Глава XI. Дополнительные задачи — с. 270
1087. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (x − 1)² + (y + 2)² = 25; б) x² + (y + 7)² = 1; в) x² + y² + 8x − 4y + 40 = 0; г) x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0; д) x² + y² − 4x − 2y + 1 = 0.
Выделяем полные квадраты и приводим уравнение к виду (x − x0)² + (y − y0)² = r².
а) Уже в нужном виде: центр (1; −2), r = 5.
б) Центр (0; −7), r = 1.
в) (x + 4)² + (y − 2)² = 16 + 4 − 40 = −20. Правая часть отрицательна, уравнению не удовлетворяет ни одна точка, это не окружность.
г) (x − 1)² + (y + 2)² = 20 + 1 + 4 = 25. Центр (1; −2), r = 5.
д) (x − 2)² + (y − 1)² = −1 + 4 + 1 = 4. Центр (2; 1), r = 2.
Ответ: окружности а), б), г), д); в) окружностью не является.
а) Уже в нужном виде: центр (1; −2), r = 5.
б) Центр (0; −7), r = 1.
в) (x + 4)² + (y − 2)² = 16 + 4 − 40 = −20. Правая часть отрицательна, уравнению не удовлетворяет ни одна точка, это не окружность.
г) (x − 1)² + (y + 2)² = 20 + 1 + 4 = 25. Центр (1; −2), r = 5.
д) (x − 2)² + (y − 1)² = −1 + 4 + 1 = 4. Центр (2; 1), r = 2.
Ответ: окружности а), б), г), д); в) окружностью не является.
1088. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A (3; 0) и B (−1; 2), если центр её лежит на прямой y = x + 2.
Центр O1 (p; p + 2) (лежит на данной прямой) равноудалён от A и B: (p − 3)² + (p + 2)² = (p + 1)² + p². Раскрываем: 2p² − 2p + 13 = 2p² + 2p + 1, откуда 4p = 12, p = 3. Центр (3; 5). Радиус: r² = (3 − 3)² + (5 − 0)² = 25 (для B: 16 + 9 = 25, верно).
Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
1089. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) A (1; −4), B (4; 5), C (3; −2); б) A (3; −7), B (8; −2), C (6; 2).
Центр (x; y) равноудалён от всех трёх точек.
а) OA² = OB²: (x − 1)² + (y + 4)² = (x − 4)² + (y − 5)², откуда 6x + 18y = 24, x + 3y = 4. OA² = OC²: (x − 1)² + (y + 4)² = (x − 3)² + (y + 2)², откуда 4x + 4y = −4, x + y = −1. Вычитая, 2y = 5, y = 5/2, x = −7/2. r² = (−7/2 − 1)² + (5/2 + 4)² = 81/4 + 169/4 = 250/4 = 125/2.
Уравнение: (x + 7/2)² + (y − 5/2)² = 125/2.
б) OA² = OB²: (x − 3)² + (y + 7)² = (x − 8)² + (y + 2)², откуда 10x + 10y = 10, x + y = 1. OB² = OC²: (x − 8)² + (y + 2)² = (x − 6)² + (y − 2)², откуда −4x + 8y = −28, x − 2y = 7. Вычитая из x + y = 1 второе, 3y = −6, y = −2, x = 3. r² = (3 − 3)² + (−2 + 7)² = 25.
Уравнение: (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
а) OA² = OB²: (x − 1)² + (y + 4)² = (x − 4)² + (y − 5)², откуда 6x + 18y = 24, x + 3y = 4. OA² = OC²: (x − 1)² + (y + 4)² = (x − 3)² + (y + 2)², откуда 4x + 4y = −4, x + y = −1. Вычитая, 2y = 5, y = 5/2, x = −7/2. r² = (−7/2 − 1)² + (5/2 + 4)² = 81/4 + 169/4 = 250/4 = 125/2.
Уравнение: (x + 7/2)² + (y − 5/2)² = 125/2.
