Задачи повышенной трудности. Задачи к главе IX — с. 222
903. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Пусть S — точка пересечения прямых, АВ и СD — равные хорды (АВ = СD = d) на этих прямых.
Случай 1: S вне окружности, В между А и S, D между С и S. Пусть SB = x, SD = y. Треугольники SBС и SDА подобны: угол S общий, ∠SСВ = ∠SАD (вписанные углы, опирающиеся на дугу ВD). Из подобия SB/SD = SC/SA, то есть SA · SB = SC · SD: (x + d)x = (y + d)y. Отсюда (x − y)(x + y + d) = 0, а так как x + y + d > 0, получаем x = y. Значит, SB = SD и SA = SB + d = SD + d = SC.
Случай 2: S внутри окружности. Пусть SA = p, SB = d − p, SC = q, SD = d − q. Из подобия треугольников SAD и SCB (вертикальные углы, ∠SAD = ∠SCB) имеем SA · SB = SC · SD: p(d − p) = q(d − q), откуда (p − q)(d − p − q) = 0. Если p = q, то SA = SC, SB = SD. Если p + q = d, то SC = q = d − p = SB и SD = d − q = p = SA, то есть SA = SD, SB = SC (концы хорд соответствуют друг другу после переобозначения C ↔ D).
В обоих случаях расстояния от точки пересечения до концов одной хорды соответственно равны расстояниям до концов другой.
Случай 1: S вне окружности, В между А и S, D между С и S. Пусть SB = x, SD = y. Треугольники SBС и SDА подобны: угол S общий, ∠SСВ = ∠SАD (вписанные углы, опирающиеся на дугу ВD). Из подобия SB/SD = SC/SA, то есть SA · SB = SC · SD: (x + d)x = (y + d)y. Отсюда (x − y)(x + y + d) = 0, а так как x + y + d > 0, получаем x = y. Значит, SB = SD и SA = SB + d = SD + d = SC.
Случай 2: S внутри окружности. Пусть SA = p, SB = d − p, SC = q, SD = d − q. Из подобия треугольников SAD и SCB (вертикальные углы, ∠SAD = ∠SCB) имеем SA · SB = SC · SD: p(d − p) = q(d − q), откуда (p − q)(d − p − q) = 0. Если p = q, то SA = SC, SB = SD. Если p + q = d, то SC = q = d − p = SB и SD = d − q = p = SA, то есть SA = SD, SB = SC (концы хорд соответствуют друг другу после переобозначения C ↔ D).
В обоих случаях расстояния от точки пересечения до концов одной хорды соответственно равны расстояниям до концов другой.
904. Докажите, что для всех хорд AB данной окружности величина AB²/AD, где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение.
Пусть R — радиус, BE — диаметр, проведённый через В, D — основание перпендикуляра из А на касательную в точке В. Касательная перпендикулярна ВЕ, значит, AD ∥ ВЕ. Если А = Е, то АВ = 2R = АD (D = В), и AB²/AD = 2R. Иначе ∠ВАЕ = 90° (опирается на диаметр). Угол между касательной ВD и хордой ВА равен вписанному углу ВЕА, опирающемуся на ту же дугу: ∠АВD = ∠ВЕА. Прямоугольные треугольники АВD (∠D = 90°) и ЕВА (∠А = 90°) подобны по острому углу: АВ/ЕВ = АD/АВ, откуда АВ² = АD · ЕВ = АD · 2R. Значит, AB²/AD = 2R — диаметру, одно и то же для всех хорд.
905. Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках O1 и О2 проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой O1O2.
Пусть прямая m проходит через А, H1 и H2 — основания перпендикуляров из О1 и О2 на m. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: H1 — середина АВ, H2 — середина АС. Тогда вектор ВС = С − В = 2(H2 − H1), и ВС = 2H1H2. Отрезок H1H2 — проекция отрезка О1О2 на прямую m (О1Н1 ⊥ m, О2Н2 ⊥ m), поэтому H1H2 = О1О2 · |cos φ| ≤ О1О2, где φ — угол между m и О1О2. Следовательно, ВС ≤ 2О1О2, и равенство достигается, только если cos φ = ±1, то есть m ∥ О1О2. Прямая через А, параллельная О1О2, существует, значит, наибольшее значение ВС равно 2О1О2, и достигается оно именно тогда, когда ВС ∥ О1О2.
