Глава X. Векторы. §1. Понятие вектора — с. 229
930. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны?
Все пары векторов u и v выбираем длиной 2,5 см (на чертеже 100 px).
а) Откладываем u горизонтально, а v под углом, например, 45° к нему (прямые не параллельны), длина v тоже 2,5 см. Векторы неколлинеарны.
б) Откладываем u и v на параллельных прямых в одну сторону, длина каждого 2,5 см.
в) Откладываем u и v на параллельных прямых в противоположные стороны, длина каждого 2,5 см.
Равными векторы называются, если они сонаправлены и имеют равные длины. Это выполняется только в случае б). В случае а) векторы не сонаправлены, в случае в) направления противоположны.
а) Откладываем u горизонтально, а v под углом, например, 45° к нему (прямые не параллельны), длина v тоже 2,5 см. Векторы неколлинеарны.
б) Откладываем u и v на параллельных прямых в одну сторону, длина каждого 2,5 см.
в) Откладываем u и v на параллельных прямых в противоположные стороны, длина каждого 2,5 см.
Равными векторы называются, если они сонаправлены и имеют равные длины. Это выполняется только в случае б). В случае а) векторы не сонаправлены, в случае в) направления противоположны.
931. Начертите ненулевой вектор a и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, равные a.
Чертим вектор a. Отмечаем три произвольные точки A, B, C.
Чтобы отложить от точки A вектор, равный a: проводим через A прямую, параллельную вектору a (если A лежит на прямой вектора a, берём эту прямую). На ней от A откладываем отрезок AA1, равный длине вектора a (циркулем), в ту же сторону, куда направлен a. Получаем AA1⃗ = a (сонаправлен с a и имеет ту же длину).
Точно так же получаем BB1⃗ = a и CC1⃗ = a. Все три красных вектора параллельны друг другу и имеют одинаковые длины и направление.
Чтобы отложить от точки A вектор, равный a: проводим через A прямую, параллельную вектору a (если A лежит на прямой вектора a, берём эту прямую). На ней от A откладываем отрезок AA1, равный длине вектора a (циркулем), в ту же сторону, куда направлен a. Получаем AA1⃗ = a (сонаправлен с a и имеет ту же длину).
Точно так же получаем BB1⃗ = a и CC1⃗ = a. Все три красных вектора параллельны друг другу и имеют одинаковые длины и направление.
932. Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?
Векторная величина характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве.
Скорость и сила имеют направление, значит, это векторные величины.
Масса, время, температура, длина, площадь и работа определяются только числовым значением (направления не имеют), поэтому они не векторные.
Ответ: скорость и сила.
Скорость и сила имеют направление, значит, это векторные величины.
Масса, время, температура, длина, площадь и работа определяются только числовым значением (направления не имеют), поэтому они не векторные.
Ответ: скорость и сила.
933. В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см, точка M — середина стороны AB. Найдите длины векторов AB⃗, BC⃗, DC⃗, MC⃗, MA⃗, CB⃗, AC⃗.
Длина вектора равна длине отрезка с теми же концами.
|AB⃗| = AB = 3 см. |BC⃗| = BC = 4 см.
|DC⃗| = DC = AB = 3 см (противоположные стороны прямоугольника равны).
|MC⃗|: MB = AB / 2 = 1,5 см, из прямоугольного треугольника MBC MC² = 1,5² + 4² = 2,25 + 16 = 18,25, MC = √18,25 = √73 / 2 ≈ 4,27 см.
|MA⃗| = MA = 1,5 см. |CB⃗| = CB = 4 см.
|AC⃗| = AC = √(3² + 4²) = 5 см (диагональ, по теореме Пифагора).
Ответ: 3 см; 4 см; 3 см; √18,25 см; 1,5 см; 4 см; 5 см.
|AB⃗| = AB = 3 см. |BC⃗| = BC = 4 см.
|DC⃗| = DC = AB = 3 см (противоположные стороны прямоугольника равны).
|MC⃗|: MB = AB / 2 = 1,5 см, из прямоугольного треугольника MBC MC² = 1,5² + 4² = 2,25 + 16 = 18,25, MC = √18,25 = √73 / 2 ≈ 4,27 см.
|MA⃗| = MA = 1,5 см. |CB⃗| = CB = 4 см.
|AC⃗| = AC = √(3² + 4²) = 5 см (диагональ, по теореме Пифагора).
Ответ: 3 см; 4 см; 3 см; √18,25 см; 1,5 см; 4 см; 5 см.
934. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов BD⃗, CD⃗ и AC⃗.
Угол A прямой, значит, AB ⊥ AD. Пусть CH ⊥ AD (H лежит на AD). Тогда ABCH прямоугольник: CH = AB = 5 см, AH = BC.
BD: в прямоугольном треугольнике ABD BD² = AB² + AD² = 25 + 144 = 169, BD = 13 см.
CD: в прямоугольном треугольнике CHD угол D равен 45°, значит, он равнобедренный: HD = CH = 5 см, CD = CH·√2 = 5√2 см.
AC: AH = AD − HD = 12 − 5 = 7 см, AC² = AH² + CH² = 49 + 25 = 74, AC = √74 см.
Ответ: |BD⃗| = 13 см, |CD⃗| = 5√2 см, |AC⃗| = √74 см.
BD: в прямоугольном треугольнике ABD BD² = AB² + AD² = 25 + 144 = 169, BD = 13 см.
CD: в прямоугольном треугольнике CHD угол D равен 45°, значит, он равнобедренный: HD = CH = 5 см, CD = CH·√2 = 5√2 см.
AC: AH = AD − HD = 12 − 5 = 7 см, AC² = AH² + CH² = 49 + 25 = 74, AC = √74 см.
Ответ: |BD⃗| = 13 см, |CD⃗| = 5√2 см, |AC⃗| = √74 см.
935. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и BC; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.
Каждая сторона даёт два вектора (в обе стороны). Коллинеарными будут векторы, лежащие на параллельных сторонах (и на одной стороне).
а) Параллелограмм MNPQ: MN ∥ QP и NP ∥ MQ. Первая группа: MN⃗, NM⃗, QP⃗, PQ⃗. Сонаправленные пары: MN⃗ ↑↑ QP⃗ и NM⃗ ↑↑ PQ⃗. Противоположно направленные: MN⃗ ↑↓ NM⃗, QP⃗ ↑↓ PQ⃗, MN⃗ ↑↓ PQ⃗, NM⃗ ↑↓ QP⃗.
Вторая группа: NP⃗, PN⃗, MQ⃗, QM⃗. Сонаправленные: NP⃗ ↑↑ MQ⃗ и PN⃗ ↑↑ QM⃗. Противоположно направленные: NP⃗ ↑↓ PN⃗, MQ⃗ ↑↓ QM⃗, NP⃗ ↑↓ QM⃗, PN⃗ ↑↓ MQ⃗.
б) Трапеция ABCD, AD ∥ BC (боковые стороны AB и CD не параллельны). Коллинеарные векторы: AD⃗, DA⃗, BC⃗, CB⃗. Сонаправленные: AD⃗ ↑↑ BC⃗, DA⃗ ↑↑ CB⃗. Противоположно направленные: AD⃗ ↑↓ DA⃗, BC⃗ ↑↓ CB⃗, AD⃗ ↑↓ CB⃗, DA⃗ ↑↓ BC⃗.
в) Треугольник FGH: стороны попарно не параллельны, поэтому коллинеарны только векторы, лежащие на одной стороне: FG⃗ и GF⃗, GH⃗ и HG⃗, FH⃗ и HF⃗. Все эти три пары противоположно направленные; сонаправленных пар нет.
а) Параллелограмм MNPQ: MN ∥ QP и NP ∥ MQ. Первая группа: MN⃗, NM⃗, QP⃗, PQ⃗. Сонаправленные пары: MN⃗ ↑↑ QP⃗ и NM⃗ ↑↑ PQ⃗. Противоположно направленные: MN⃗ ↑↓ NM⃗, QP⃗ ↑↓ PQ⃗, MN⃗ ↑↓ PQ⃗, NM⃗ ↑↓ QP⃗.
Вторая группа: NP⃗, PN⃗, MQ⃗, QM⃗. Сонаправленные: NP⃗ ↑↑ MQ⃗ и PN⃗ ↑↑ QM⃗. Противоположно направленные: NP⃗ ↑↓ PN⃗, MQ⃗ ↑↓ QM⃗, NP⃗ ↑↓ QM⃗, PN⃗ ↑↓ MQ⃗.
б) Трапеция ABCD, AD ∥ BC (боковые стороны AB и CD не параллельны). Коллинеарные векторы: AD⃗, DA⃗, BC⃗, CB⃗. Сонаправленные: AD⃗ ↑↑ BC⃗, DA⃗ ↑↑ CB⃗. Противоположно направленные: AD⃗ ↑↓ DA⃗, BC⃗ ↑↓ CB⃗, AD⃗ ↑↓ CB⃗, DA⃗ ↑↓ BC⃗.
