Задачи повышенной трудности. Задачи к главе VIII (окончание), задачи к главе IX — с. 221
895. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС внешним образом построены квадраты ACFK и BCDE, СН — высота треугольника АВС. Докажите, что прямые СН, ВK и АЕ пересекаются в одной точке.
Введём координаты: С(0; 0), А(b; 0), В(0; a). Квадрат ACFK, построенный на АС вне треугольника (в полуплоскости y < 0): F(0; −b), K(b; −b). Квадрат BCDE вне треугольника (x < 0): D(−a; 0), E(−a; a).
Прямая СН ⊥ АВ: вектор АВ = (−b; a), поэтому СН имеет направление (a; b): точки t(a; b).
Прямая ВK: В + s(K − B) = (sb; a − s(a + b)). Пересечение с СН: sb = ta, a − s(a + b) = tb. Тогда s = ta/b и a = t(b + a(a + b)/b) = t(a² + ab + b²)/b, откуда t = ab/(a² + ab + b²).
Прямая АЕ: А + u(E − A) = (b − u(a + b); ua). Пересечение с СН: ua = t′b, t′ = ua/b, и b − u(a + b) = t′a = ua²/b, откуда b = u(a² + ab + b²)/b, u = b²/(a² + ab + b²), t′ = ab/(a² + ab + b²) = t.
Значит, обе прямые ВK и АЕ пересекают СН в одной и той же точке (t = t′), то есть СН, ВK и АЕ пересекаются в одной точке.
Прямая СН ⊥ АВ: вектор АВ = (−b; a), поэтому СН имеет направление (a; b): точки t(a; b).
Прямая ВK: В + s(K − B) = (sb; a − s(a + b)). Пересечение с СН: sb = ta, a − s(a + b) = tb. Тогда s = ta/b и a = t(b + a(a + b)/b) = t(a² + ab + b²)/b, откуда t = ab/(a² + ab + b²).
Прямая АЕ: А + u(E − A) = (b − u(a + b); ua). Пересечение с СН: ua = t′b, t′ = ua/b, и b − u(a + b) = t′a = ua²/b, откуда b = u(a² + ab + b²)/b, u = b²/(a² + ab + b²), t′ = ab/(a² + ab + b²) = t.
Значит, обе прямые ВK и АЕ пересекают СН в одной и той же точке (t = t′), то есть СН, ВK и АЕ пересекаются в одной точке.
896. Точки С1, А1 и В1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, причём отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A (теорема Ван-Обеля).
Применим теорему Менелая (задача 890) к треугольнику АСС1 и прямой ВВ1 (она пересекает АС в В1, СС1 в О, продолжение АС1 в В): АВ1/В1С · СО/ОС1 · С1В/ВА = 1, откуда СО/ОС1 = (СВ1/В1А) · (АВ/С1В).
Но АВ/С1В = (АС1 + С1В)/С1В = 1 + АС1/С1В, а по теореме Чевы (задача 893) АС1/С1В = (А1С/ВА1) · (В1А/СВ1). Тогда СО/ОС1 = (СВ1/В1А)(1 + (А1С/ВА1)(В1А/СВ1)) = СВ1/В1А + А1С/ВА1 = СВ1/В1А + СА1/А1В. Что и требовалось доказать.
Но АВ/С1В = (АС1 + С1В)/С1В = 1 + АС1/С1В, а по теореме Чевы (задача 893) АС1/С1В = (А1С/ВА1) · (В1А/СВ1). Тогда СО/ОС1 = (СВ1/В1А)(1 + (А1С/ВА1)(В1А/СВ1)) = СВ1/В1А + А1С/ВА1 = СВ1/В1А + СА1/А1В. Что и требовалось доказать.
897. Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Пусть АА1, ВВ1, СС1 — биссектрисы, I — их точка пересечения, a, b, c — стороны. По свойству биссектрисы АВ1/В1С = АВ/ВС = c/a и АС1/С1В = АС/ВС = b/a. По теореме Ван-Обеля (задача 896), применённой к вершине А: АI/IА1 = АВ1/В1С + АС1/С1В = c/a + b/a = (b + c)/a. Это и требовалось доказать (для остальных биссектрис — аналогично).
898. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).
Пусть вписанная окружность касается сторон ВС, СА, АВ в точках А1, В1, С1. Отрезки касательных из одной точки равны: АС1 = АВ1 = x, ВС1 = ВА1 = y, СА1 = СВ1 = z. Тогда АС1/С1В · ВА1/А1С · СВ1/В1А = (x/y)(y/z)(z/x) = 1. Точки лежат на сторонах, поэтому по теореме, обратной теореме Чевы (задача 894), прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.
899. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Пусть a, b, c — стороны, p — полупериметр. Вневписанная окружность, лежащая против вершины А, касается стороны ВС в точке А1, а продолжений АВ и АС в точках P и Q. Отрезки касательных из А равны: АР = АQ, а так как ВА1 = ВР, СА1 = СQ, периметр треугольника равен АВ + ВС + СА = (АР − ВР) + (ВА1 + А1С) + (АQ − СQ) = 2АР, то есть АР = p. Тогда ВА1 = ВР = АР − АВ = p − c, СА1 = p − b. Аналогично для вневписанной окружности против В: СВ1 = p − a, АВ1 = p − c; против С: АС1 = p − b, ВС1 = p − a.
Произведение: АС1/С1В · ВА1/А1С · СВ1/В1А = (p − b)/(p − a) · (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) = 1. Точки А1, В1, С1 лежат на сторонах (p − a, p − b, p − c > 0), поэтому по задаче 894 прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.