906. Отрезок AB является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе OM окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой AB. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Введём координаты: О(0; 0), А(−r; 0), В(r; 0). Точка М = (r cos θ; r sin θ). Расстояние от М до АВ равно r|sin θ|. Искомая точка X лежит на радиусе ОМ на расстоянии r|sin θ| от О: X = r|sin θ|(cos θ; sin θ).
Если sin θ ≥ 0 (М в верхней полуплоскости): X = (r sin θ cos θ; r sin²θ) = ((r/2) sin 2θ; (r/2)(1 − cos 2θ)). Это точки окружности с центром (0; r/2) и радиусом r/2, то есть окружности с диаметром ОС, где С(0; r) — конец радиуса, перпендикулярного АВ. При θ ∈ [0; π] вся эта окружность проходится (2θ ∈ [0; 2π]).
Если sin θ < 0: X = (−r sin θ cos θ; −r sin²θ) — окружность с центром (0; −r/2) радиуса r/2, то есть окружность с диаметром ОD, D(0; −r).
Ответ: объединение двух окружностей, построенных на отрезках ОС и ОD как на диаметрах, где СD — диаметр, перпендикулярный АВ.
Если sin θ ≥ 0 (М в верхней полуплоскости): X = (r sin θ cos θ; r sin²θ) = ((r/2) sin 2θ; (r/2)(1 − cos 2θ)). Это точки окружности с центром (0; r/2) и радиусом r/2, то есть окружности с диаметром ОС, где С(0; r) — конец радиуса, перпендикулярного АВ. При θ ∈ [0; π] вся эта окружность проходится (2θ ∈ [0; 2π]).
Если sin θ < 0: X = (−r sin θ cos θ; −r sin²θ) — окружность с центром (0; −r/2) радиуса r/2, то есть окружность с диаметром ОD, D(0; −r).
Ответ: объединение двух окружностей, построенных на отрезках ОС и ОD как на диаметрах, где СD — диаметр, перпендикулярный АВ.
907. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка М так, что ∠BMC = 30°, ∠BMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ.
Точки, из которых отрезок ВС виден под углом 30° и которые лежат по ту же сторону от ВС, что и А, образуют дугу окружности, для которой ВС стягивает центральный угол 60°. Окружность с центром А радиуса АВ = АС: ∠ВАС = 60° — центральный, и вписанный угол, опирающийся на ВС, равен 30°. Так как М лежит внутри угла АВС (по ту же сторону ВС, что и А), М лежит на этой окружности, и АМ = АВ = АС.
Треугольник АВМ равнобедренный (АВ = АМ), ∠АМВ = 17° — угол при основании, поэтому ∠АВМ = 17° и ∠ВАМ = 180° − 2 · 17° = 146°.
Тогда ∠САМ = 146° − 60° = 86°, треугольник АСМ равнобедренный (АС = АМ): ∠АСМ = (180° − 86°)/2 = 47°, и ∠ВСМ = ∠ВСА + ∠АСМ = 60° + 47° = 107°.
Ответ: ∠ВАМ = 146°, ∠ВСМ = 107°.
Треугольник АВМ равнобедренный (АВ = АМ), ∠АМВ = 17° — угол при основании, поэтому ∠АВМ = 17° и ∠ВАМ = 180° − 2 · 17° = 146°.
Тогда ∠САМ = 146° − 60° = 86°, треугольник АСМ равнобедренный (АС = АМ): ∠АСМ = (180° − 86°)/2 = 47°, и ∠ВСМ = ∠ВСА + ∠АСМ = 60° + 47° = 107°.
Ответ: ∠ВАМ = 146°, ∠ВСМ = 107°.
908. Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Прямая, проведённая через вершину перпендикулярно биссектрисе угла, является биссектрисой внешнего угла этого треугольника при этой вершине. Пусть Р — точка пересечения прямых, проведённых через В и С. Точки биссектрисы внешнего угла равноудалены от прямых, содержащих его стороны: Р равноудалена от прямых АВ и ВС и от прямых ВС и СА. Значит, Р равноудалена от прямых АВ и АС, то есть лежит на биссектрисе угла между прямыми АВ и АС — либо внутренней, либо внешней. Но Р не лежит на внешней биссектрисе при А: по условию три проведённые прямые образуют треугольник, то есть не пересекаются в одной точке. Следовательно, Р лежит на прямой, содержащей биссектрису угла А треугольника АВС. Для двух других вершин нового треугольника рассуждение такое же.
909. Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника АВС, А1, В1, С1 — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ, а А2, В2, С2 — точки, симметричные точке Н относительно середин сторон ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А1, В1, С1, А2, В2, С2 лежат на окружности, описанной около треугольника АВС.
Рассмотрим остроугольный треугольник (для других случаев рассуждение аналогично с заменой углов на дополнительные). Четырёхугольник, образованный точкой Н и основаниями двух высот (из В и С), имеет прямые углы при основаниях, поэтому ∠ВНС = 180° − ∠А.
А1: симметрия относительно ВС переводит ∠ВНС в ∠ВА1С, поэтому ∠ВА1С = ∠ВНС = 180° − ∠А. Точки А1 и А лежат по разные стороны от ВС (Н — внутри треугольника, А1 — по ту сторону ВС, где нет А), и ∠ВАС + ∠ВА1С = 180°, значит, четырёхугольник АВА1С вписанный, и А1 лежит на описанной окружности.
А2: диагонали четырёхугольника ВНСА2 делятся точкой (серединой ВС) пополам, поэтому это параллелограмм, ∠ВА2С = ∠ВНС = 180° − ∠А, А2 лежит по другую сторону ВС от А, и снова АВА2С вписанный.
Для В1, В2, С1, С2 доказательство такое же (с заменой вершин).
А1: симметрия относительно ВС переводит ∠ВНС в ∠ВА1С, поэтому ∠ВА1С = ∠ВНС = 180° − ∠А. Точки А1 и А лежат по разные стороны от ВС (Н — внутри треугольника, А1 — по ту сторону ВС, где нет А), и ∠ВАС + ∠ВА1С = 180°, значит, четырёхугольник АВА1С вписанный, и А1 лежит на описанной окружности.
А2: диагонали четырёхугольника ВНСА2 делятся точкой (серединой ВС) пополам, поэтому это параллелограмм, ∠ВА2С = ∠ВНС = 180° − ∠А, А2 лежит по другую сторону ВС от А, и снова АВА2С вписанный.
Для В1, В2, С1, С2 доказательство такое же (с заменой вершин).
910. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD² = AB · BC − AD · DC.
Пусть луч ВD пересекает описанную окружность в точке Е. Треугольники АВЕ и DВС подобны: ∠АВЕ = ∠DВС (биссектриса) и ∠АЕВ = ∠АСВ (вписанные, опираются на дугу АВ). Отсюда АВ/ВD = ВЕ/ВС, то есть АВ · ВС = ВD · ВЕ = ВD (ВD + DЕ) = ВD² + ВD · DЕ.
Треугольники АDЕ и ВDС также подобны: ∠АDЕ = ∠ВDС (вертикальные), ∠ЕАD = ∠ЕАС = ∠ЕВС = ∠DВС. Значит, АD/ВD = DЕ/DС, АD · DС = ВD · DЕ.
Подставляя, АВ · ВС = ВD² + АD · DС, откуда ВD² = АВ · ВС − АD · DС.
Треугольники АDЕ и ВDС также подобны: ∠АDЕ = ∠ВDС (вертикальные), ∠ЕАD = ∠ЕАС = ∠ЕВС = ∠DВС. Значит, АD/ВD = DЕ/DС, АD · DС = ВD · DЕ.