в) Треугольник FGH: стороны попарно не параллельны, поэтому коллинеарны только векторы, лежащие на одной стороне: FG⃗ и GF⃗, GH⃗ и HG⃗, FH⃗ и HF⃗. Все эти три пары противоположно направленные; сонаправленных пар нет.
936. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы: а) AB⃗ и DC⃗; б) BC⃗ и DA⃗; в) AO⃗ и OC⃗; г) AC⃗ и BD⃗?
Ответ обоснуйте.
Векторы равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.
а) AB ∥ DC и AB = DC (противоположные стороны параллелограмма); при обходе A, B, C, D векторы AB⃗ и DC⃗ направлены одинаково. Значит, AB⃗ = DC⃗. Да.
б) Длины BC и DA равны, но векторы BC⃗ и DA⃗ направлены в противоположные стороны (DA⃗ = −BC⃗). Не равны. Нет.
в) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, и точки A, O, C лежат на одной прямой в таком порядке, поэтому AO⃗ и OC⃗ сонаправлены. Равны. Да.
г) Диагонали AC и BD лежат на разных пересекающихся прямых, векторы AC⃗ и BD⃗ не коллинеарны, значит, не сонаправлены. Не равны. Нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
а) AB ∥ DC и AB = DC (противоположные стороны параллелограмма); при обходе A, B, C, D векторы AB⃗ и DC⃗ направлены одинаково. Значит, AB⃗ = DC⃗. Да.
б) Длины BC и DA равны, но векторы BC⃗ и DA⃗ направлены в противоположные стороны (DA⃗ = −BC⃗). Не равны. Нет.
в) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, и точки A, O, C лежат на одной прямой в таком порядке, поэтому AO⃗ и OC⃗ сонаправлены. Равны. Да.
г) Диагонали AC и BD лежат на разных пересекающихся прямых, векторы AC⃗ и BD⃗ не коллинеарны, значит, не сонаправлены. Не равны. Нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
937. Точки S и T являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: а) NL⃗ и KL⃗; б) MS⃗ и SN⃗; в) MN⃗ и KL⃗; г) TS⃗ и KM⃗; д) TL⃗ и KT⃗?
В трапеции MNLK основаниями являются NL и MK, боковыми сторонами MN и LK.
а) NL⃗ лежит на основании NL, KL⃗ на боковой стороне; эти прямые пересекаются в точке L (не параллельны), векторы не коллинеарны. Не равны.
б) S середина MN, поэтому MS = SN и точки M, S, N лежат на одной прямой в таком порядке: MS⃗ и SN⃗ сонаправлены и имеют равные длины. Равны.
в) MN⃗ и KL⃗ лежат на боковых сторонах трапеции, а боковые стороны трапеции не параллельны. Векторы не коллинеарны, значит, не равны.
г) TS средняя линия трапеции, TS ∥ MK, и направления TS⃗ и KM⃗ одинаковы, но TS = (NL + MK) / 2, а NL < MK (или NL > MK), поэтому TS ≠ MK (основания трапеции не равны). Длины различны, векторы не равны.
д) T середина LK, поэтому точки K, T, L лежат на одной прямой, KT = TL, и TL⃗, KT⃗ направлены одинаково (от K к L). Равны.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
а) NL⃗ лежит на основании NL, KL⃗ на боковой стороне; эти прямые пересекаются в точке L (не параллельны), векторы не коллинеарны. Не равны.
б) S середина MN, поэтому MS = SN и точки M, S, N лежат на одной прямой в таком порядке: MS⃗ и SN⃗ сонаправлены и имеют равные длины. Равны.
в) MN⃗ и KL⃗ лежат на боковых сторонах трапеции, а боковые стороны трапеции не параллельны. Векторы не коллинеарны, значит, не равны.
г) TS средняя линия трапеции, TS ∥ MK, и направления TS⃗ и KM⃗ одинаковы, но TS = (NL + MK) / 2, а NL < MK (или NL > MK), поэтому TS ≠ MK (основания трапеции не равны). Длины различны, векторы не равны.
д) T середина LK, поэтому точки K, T, L лежат на одной прямой, KT = TL, и TL⃗, KT⃗ направлены одинаково (от K к L). Равны.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
938. Докажите, что если векторы AB⃗ и CD⃗ равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB⃗ = CD⃗.