б) OA² = OB²: (x − 3)² + (y + 7)² = (x − 8)² + (y + 2)², откуда 10x + 10y = 10, x + y = 1. OB² = OC²: (x − 8)² + (y + 2)² = (x − 6)² + (y − 2)², откуда −4x + 8y = −28, x − 2y = 7. Вычитая из x + y = 1 второе, 3y = −6, y = −2, x = 3. r² = (3 − 3)² + (−2 + 7)² = 25.
Уравнение: (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
1090. Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−7; 5), B (3; −1), C (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых AB, BC и CA; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
а) Серединный перпендикуляр к отрезку — множество точек M, равноудалённых от его концов.
К AB: (x + 7)² + (y − 5)² = (x − 3)² + (y + 1)², 14x − 10y + 74 = −6x + 2y + 10, 20x − 12y + 64 = 0, 5x − 3y + 16 = 0.
К BC: (x − 3)² + (y + 1)² = (x − 5)² + (y − 3)², −6x + 2y + 10 = −10x − 6y + 34, 4x + 8y − 24 = 0, x + 2y − 6 = 0.
К CA: (x − 5)² + (y − 3)² = (x + 7)² + (y − 5)², −10x − 6y + 34 = 14x − 10y + 74, −24x + 4y − 40 = 0, 6x − y + 10 = 0.
б) AB: через A (−7; 5), B (3; −1): наклон (−1 − 5)/(3 + 7) = −3/5, y + 1 = −3/5·(x − 3), 3x + 5y − 4 = 0. BC: через B (3; −1), C (5; 3): наклон 2, y + 1 = 2(x − 3), 2x − y − 7 = 0. CA: через C (5; 3), A (−7; 5): наклон −1/6, y − 3 = −(x − 5)/6, x + 6y − 23 = 0.
в) Середины сторон: AB (−2; 2), BC (4; 1), CA (−1; 4). Средняя линия, параллельная AB, соединяет (4; 1) и (−1; 4): наклон −3/5, 3x + 5y − 17 = 0. Параллельная BC соединяет (−2; 2) и (−1; 4): наклон 2, 2x − y + 6 = 0. Параллельная CA соединяет (−2; 2) и (4; 1): наклон −1/6, x + 6y − 10 = 0.
Ответ: а) 5x − 3y + 16 = 0, x + 2y − 6 = 0, 6x − y + 10 = 0; б) 3x + 5y − 4 = 0, 2x − y − 7 = 0, x + 6y − 23 = 0; в) 3x + 5y − 17 = 0, 2x − y + 6 = 0, x + 6y − 10 = 0.
К AB: (x + 7)² + (y − 5)² = (x − 3)² + (y + 1)², 14x − 10y + 74 = −6x + 2y + 10, 20x − 12y + 64 = 0, 5x − 3y + 16 = 0.
К BC: (x − 3)² + (y + 1)² = (x − 5)² + (y − 3)², −6x + 2y + 10 = −10x − 6y + 34, 4x + 8y − 24 = 0, x + 2y − 6 = 0.
К CA: (x − 5)² + (y − 3)² = (x + 7)² + (y − 5)², −10x − 6y + 34 = 14x − 10y + 74, −24x + 4y − 40 = 0, 6x − y + 10 = 0.
б) AB: через A (−7; 5), B (3; −1): наклон (−1 − 5)/(3 + 7) = −3/5, y + 1 = −3/5·(x − 3), 3x + 5y − 4 = 0. BC: через B (3; −1), C (5; 3): наклон 2, y + 1 = 2(x − 3), 2x − y − 7 = 0. CA: через C (5; 3), A (−7; 5): наклон −1/6, y − 3 = −(x − 5)/6, x + 6y − 23 = 0.