Подставляя, АВ · ВС = ВD² + АD · DС, откуда ВD² = АВ · ВС − АD · DС.
911. Из вершины В треугольника ABC проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН.
Биссектриса ВЕ делит дугу АС (не содержащую В) пополам, так как вписанные углы АВЕ и ЕВС равны. Значит, Е — середина дуги АС, и ОЕ — серединный перпендикуляр к хорде АС (радиус, проведённый к середине дуги, перпендикулярен хорде): ОЕ ⊥ АС. Также ВН ⊥ АС. Поэтому ОЕ ∥ ВН, и ∠НВЕ = ∠ВЕО (накрест лежащие при параллельных ВН, ЕО и секущей ВЕ). Треугольник ОВЕ равнобедренный (ОВ = ОЕ = R), поэтому ∠ОВЕ = ∠ОЕВ. Итак, ∠НВЕ = ∠ВЕО = ∠ОВЕ, то есть луч ВЕ — биссектриса угла ОВН.
912. Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.
Пусть X лежит на дуге ВС, не содержащей А (для других дуг рассуждение такое же; если X совпадает с вершиной, утверждение очевидно). Докажем, что ХА = ХВ + ХС.
Отложим на отрезке ХА отрезок XD = ХВ. Вписанный угол ВХА опирается на дугу АВ, поэтому ∠ВХА = ∠ВСА = 60°. Треугольник ХВD равнобедренный с углом 60° при вершине, значит, равносторонний: ВD = ВХ, ∠ХВD = 60°.
Треугольники АВD и СВХ равны по двум сторонам и углу: АВ = СВ, ВD = ВХ, ∠АВD = ∠АВС − ∠DВС = 60° − ∠DВС = ∠DВХ − ∠DВС = ∠СВХ (∠DВХ = 60°). Отсюда АD = СХ. Тогда ХА = ХD + DА = ХВ + СХ.
Отложим на отрезке ХА отрезок XD = ХВ. Вписанный угол ВХА опирается на дугу АВ, поэтому ∠ВХА = ∠ВСА = 60°. Треугольник ХВD равнобедренный с углом 60° при вершине, значит, равносторонний: ВD = ВХ, ∠ХВD = 60°.
Треугольники АВD и СВХ равны по двум сторонам и углу: АВ = СВ, ВD = ВХ, ∠АВD = ∠АВС − ∠DВС = 60° − ∠DВС = ∠DВХ − ∠DВС = ∠СВХ (∠DВХ = 60°). Отсюда АD = СХ. Тогда ХА = ХD + DА = ХВ + СХ.
913. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Пусть ABCD вписан в окружность, диагонали АС и ВD перпендикулярны и пересекаются в Р, ВВ1 — диаметр, d = ВВ1. Докажем, что АВ1 = СD. Угол АВВ1 = 90° − ∠АВ1В (треугольник АВВ1 прямоугольный, ∠А = 90°) = 90° − ∠АСВ (вписанные углы АВ1В и АСВ опираются на дугу АВ). Из прямоугольного треугольника АРD (∠Р = 90°): ∠САD = 90° − ∠АDР = 90° − ∠АDВ = 90° − ∠АСВ (вписанные углы АDВ и АСВ опираются на дугу АВ). Итак, ∠АВВ1 = ∠САD. Хорды АВ1 и СD стягивают равные вписанные углы одной окружности: АВ1 = 2R sin ∠АВВ1 = 2R sin ∠САD = СD.
Тогда из прямоугольного треугольника АВВ1: АВ² + СD² = АВ² + АВ1² = ВВ1² = d². Что и требовалось доказать.
(Точка А не совпадает с В1: иначе угол АСВ был бы прямым, и прямая ВD совпала бы с ВС.)
Тогда из прямоугольного треугольника АВВ1: АВ² + СD² = АВ² + АВ1² = ВВ1² = d². Что и требовалось доказать.
(Точка А не совпадает с В1: иначе угол АСВ был бы прямым, и прямая ВD совпала бы с ВС.)