Глава X. §2. Сложение и вычитание векторов — с. 235
941. Турист прошёл 20 км на восток из города A в город B, а потом 30 км на восток в город C. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы AB⃗ и BC⃗. Равны ли векторы AB⃗ + BC⃗ и AC⃗?
Масштаб: 1 см соответствует 10 км. Проводим горизонтальную прямую (на восток вправо), отмечаем A, от неё вправо откладываем AB = 2 см, затем от B вправо BC = 3 см. Ставим стрелки: AB⃗ и BC⃗ сонаправлены.
По правилу треугольника AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ для любых точек A, B, C. Здесь AC⃗ направлен на восток и имеет длину 2 + 3 = 5 см (50 км), что видно и на чертеже. Следовательно, векторы AB⃗ + BC⃗ и AC⃗ равны.
Ответ: да.
По правилу треугольника AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ для любых точек A, B, C. Здесь AC⃗ направлен на восток и имеет длину 2 + 3 = 5 см (50 км), что видно и на чертеже. Следовательно, векторы AB⃗ + BC⃗ и AC⃗ равны.
Ответ: да.
942. Начертите попарно неколлинеарные векторы x, y, z и постройте векторы x + y, x + z, z + y.
Применяем правило треугольника: чтобы сложить u и v, откладываем от произвольной точки O вектор OP⃗ = u, затем от точки P вектор PQ⃗ = v; вектор OQ⃗ = u + v.
1) x + y: от точки O1 откладываем x, от его конца откладываем y; вектор из O1 в конец y искомый.
2) x + z: от точки O2 откладываем x, от его конца z; соединяем начало первого с концом второго.
3) z + y: от точки O3 откладываем z, затем y; соединяем.
На чертеже слагаемые показаны серым, суммы красным.
1) x + y: от точки O1 откладываем x, от его конца откладываем y; вектор из O1 в конец y искомый.
2) x + z: от точки O2 откладываем x, от его конца z; соединяем начало первого с концом второго.
3) z + y: от точки O3 откладываем z, затем y; соединяем.
На чертеже слагаемые показаны серым, суммы красным.
943. Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b, c, d, e и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор a + b + c + d + e.
Правило многоугольника: от произвольной точки O откладываем вектор a, от его конца вектор b, от конца b вектор c, затем d и e (каждый следующий откладывается от конца предыдущего, получается ломаная). Вектор, идущий из начала первого вектора (точка O) в конец последнего (e), равен сумме: OS⃗ = a + b + c + d + e. Он показан красным.
Верно потому, что OA1⃗ + A1A2⃗ + ... + A4S⃗ = OS⃗ для любых точек.
Верно потому, что OA1⃗ + A1A2⃗ + ... + A4S⃗ = OS⃗ для любых точек.
944. Начертите попарно неколлинеарные векторы x, y, z и постройте векторы x − y, z − y, x − z, −x, −y, −z.
Откладываем x, y, z от одной точки O: OX⃗ = x, OY⃗ = y, OZ⃗ = z.
Разность a − b: если от общего начала отложены OA⃗ = a, OB⃗ = b, то BA⃗ = a − b (так как b + BA⃗ = OB⃗ + BA⃗ = OA⃗ = a). Поэтому:
x − y = YX⃗ (от конца y к концу x); z − y = YZ⃗; x − z = ZX⃗ (на чертеже красные).
Противоположный вектор −a имеет ту же длину и противоположное направление: откладываем от O векторы, симметричные OX⃗, OY⃗, OZ⃗ относительно точки O (то есть продолжаем отрезки OX, OY, OZ за точку O на такую же длину). Получаем −x, −y, −z (синие).
Разность a − b: если от общего начала отложены OA⃗ = a, OB⃗ = b, то BA⃗ = a − b (так как b + BA⃗ = OB⃗ + BA⃗ = OA⃗ = a). Поэтому:
x − y = YX⃗ (от конца y к концу x); z − y = YZ⃗; x − z = ZX⃗ (на чертеже красные).
Противоположный вектор −a имеет ту же длину и противоположное направление: откладываем от O векторы, симметричные OX⃗, OY⃗, OZ⃗ относительно точки O (то есть продолжаем отрезки OX, OY, OZ за точку O на такую же длину). Получаем −x, −y, −z (синие).
945. Начертите векторы x, y и z так, чтобы x ↑↑ y, x ↑↓ z. Постройте векторы x + y, y − z, x + z.
Берём все три вектора на параллельных горизонтальных прямых: x длиной 2,5 см вправо, y длиной 1,5 см вправо (x ↑↑ y), z длиной 2 см влево (x ↑↓ z).
x + y: откладываем x, от его конца y (в ту же сторону). Сумма направлена вправо и имеет длину 2,5 + 1,5 = 4 см.
y − z: от общей точки откладываем y и z; вектор от конца z к концу y равен y − z (равносильно y + (−z), а −z направлен вправо). Он направлен вправо, длина 1,5 + 2 = 3,5 см.
x + z: откладываем x, от его конца z (влево). Сумма направлена вправо (x длиннее z) и имеет длину 2,5 − 2 = 0,5 см.