в) Середины сторон: AB (−2; 2), BC (4; 1), CA (−1; 4). Средняя линия, параллельная AB, соединяет (4; 1) и (−1; 4): наклон −3/5, 3x + 5y − 17 = 0. Параллельная BC соединяет (−2; 2) и (−1; 4): наклон 2, 2x − y + 6 = 0. Параллельная CA соединяет (−2; 2) и (4; 1): наклон −1/6, x + 6y − 10 = 0.
Ответ: а) 5x − 3y + 16 = 0, x + 2y − 6 = 0, 6x − y + 10 = 0; б) 3x + 5y − 4 = 0, 2x − y − 7 = 0, x + 6y − 23 = 0; в) 3x + 5y − 17 = 0, 2x − y + 6 = 0, x + 6y − 10 = 0.
1091. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3x − 1,5y + 1 = 0 и 2x − y − 3 = 0, параллельны.
Выразим y. Первая прямая: 1,5y = 3x + 1, y = 2x + 2/3. Вторая: y = 2x − 3. Угловые коэффициенты равны (оба равны 2), а свободные члены 2/3 и −3 различны, поэтому прямые не совпадают. Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами параллельны. Что и требовалось доказать.
1092. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, если: а) A (−2; 0), B (3; 2 1/2), C (6; 4); б) A (3; 10), B (3; 12), C (3; −6); в) A (1; 2), B (2; 5), C (−10; −31).
Точки лежат на одной прямой, если векторы AB и AC коллинеарны (имеют общее начало A).
а) AB {5; 5/2}, AC {8; 4}. AC = 8/5·AB (5·8/5 = 8, 5/2·8/5 = 4). Векторы коллинеарны.
б) У всех трёх точек абсцисса 3, поэтому они лежат на прямой x = 3.
в) AB {1; 3}, AC {−11; −33} = −11·AB. Векторы коллинеарны.
Во всех случаях точки A, B, C лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
а) AB {5; 5/2}, AC {8; 4}. AC = 8/5·AB (5·8/5 = 8, 5/2·8/5 = 4). Векторы коллинеарны.
б) У всех трёх точек абсцисса 3, поэтому они лежат на прямой x = 3.
в) AB {1; 3}, AC {−11; −33} = −11·AB. Векторы коллинеарны.
Во всех случаях точки A, B, C лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
1093. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
Пусть AB = 28 — большая сторона, лежит на оси Ox: A (0; 0), B (28; 0). Вершина C (x; 15), и по условию одна из других сторон равна 17. Пусть AC = 17 (случай BC = 17 симметричен). Тогда x² + 225 = 289, x = ±8. Получаем два возможных треугольника.
Случай 1: C (8; 15). Тогда BC = √(400 + 225) = 25. Медианы: к AB — из C в (14; 0): √(36 + 225) = √261; к AC — из B в середину AC (4; 7,5): √(576 + 56,25) = √632,25 = √2529/2; к BC — из A в середину BC (18; 7,5): √(324 + 56,25) = √380,25 = 19,5.
Случай 2: C (−8; 15. (основание высоты вне стороны AB). Тогда BC = √(36² + 225) = 39. Медианы: к AB — из C в (14; 0): √(484 + 225) = √709; к AC — из B в середину AC (−4; 7,5): √(1024 + 56,25) = √1080,25 = √4321/2; к BC — из A в середину BC (10; 7,5): √(100 + 56,25) = 12,5.
Ответ: если высота падает на сторону: 19,5 см, √261 см, √2529/2 см; если на продолжение стороны: 12,5 см, √709 см, √4321/2 см.
Случай 1: C (8; 15). Тогда BC = √(400 + 225) = 25. Медианы: к AB — из C в (14; 0): √(36 + 225) = √261; к AC — из B в середину AC (4; 7,5): √(576 + 56,25) = √632,25 = √2529/2; к BC — из A в середину BC (18; 7,5): √(324 + 56,25) = √380,25 = 19,5.