Произведение: АС1/С1В · ВА1/А1С · СВ1/В1А = (p − b)/(p − a) · (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) = 1. Точки А1, В1, С1 лежат на сторонах (p − a, p − b, p − c > 0), поэтому по задаче 894 прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.
900. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках В и В1. Докажите, что АА1 ∥ ВВ1.
Окружности имеют единственную общую точку, значит, они касаются в точке М (внешним или внутренним образом), и их центры О1 и О2 лежат на одной прямой с М. Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом k = ±R2/R1 (знак плюс при внутреннем касании, минус при внешнем; R1, R2 — радиусы). Она переводит центр О1 в О2 (центры и М лежат на одной прямой, MO2/MO1 = R2/R1) и радиус первой окружности в радиус второй, поэтому переводит первую окружность во вторую. Каждая прямая, проходящая через М, переходит в себя, а вторая точка пересечения прямой с первой окружностью — во вторую точку пересечения этой же прямой со второй окружностью. Значит, А → В, А1 → В1. Гомотетия переводит отрезок АА1 в отрезок ВВ1, а образ отрезка параллелен ему: АА1 ∥ ВВ1.
901. Прямая АС — касательная к окружности с центром O1, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 276). Докажите, что: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC. [рисунок 276: две пересекающиеся окружности с общими точками А и В; D и А, В лежат на окружности с центром O1, а А, В и С — на окружности с центром О2; проведены отрезки AD, AB, BC, BD, AC]
По рисунку: D, А, В лежат на первой окружности, А, В, С — на второй; АС касается первой окружности в А, ВD касается второй окружности в В.
Угол между касательной АС и хордой АВ первой окружности равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу АВ: ∠САВ = ∠АDВ. Угол между касательной ВD и хордой ВА второй окружности равен вписанному углу АСВ: ∠DВА = ∠АСВ.
В треугольниках DАВ и АВС (соответствие вершин D ↔ А, А ↔ В, В ↔ С): ∠АDВ = ∠САВ и ∠DВА = ∠АСВ, значит, △DАВ ∼ △АВС по двум углам, и третьи углы равны: ∠DАВ = ∠АВС.
а) ∠DАВ = ∠АВС — накрест лежащие углы при прямых АD и ВС и секущей АВ (D и С лежат по разные стороны от АВ), поэтому АD ∥ ВС.
б) Из подобия △DАВ ∼ △АВС: DА/АВ = АВ/ВС = DВ/АС. Поэтому АВ² = АD · ВС.
в) Из того же подобия DВ/АС = АВ/ВС = DА/АВ, тогда (DВ/АС)² = (АВ/ВС)(DА/АВ) = DА/ВС, то есть ВD² : АС² = АD : ВС.
Угол между касательной АС и хордой АВ первой окружности равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу АВ: ∠САВ = ∠АDВ. Угол между касательной ВD и хордой ВА второй окружности равен вписанному углу АСВ: ∠DВА = ∠АСВ.
В треугольниках DАВ и АВС (соответствие вершин D ↔ А, А ↔ В, В ↔ С): ∠АDВ = ∠САВ и ∠DВА = ∠АСВ, значит, △DАВ ∼ △АВС по двум углам, и третьи углы равны: ∠DАВ = ∠АВС.
а) ∠DАВ = ∠АВС — накрест лежащие углы при прямых АD и ВС и секущей АВ (D и С лежат по разные стороны от АВ), поэтому АD ∥ ВС.
б) Из подобия △DАВ ∼ △АВС: DА/АВ = АВ/ВС = DВ/АС. Поэтому АВ² = АD · ВС.
в) Из того же подобия DВ/АС = АВ/ВС = DА/АВ, тогда (DВ/АС)² = (АВ/ВС)(DА/АВ) = DА/ВС, то есть ВD² : АС² = АD : ВС.
902. Точки B1 и C1 — середины дуг AB и АС (рис. 277). Докажите, что AM = AN. [рисунок 277: окружность с центром О, хорды АВ и АС из точки А, точки В1 на дуге АВ и С1 на дуге АС, хорда В1С1 пересекает АВ в точке М, АС в точке N]
Обозначим ⌣АВ1 = ⌣В1В = α (В1 — середина дуги АВ), ⌣АС1 = ⌣С1С = γ (С1 — середина дуги АС). Точки на окружности идут в порядке А, В1, В, С, С1.
Угол АМN = ∠АМС1 — угол между хордами АВ и В1С1, поэтому он измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: это дуга АС1 (γ) и дуга ВВ1 (α): ∠АМN = ½(α + γ).
Угол АNМ = ∠АNВ1 — угол между хордами АС и В1С1, его стороны высекают дуги АВ1 (α) и СС1 (γ): ∠АNМ = ½(α + γ).
Углы при основании МN треугольника АМN равны, значит, треугольник равнобедренный: АМ = АN. Что и требовалось доказать.
Угол АМN = ∠АМС1 — угол между хордами АВ и В1С1, поэтому он измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: это дуга АС1 (γ) и дуга ВВ1 (α): ∠АМN = ½(α + γ).
Угол АNМ = ∠АNВ1 — угол между хордами АС и В1С1, его стороны высекают дуги АВ1 (α) и СС1 (γ): ∠АNМ = ½(α + γ).
Углы при основании МN треугольника АМN равны, значит, треугольник равнобедренный: АМ = АN. Что и требовалось доказать.