Глава X. Векторы. §1. Понятие вектора — с. 228
926. Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
Выбираем две различные точки из трёх: пар точек три (AB, BC, AC), а у каждой пары можно выбрать два порядка (какая точка начало, какая конец). Поэтому всего получается 6 ненулевых векторов.
AB⃗: начало A, конец B;
BA⃗: начало B, конец A;
BC⃗: начало B, конец C;
CB⃗: начало C, конец B;
AC⃗: начало A, конец C;
CA⃗: начало C, конец A.
На чертеже каждая сторона треугольника ABC изображена двумя стрелками: одна направлена в одну сторону, другая в противоположную (для наглядности стрелки немного сдвинуты друг от друга). Нулевые векторы AA, BB, CC по условию не рассматриваются.
AB⃗: начало A, конец B;
BA⃗: начало B, конец A;
BC⃗: начало B, конец C;
CB⃗: начало C, конец B;
AC⃗: начало A, конец C;
CA⃗: начало C, конец A.
На чертеже каждая сторона треугольника ABC изображена двумя стрелками: одна направлена в одну сторону, другая в противоположную (для наглядности стрелки немного сдвинуты друг от друга). Нулевые векторы AA, BB, CC по условию не рассматриваются.
927. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор AC⃗, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
Выбираем масштаб: 1 см на чертеже соответствует 100 км. Тогда 300 км изображаются отрезком 3 см, а 500 км отрезком 5 см.
Построение: отмечаем точку A. Север принимаем направленным вверх. От A проводим вниз (на юг) отрезок AB длиной 3 см и ставим стрелку в точке B: получили вектор AB⃗. От точки B проводим вправо (на восток) отрезок BC длиной 5 см, он перпендикулярен AB, стрелка в точке C: вектор BC⃗. Соединяем A с C и ставим стрелку в C: вектор AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ (правило треугольника).
Длина AC⃗ из прямоугольного треугольника ABC: AC = √(3² + 5²) = √34 ≈ 5,8 см, то есть перемещение самолёта равно примерно 583 км (в направлении юго-восток).
Построение: отмечаем точку A. Север принимаем направленным вверх. От A проводим вниз (на юг) отрезок AB длиной 3 см и ставим стрелку в точке B: получили вектор AB⃗. От точки B проводим вправо (на восток) отрезок BC длиной 5 см, он перпендикулярен AB, стрелка в точке C: вектор BC⃗. Соединяем A с C и ставим стрелку в C: вектор AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ (правило треугольника).
Длина AC⃗ из прямоугольного треугольника ABC: AC = √(3² + 5²) = √34 ≈ 5,8 см, то есть перемещение самолёта равно примерно 583 км (в направлении юго-восток).
928. Начертите векторы AB⃗, CD⃗ и EF⃗ так, чтобы: а) AB⃗, CD⃗ и EF⃗ были коллинеарны и |AB⃗| = 1 см, |CD⃗| = 2,5 см, |EF⃗| = 4,5 см; б) AB⃗ и EF⃗ были коллинеарны, AB⃗ и CD⃗ были не коллинеарны и |AB⃗| = 3 см, |CD⃗| = 1,5 см, |EF⃗| = 1 см.
а) Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Проводим три параллельные горизонтальные прямые (можно и одну прямую). На первой откладываем отрезок AB = 1 см, на второй CD = 2,5 см, на третьей EF = 4,5 см и ставим стрелки на концах B, D, F (направление любое, на чертеже все вправо). Условие выполнено: векторы коллинеарны, их длины заданы.
б) Проводим прямую l и откладываем на ней вектор AB⃗ длиной 3 см и вектор EF⃗ длиной 1 см (они лежат на одной прямой, значит, коллинеарны). Затем проводим отрезок CD = 1,5 см под углом к прямой l (например, 45°; его прямая не параллельна l) и ставим стрелку в точке D. Вектор CD⃗ не коллинеарен AB⃗ и EF⃗, так как не лежит ни на прямой l, ни на параллельной ей прямой.
б) Проводим прямую l и откладываем на ней вектор AB⃗ длиной 3 см и вектор EF⃗ длиной 1 см (они лежат на одной прямой, значит, коллинеарны). Затем проводим отрезок CD = 1,5 см под углом к прямой l (например, 45°; его прямая не параллельна l) и ставим стрелку в точке D. Вектор CD⃗ не коллинеарен AB⃗ и EF⃗, так как не лежит ни на прямой l, ни на параллельной ей прямой.
929. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором a; б) сонаправленных с вектором b; в) противоположно направленных вектору b; г) противоположно направленных вектору a.
Чертим неколлинеарные векторы a и b (чёрные). Дальше строим красные векторы, проводя их по прямым, параллельным a или b.
а) От произвольных точек откладываем векторы c и d на прямых, параллельных a, и направляем их в ту же сторону, что и a (длины любые): c ↑↑ a, d ↑↑ a.
б) Аналогично на прямых, параллельных b, в ту же сторону, что b: e ↑↑ b, f ↑↑ b.
в) На прямых, параллельных b, но стрелкой в противоположную сторону: g ↑↓ b, h ↑↓ b.
г) На прямых, параллельных a, стрелкой в сторону, противоположную a: k ↑↓ a, l ↑↓ a.
а) От произвольных точек откладываем векторы c и d на прямых, параллельных a, и направляем их в ту же сторону, что и a (длины любые): c ↑↑ a, d ↑↑ a.
б) Аналогично на прямых, параллельных b, в ту же сторону, что b: e ↑↑ b, f ↑↑ b.
в) На прямых, параллельных b, но стрелкой в противоположную сторону: g ↑↓ b, h ↑↓ b.
г) На прямых, параллельных a, стрелкой в сторону, противоположную a: k ↑↓ a, l ↑↓ a.