Пусть M середина AD, N середина BC.
Прямое утверждение. Для любых точек по правилу треугольника MN⃗ = MA⃗ + AB⃗ + BN⃗ и MN⃗ = MD⃗ + DC⃗ + CN⃗. Сложим: 2MN⃗ = (MA⃗ + MD⃗) + (AB⃗ + DC⃗) + (BN⃗ + CN⃗). Так как M середина AD, MA⃗ + MD⃗ = 0; так как N середина BC, BN⃗ + CN⃗ = 0. Из AB⃗ = CD⃗ следует DC⃗ = −CD⃗ = −AB⃗, значит, AB⃗ + DC⃗ = 0. Итак, 2MN⃗ = 0, то есть MN⃗ нулевой, M = N. Середины совпадают.
Обратное утверждение. Пусть M общая середина AD и BC. Тогда MA⃗ = DM⃗ и MB⃗ = CM⃗. По правилу треугольника AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ = MD⃗ + CM⃗ = CM⃗ + MD⃗ = CD⃗ (здесь AM⃗ = MD⃗, так как M середина AD). Итак, AB⃗ = CD⃗.
Прямое утверждение. Для любых точек по правилу треугольника MN⃗ = MA⃗ + AB⃗ + BN⃗ и MN⃗ = MD⃗ + DC⃗ + CN⃗. Сложим: 2MN⃗ = (MA⃗ + MD⃗) + (AB⃗ + DC⃗) + (BN⃗ + CN⃗). Так как M середина AD, MA⃗ + MD⃗ = 0; так как N середина BC, BN⃗ + CN⃗ = 0. Из AB⃗ = CD⃗ следует DC⃗ = −CD⃗ = −AB⃗, значит, AB⃗ + DC⃗ = 0. Итак, 2MN⃗ = 0, то есть MN⃗ нулевой, M = N. Середины совпадают.
Обратное утверждение. Пусть M общая середина AD и BC. Тогда MA⃗ = DM⃗ и MB⃗ = CM⃗. По правилу треугольника AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ = MD⃗ + CM⃗ = CM⃗ + MD⃗ = CD⃗ (здесь AM⃗ = MD⃗, так как M середина AD). Итак, AB⃗ = CD⃗.
939. Определите вид четырёхугольника ABCD, если: а) AB⃗ = DC⃗ и |AB⃗| = |BC⃗|; б) AB⃗ ↑↑ DC⃗, а векторы AD⃗ и BC⃗ не коллинеарны.
а) Из AB⃗ = DC⃗ следует AB ∥ DC и AB = DC; четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. По условию в нём равны смежные стороны AB и BC. Параллелограмм с равными смежными сторонами ромб. ABCD ромб.
б) Из AB⃗ ↑↑ DC⃗ следует AB ∥ DC. Векторы AD⃗ и BC⃗ не коллинеарны, значит, стороны AD и BC не параллельны. Четырёхугольник с ровно одной парой параллельных сторон (AB и DC) трапеция с основаниями AB и DC.
Ответ: а) ромб; б) трапеция.
б) Из AB⃗ ↑↑ DC⃗ следует AB ∥ DC. Векторы AD⃗ и BC⃗ не коллинеарны, значит, стороны AD и BC не параллельны. Четырёхугольник с ровно одной парой параллельных сторон (AB и DC) трапеция с основаниями AB и DC.
Ответ: а) ромб; б) трапеция.
940. Верно ли утверждение: а) если a = b, то a ↑↑ b; б) если a = b, то a и b коллинеарны; в) если a = b, то a ↑↓ b; г) если a ↑↑ b, то a = b; д) если a = 0, то a ↑↑ b?
а) Верно: по определению равные векторы сонаправлены (для нулевых тоже: нулевой вектор считается сонаправленным с любым).
б) Верно: сонаправленные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, значит, коллинеарны.
в) Неверно: равные векторы сонаправлены, а не противоположно направлены (например, a = b ≠ 0).
г) Неверно: сонаправленные векторы могут иметь разные длины (например, a и 2a), а тогда они не равны.
д) Верно: нулевой вектор по соглашению сонаправлен с любым вектором.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
б) Верно: сонаправленные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, значит, коллинеарны.
в) Неверно: равные векторы сонаправлены, а не противоположно направлены (например, a = b ≠ 0).
г) Неверно: сонаправленные векторы могут иметь разные длины (например, a и 2a), а тогда они не равны.
д) Верно: нулевой вектор по соглашению сонаправлен с любым вектором.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да.