Результаты на чертеже красные.
x + y: откладываем x, от его конца y (в ту же сторону). Сумма направлена вправо и имеет длину 2,5 + 1,5 = 4 см.
y − z: от общей точки откладываем y и z; вектор от конца z к концу y равен y − z (равносильно y + (−z), а −z направлен вправо). Он направлен вправо, длина 1,5 + 2 = 3,5 см.
x + z: откладываем x, от его конца z (влево). Сумма направлена вправо (x длиннее z) и имеет длину 2,5 − 2 = 0,5 см.
Результаты на чертеже красные.
946. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора a и b так, чтобы |a| ≠ |b|. Постройте векторы: а) a − b; б) b − a; в) −a + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда |a| = |b|.
Случай |a| ≠ |b|. Пусть a и b сонаправлены, |a| = 3,5 см, |b| = 2 см (для противоположно направленных рассуждение такое же).
а) a − b: откладываем от общей точки O векторы OA⃗ = a и OB⃗ = b; вектор BA⃗ = a − b. Он направлен так же, как a, и имеет длину 3,5 − 2 = 1,5 см.
б) b − a = AB⃗: направлен противоположно a, длина 1,5 см.
в) −a + b = b + (−a) = b − a (слагаемые можно переставлять), поэтому получается тот же вектор, что в пункте б): AB⃗.
Случай |a| = |b|. Если a ↑↑ b, то a = b (равны длины и направления), и a − b = b − a = −a + b = 0: нулевой вектор, на чертеже точка (конец вектора b совпадает с концом a). Если же a ↑↓ b, то b = −a, поэтому a − b = 2a (длина 2|a|, направлен как a), а b − a = −a + b = −2a (противоположный).
а) a − b: откладываем от общей точки O векторы OA⃗ = a и OB⃗ = b; вектор BA⃗ = a − b. Он направлен так же, как a, и имеет длину 3,5 − 2 = 1,5 см.
б) b − a = AB⃗: направлен противоположно a, длина 1,5 см.
в) −a + b = b + (−a) = b − a (слагаемые можно переставлять), поэтому получается тот же вектор, что в пункте б): AB⃗.
Случай |a| = |b|. Если a ↑↑ b, то a = b (равны длины и направления), и a − b = b − a = −a + b = 0: нулевой вектор, на чертеже точка (конец вектора b совпадает с концом a). Если же a ↑↓ b, то b = −a, поэтому a − b = 2a (длина 2|a|, направлен как a), а b − a = −a + b = −2a (противоположный).
947. Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: а) MN⃗ + NQ⃗ = MP⃗ + PQ⃗; б) MN⃗ + NP⃗ = MQ⃗ + QP⃗.
Применяем правило треугольника AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ (оно верно для любых трёх точек).
а) MN⃗ + NQ⃗ = MQ⃗; MP⃗ + PQ⃗ = MQ⃗. Обе суммы равны MQ⃗, значит, они равны между собой.
б) MN⃗ + NP⃗ = MP⃗; MQ⃗ + QP⃗ = MP⃗. Обе суммы равны MP⃗. Что и требовалось доказать.
а) MN⃗ + NQ⃗ = MQ⃗; MP⃗ + PQ⃗ = MQ⃗. Обе суммы равны MQ⃗, значит, они равны между собой.
б) MN⃗ + NP⃗ = MP⃗; MQ⃗ + QP⃗ = MP⃗. Обе суммы равны MP⃗. Что и требовалось доказать.
948. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов x и y справедливо неравенство |x + y| < |x| + |y|.
Отложим от произвольной точки A вектор AB⃗ = x, а от точки B вектор BC⃗ = y. По правилу треугольника AC⃗ = x + y.
Так как x и y неколлинеарны, точки A, B, C не лежат на одной прямой, и ABC настоящий треугольник. По неравенству треугольника AC < AB + BC.
Но AC = |x + y|, AB = |x|, BC = |y|. Значит, |x + y| < |x| + |y|.
Так как x и y неколлинеарны, точки A, B, C не лежат на одной прямой, и ABC настоящий треугольник. По неравенству треугольника AC < AB + BC.
Но AC = |x + y|, AB = |x|, BC = |y|. Значит, |x + y| < |x| + |y|.
949. Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки, то AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = 0.
По правилу многоугольника (оно верно для любых точек, в том числе совпадающих): AB⃗ + BC⃗ = AC⃗; AC⃗ + CD⃗ = AD⃗; AD⃗ + DA⃗ = AA⃗ = 0, так как начало и конец вектора AA⃗ совпадают.
Итак, AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = AA⃗ = 0.
Итак, AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = AA⃗ = 0.
950. Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите: а) |AB⃗ + BC⃗|; б) |AB⃗ + AC⃗|; в) |AB⃗ + CB⃗|; г) |BA⃗ − BC⃗|; д) |AB⃗ − AC⃗|.
а) AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ (правило треугольника), |AC⃗| = a.
