждой скобке сумма противоположных векторов.
Отложим от произвольной точки M вектор MN⃗ = AA1⃗, от точки N вектор NP⃗ = BB1⃗. По правилу треугольника MP⃗ = MN⃗ + NP⃗ = AA1⃗ + BB1⃗ = −CC1⃗ (из равенства суммы нулю). Значит, PM⃗ = CC1⃗. Итак, стороны треугольника MNP это MN⃗ = AA1⃗, NP⃗ = BB1⃗, PM⃗ = CC1⃗: они параллельны и равны медианам AA1, BB1, CC1 треугольника ABC. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, так как медианы треугольника не параллельны друг другу, следовательно, MNP настоящий треугольник.
977. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB1A2, BCC1B2, ACC2A1. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам A1A2, B1B2 и C1C2.
В параллелограммах противоположные стороны равны и параллельны, поэтому:
ABB1A2: AA2⃗ = BB1⃗;
BCC1B2: BB2⃗ = CC1⃗;
ACC2A1: AA1⃗ = CC2⃗.
Выразим нужные векторы: A1A2⃗ = A1A⃗ + AA2⃗ = −AA1⃗ + AA2⃗ = BB1⃗ − CC2⃗.
B1B2⃗ = B1B⃗ + BB2⃗ = −BB1⃗ + CC1⃗.
C1C2⃗ = C1C⃗ + CC2⃗ = −CC1⃗ + CC2⃗.
Сложим три равенства: A1A2⃗ + B1B2⃗ + C1C2⃗ = (BB1⃗ − BB1⃗) + (CC1⃗ − CC1⃗) + (CC2⃗ − CC2⃗) = 0.
Отложим от произвольной точки M вектор MN⃗ = A1A2⃗, от точки N вектор NP⃗ = B1B2⃗. Тогда MP⃗ = A1A2⃗ + B1B2⃗ = −C1C2⃗, то есть PM⃗ = C1C2⃗. Стороны треугольника MNP равны векторам A1A2⃗, B1B2⃗, C1C2⃗, поэтому они параллельны и равны отрезкам A1A2, B1B2, C1C2. Таким образом, искомый треугольник существует (в общем случае, когда эти три вектора не лежат на одной прямой, то есть точки M, N, P не коллинеарны).
ABB1A2: AA2⃗ = BB1⃗;
BCC1B2: BB2⃗ = CC1⃗;
ACC2A1: AA1⃗ = CC2⃗.
Выразим нужные векторы: A1A2⃗ = A1A⃗ + AA2⃗ = −AA1⃗ + AA2⃗ = BB1⃗ − CC2⃗.
B1B2⃗ = B1B⃗ + BB2⃗ = −BB1⃗ + CC1⃗.
C1C2⃗ = C1C⃗ + CC2⃗ = −CC1⃗ + CC2⃗.
Сложим три равенства: A1A2⃗ + B1B2⃗ + C1C2⃗ = (BB1⃗ − BB1⃗) + (CC1⃗ − CC1⃗) + (CC2⃗ − CC2⃗) = 0.
Отложим от произвольной точки M вектор MN⃗ = A1A2⃗, от точки N вектор NP⃗ = B1B2⃗. Тогда MP⃗ = A1A2⃗ + B1B2⃗ = −C1C2⃗, то есть PM⃗ = C1C2⃗. Стороны треугольника MNP равны векторам A1A2⃗, B1B2⃗, C1C2⃗, поэтому они параллельны и равны отрезкам A1A2, B1B2, C1C2. Таким образом, искомый треугольник существует (в общем случае, когда эти три вектора не лежат на одной прямой, то есть точки M, N, P не коллинеарны).