Глава X. §2. Сложение и вычитание векторов — с. 236
953. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы p = XY⃗ + ZX⃗ + YZ⃗, q = (XY⃗ − XZ⃗) + YZ⃗ и r = (ZY⃗ − XY⃗) − ZX⃗ нулевые.
p: переставим слагаемые: p = XY⃗ + YZ⃗ + ZX⃗ = XZ⃗ + ZX⃗ = XX⃗ = 0.
q: XY⃗ − XZ⃗ = ZY⃗ (разность векторов с общим началом X: XZ⃗ + ZY⃗ = XY⃗). Тогда q = ZY⃗ + YZ⃗ = ZZ⃗ = 0.
r: ZY⃗ − XY⃗ = ZY⃗ + YX⃗ = ZX⃗. Тогда r = ZX⃗ − ZX⃗ = 0.
Все три вектора нулевые.
q: XY⃗ − XZ⃗ = ZY⃗ (разность векторов с общим началом X: XZ⃗ + ZY⃗ = XY⃗). Тогда q = ZY⃗ + YZ⃗ = ZZ⃗ = 0.
r: ZY⃗ − XY⃗ = ZY⃗ + YX⃗ = ZX⃗. Тогда r = ZX⃗ − ZX⃗ = 0.
Все три вектора нулевые.
954. На рисунке 297 изображены векторы a, b, c, d, XY⃗. Представьте вектор XY⃗ в виде суммы остальных или им противоположных векторов. [рисунок 297: ломаная из четырёх векторов от точки X до точки Y; векторы a и b направлены к точке X (против обхода от X к Y), векторы c и d направлены к точке Y]
По рисунку 297 ломаная идёт от точки X к точке Y через четыре вектора. Вектор a направлен от первой вершины ломаной к точке X, то есть против обхода, поэтому в обходе X → Y участвует вектор −a. Вектор b направлен от второй вершины к первой, значит, в обходе участвует −b. Векторы c и d направлены по обходу.
По правилу многоугольника XY⃗ = (−a) + (−b) + c + d.
Ответ: XY⃗ = −a + (−b) + c + d.
По правилу многоугольника XY⃗ = (−a) + (−b) + c + d.
Ответ: XY⃗ = −a + (−b) + c + d.
955. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы a = AB⃗ и b = AC⃗ следующие векторы: а) BA⃗; б) CB⃗; в) CB⃗ + BA⃗.
а) Векторы BA⃗ и AB⃗ противоположные, поэтому BA⃗ = −AB⃗ = −a.
б) По правилу треугольника CB⃗ = CA⃗ + AB⃗. Так как CA⃗ = −AC⃗ = −b, получаем CB⃗ = −b + a = a − b.
в) CB⃗ + BA⃗ = CA⃗ (правило треугольника) = −b. Проверка: (a − b) + (−a) = −b.
Ответ: а) −a; б) a − b; в) −b.
б) По правилу треугольника CB⃗ = CA⃗ + AB⃗. Так как CA⃗ = −AC⃗ = −b, получаем CB⃗ = −b + a = a − b.
в) CB⃗ + BA⃗ = CA⃗ (правило треугольника) = −b. Проверка: (a − b) + (−a) = −b.
Ответ: а) −a; б) a − b; в) −b.
956. Точки M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Выразите векторы BM⃗, NC⃗, MN⃗, BN⃗ через векторы a = AM⃗ и b = AN⃗.
M середина AB, поэтому MB⃗ = AM⃗ = a, и BM⃗ = −a (противоположный вектор).
N середина AC, поэтому NC⃗ = AN⃗ = b.
MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ = −a + b = b − a.
BN⃗ = BM⃗ + MN⃗ = −a + (b − a) = b − 2a.
Ответ: BM⃗ = −a; NC⃗ = b; MN⃗ = b − a; BN⃗ = b − 2a.
N середина AC, поэтому NC⃗ = AN⃗ = b.
MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ = −a + b = b − a.
BN⃗ = BM⃗ + MN⃗ = −a + (b − a) = b − 2a.
Ответ: BM⃗ = −a; NC⃗ = b; MN⃗ = b − a; BN⃗ = b − 2a.
957. Отрезок BB1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C⃗, BB1⃗, BA⃗, BC⃗ через x = AB1⃗ и y = AB⃗.
B1 середина AC, поэтому B1C⃗ = AB1⃗ = x.
BB1⃗ = BA⃗ + AB1⃗ = −y + x = x − y.
BA⃗ = −AB⃗ = −y.
BC⃗ = BB1⃗ + B1C⃗ = (x − y) + x = 2x − y.
Ответ: B1C⃗ = x; BB1⃗ = x − y; BA⃗ = −y; BC⃗ = 2x − y.
BB1⃗ = BA⃗ + AB1⃗ = −y + x = x − y.
BA⃗ = −AB⃗ = −y.
BC⃗ = BB1⃗ + B1C⃗ = (x − y) + x = 2x − y.
Ответ: B1C⃗ = x; BB1⃗ = x − y; BA⃗ = −y; BC⃗ = 2x − y.
958. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор AC⃗ через векторы a и b, если: а) a = AB⃗, b = BC⃗; б) a = CB⃗, b = CD⃗; в) a = AB⃗, b = DA⃗.
а) AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a + b.
б) AC⃗ = AB⃗ + BC⃗. В параллелограмме AB⃗ = DC⃗ = −CD⃗ = −b и BC⃗ = −CB⃗ = −a. Значит, AC⃗ = −a − b = −(a + b).
в) AC⃗ = AB⃗ + BC⃗, а BC⃗ = AD⃗ = −DA⃗ = −b. Значит, AC⃗ = a − b.
Ответ: а) a + b; б) −a − b; в) a − b.