б) По правилу параллелограмма AB⃗ + AC⃗ = AD⃗, где ABDC параллелограмм (D четвёртая вершина). Это ромб со стороной a и углом A = 60°, значит, AD его диагональ. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, а половина AD равна высоте равностороннего треугольника ABC, то есть a√3 / 2. Значит, AD = a√3.
в) Пусть M середина AC. Тогда AB⃗ + CB⃗ = (AM⃗ + MB⃗) + (CM⃗ + MB⃗) = 2MB⃗ + (AM⃗ + CM⃗) = 2MB⃗ (так как AM⃗ + CM⃗ = 0). Длина 2 · BM = 2 · a√3 / 2 = a√3 (BM медиана и высота равностороннего треугольника).
г) BA⃗ − BC⃗ = CA⃗ (разность векторов с общим началом), длина a.
д) AB⃗ − AC⃗ = CB⃗, длина a.
Ответ: а) a; б) a√3; в) a√3; г) a; д) a.
б) По правилу параллелограмма AB⃗ + AC⃗ = AD⃗, где ABDC параллелограмм (D четвёртая вершина). Это ромб со стороной a и углом A = 60°, значит, AD его диагональ. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, а половина AD равна высоте равностороннего треугольника ABC, то есть a√3 / 2. Значит, AD = a√3.
в) Пусть M середина AC. Тогда AB⃗ + CB⃗ = (AM⃗ + MB⃗) + (CM⃗ + MB⃗) = 2MB⃗ + (AM⃗ + CM⃗) = 2MB⃗ (так как AM⃗ + CM⃗ = 0). Длина 2 · BM = 2 · a√3 / 2 = a√3 (BM медиана и высота равностороннего треугольника).
г) BA⃗ − BC⃗ = CA⃗ (разность векторов с общим началом), длина a.
д) AB⃗ − AC⃗ = CB⃗, длина a.
Ответ: а) a; б) a√3; в) a√3; г) a; д) a.
951. В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите: а) |BA⃗| − |BC⃗| и |BA⃗ − BC⃗|; б) |AB⃗| + |BC⃗| и |AB⃗ + BC⃗|; в) |BA⃗| + |BC⃗| и |BA⃗ + BC⃗|; г) |AB⃗| − |BC⃗| и |AB⃗ − BC⃗|.
Гипотенуза AC = √(6² + 8²) = 10.
а) |BA⃗| − |BC⃗| = 6 − 8 = −2. BA⃗ − BC⃗ = CA⃗, длина 10.
б) |AB⃗| + |BC⃗| = 6 + 8 = 14. AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, длина 10.
в) |BA⃗| + |BC⃗| = 14. BA⃗ + BC⃗ = BD⃗, где BADC прямоугольник (правило параллелограмма); BD вторая диагональ, BD = AC = 10.
г) |AB⃗| − |BC⃗| = −2. AB⃗ − BC⃗ = −BA⃗ − BC⃗ = −(BA⃗ + BC⃗), поэтому длина равна длине вектора из пункта в), то есть 10.
Ответ: а) −2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) −2 и 10.
а) |BA⃗| − |BC⃗| = 6 − 8 = −2. BA⃗ − BC⃗ = CA⃗, длина 10.
б) |AB⃗| + |BC⃗| = 6 + 8 = 14. AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, длина 10.
в) |BA⃗| + |BC⃗| = 14. BA⃗ + BC⃗ = BD⃗, где BADC прямоугольник (правило параллелограмма); BD вторая диагональ, BD = AC = 10.
г) |AB⃗| − |BC⃗| = −2. AB⃗ − BC⃗ = −BA⃗ − BC⃗ = −(BA⃗ + BC⃗), поэтому длина равна длине вектора из пункта в), то есть 10.
Ответ: а) −2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) −2 и 10.
952. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) (AB⃗ + BC⃗ − MC⃗) + (MD⃗ − KD⃗); б) (CB⃗ + AC⃗ + BD⃗) − (MK⃗ + KD⃗).
а) Заменим вычитание сложением противоположного: −MC⃗ = CM⃗, −KD⃗ = DK⃗. Получаем AB⃗ + BC⃗ + CM⃗ + MD⃗ + DK⃗. По правилу многоугольника (каждый следующий вектор начинается в конце предыдущего) сумма равна AK⃗.
б) Слагаемые в первой скобке переставим: AC⃗ + CB⃗ + BD⃗ = AD⃗. Во второй скобке MK⃗ + KD⃗ = MD⃗. Тогда выражение равно AD⃗ − MD⃗ = AD⃗ + DM⃗ = AM⃗.
Ответ: а) AK⃗; б) AM⃗.
б) Слагаемые в первой скобке переставим: AC⃗ + CB⃗ + BD⃗ = AD⃗. Во второй скобке MK⃗ + KD⃗ = MD⃗. Тогда выражение равно AD⃗ − MD⃗ = AD⃗ + DM⃗ = AM⃗.
Ответ: а) AK⃗; б) AM⃗.