б) AC⃗ = AB⃗ + BC⃗. В параллелограмме AB⃗ = DC⃗ = −CD⃗ = −b и BC⃗ = −CB⃗ = −a. Значит, AC⃗ = −a − b = −(a + b).
в) AC⃗ = AB⃗ + BC⃗, а BC⃗ = AD⃗ = −DA⃗ = −b. Значит, AC⃗ = a − b.
Ответ: а) a + b; б) −a − b; в) a − b.
959. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Выразите через векторы a = AB⃗ и b = AD⃗ векторы: DC⃗ + CB⃗, BO⃗ + OC⃗, BO⃗ − OC⃗, BA⃗ − DA⃗.
1) DC⃗ = AB⃗ = a (противоположные стороны), CB⃗ = −BC⃗ = −AD⃗ = −b. Поэтому DC⃗ + CB⃗ = a − b (это DB⃗).
2) BO⃗ + OC⃗ = BC⃗ = AD⃗ = b.
3) Так как O середина AC, OC⃗ = AO⃗. Тогда BO⃗ − OC⃗ = BO⃗ − AO⃗ = BO⃗ + OA⃗ = BA⃗ = −a.
4) BA⃗ − DA⃗ = BA⃗ + AD⃗ = BD⃗ = −a + b = b − a.
Ответ: a − b; b; −a; b − a.
2) BO⃗ + OC⃗ = BC⃗ = AD⃗ = b.
3) Так как O середина AC, OC⃗ = AO⃗. Тогда BO⃗ − OC⃗ = BO⃗ − AO⃗ = BO⃗ + OA⃗ = BA⃗ = −a.
4) BA⃗ − DA⃗ = BA⃗ + AD⃗ = BD⃗ = −a + b = b − a.
Ответ: a − b; b; −a; b − a.
960. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что XA⃗ + XC⃗ = XB⃗ + XD⃗, где X — произвольная точка плоскости.
Пусть O точка пересечения диагоналей параллелограмма; она середина и AC, и BD, поэтому OA⃗ + OC⃗ = 0 и OB⃗ + OD⃗ = 0.
XA⃗ + XC⃗ = (XO⃗ + OA⃗) + (XO⃗ + OC⃗) = 2XO⃗ + (OA⃗ + OC⃗) = 2XO⃗.
XB⃗ + XD⃗ = (XO⃗ + OB⃗) + (XO⃗ + OD⃗) = 2XO⃗ + (OB⃗ + OD⃗) = 2XO⃗.
Правые части равны, следовательно, XA⃗ + XC⃗ = XB⃗ + XD⃗.
XA⃗ + XC⃗ = (XO⃗ + OA⃗) + (XO⃗ + OC⃗) = 2XO⃗ + (OA⃗ + OC⃗) = 2XO⃗.
XB⃗ + XD⃗ = (XO⃗ + OB⃗) + (XO⃗ + OD⃗) = 2XO⃗ + (OB⃗ + OD⃗) = 2XO⃗.
Правые части равны, следовательно, XA⃗ + XC⃗ = XB⃗ + XD⃗.
961. Докажите, что для любых двух векторов x и y справедливо неравенство |x − y| ≤ |x| + |y|. В каком случае |x − y| = |x| + |y|?
Отложим от точки A вектор AB⃗ = x, от точки B вектор BC⃗ = −y (|−y| = |y|). Тогда AC⃗ = x + (−y) = x − y.
Для любых трёх точек A, B, C верно неравенство AC ≤ AB + BC (для невырожденного треугольника строгое неравенство треугольника, для точек на одной прямой AC равно либо AB + BC, либо меньше). Отсюда |x − y| ≤ |x| + |y|.
Равенство AC = AB + BC выполняется тогда и только тогда, когда точка B лежит на отрезке AC (или совпадает с его концом), то есть когда векторы AB⃗ = x и BC⃗ = −y сонаправлены (или один из них нулевой). Векторы x и −y сонаправлены, когда x и y направлены противоположно.
Ответ: равенство |x − y| = |x| + |y| верно, если x ↑↓ y или хотя бы один из векторов x, y нулевой.
Для любых трёх точек A, B, C верно неравенство AC ≤ AB + BC (для невырожденного треугольника строгое неравенство треугольника, для точек на одной прямой AC равно либо AB + BC, либо меньше). Отсюда |x − y| ≤ |x| + |y|.
Равенство AC = AB + BC выполняется тогда и только тогда, когда точка B лежит на отрезке AC (или совпадает с его концом), то есть когда векторы AB⃗ = x и BC⃗ = −y сонаправлены (или один из них нулевой). Векторы x и −y сонаправлены, когда x и y направлены противоположно.
Ответ: равенство |x − y| = |x| + |y| верно, если x ↑↓ y или хотя бы один из векторов x, y нулевой.
962. Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью 3√3 м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист?
Скорость парашютиста складывается из вертикальной составляющей v1 (3 м/с, вниз) и горизонтальной v2 (3√3 м/с, вбок); они перпендикулярны. По правилу параллелограмма (прямоугольника) итоговая скорость v = v1 + v2 направлена по диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 3√3.
Пусть φ угол между v и вертикалью. В прямоугольном треугольнике из векторов v1, v2, v: tg φ = |v2| / |v1| = 3√3 / 3 = √3, откуда φ = 60°.
(Проверка: |v| = √(9 + 27) = 6 м/с, cos φ = 3 / 6 = 1/2.)
Ответ: 60°.
Пусть φ угол между v и вертикалью. В прямоугольном треугольнике из векторов v1, v2, v: tg φ = |v2| / |v1| = 3√3 / 3 = √3, откуда φ = 60°.
(Проверка: |v| = √(9 + 27) = 6 м/с, cos φ = 3 / 6 = 1/2.)
Ответ: 60°.