Случай 2: C (−8; 15. (основание высоты вне стороны AB). Тогда BC = √(36² + 225) = 39. Медианы: к AB — из C в (14; 0): √(484 + 225) = √709; к AC — из B в середину AC (−4; 7,5): √(1024 + 56,25) = √1080,25 = √4321/2; к BC — из A в середину BC (10; 7,5): √(100 + 56,25) = 12,5.
Ответ: если высота падает на сторону: 19,5 см, √261 см, √2529/2 см; если на продолжение стороны: 12,5 см, √709 см, √4321/2 см.
1094. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Введём систему координат: A (0; 0), D (d; 0), B (p; h), C (q; h), где AD и BC — основания, d > 0, q − p > 0, BC = q − p, AD = d.
Середина диагонали AC: K (q/2; h/2); середина диагонали BD: L ((p + d)/2; h/2). Отрезок KL горизонтален (ординаты равны), и KL = |(p + d)/2 − q/2| = |d − (q − p)|/2 = |AD − BC|/2.
Это полуразность оснований. Что и требовалось доказать.
Середина диагонали AC: K (q/2; h/2); середина диагонали BD: L ((p + d)/2; h/2). Отрезок KL горизонтален (ординаты равны), и KL = |(p + d)/2 − q/2| = |d − (q − p)|/2 = |AD − BC|/2.
Это полуразность оснований. Что и требовалось доказать.
1095. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина (AM² + CM²) − (BM² + DM²) имеет одно и то же значение.
Введём систему координат: A (0; 0), D (a; 0), B (b; c), C (a + b; c) и пусть M (x; y).
AM² + CM² = x² + y² + (x − a − b)² + (y − c)².
BM² + DM² = (x − b)² + (y − c)² + (x − a)² + y².
В разности y-члены и c-члены сокращаются: остаётся x² + (x − a − b)² − (x − b)² − (x − a)². Раскрывая: x² + x² − 2(a + b)x + (a + b)² − x² + 2bx − b² − x² + 2ax − a² = (a + b)² − b² − a² = 2ab.
Итак, значение 2ab не зависит от x и y, то есть одно и то же для всех M. Что и требовалось доказать.
AM² + CM² = x² + y² + (x − a − b)² + (y − c)².
BM² + DM² = (x − b)² + (y − c)² + (x − a)² + y².
В разности y-члены и c-члены сокращаются: остаётся x² + (x − a − b)² − (x − b)² − (x − a)². Раскрывая: x² + x² − 2(a + b)x + (a + b)² − x² + 2bx − b² − x² + 2ax − a² = (a + b)² − b² − a² = 2ab.
Итак, значение 2ab не зависит от x и y, то есть одно и то же для всех M. Что и требовалось доказать.
1096. Докажите, что медиану AA1 треугольника ABC можно вычислить по формуле AA1 = 1/2·√(2AC² + 2AB² − BC²). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Введём систему координат: B (−m; 0), C (m; 0), так что BC = 2m и A1 (0; 0) — середина BC; A (p; q). Тогда AA1² = p² + q², AB² = (p + m)² + q², AC² = (p − m)² + q².
2AC² + 2AB² − BC² = 2[(p − m)² + (p + m)² + 2q²] − 4m² = 2[2p² + 2m² + 2q²] − 4m² = 4p² + 4q².
Поэтому 1/2·√(2AC² + 2AB² − BC²) = 1/2·√(4(p² + q²)) = √(p² + q²) = AA1. Формула доказана.
Пусть обозначены a = BC, b = CA, c = AB, а медианы m_a, m_b. Тогда m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4 и m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4. Если m_a = m_b, то 2b² + 2c² − a² = 2a² + 2c² − b², то есть 3b² = 3a², a = b. Значит, BC = CA, и треугольник равнобедренный (аналогично для любой другой пары равных медиан). Что и требовалось доказать.
2AC² + 2AB² − BC² = 2[(p − m)² + (p + m)² + 2q²] − 4m² = 2[2p² + 2m² + 2q²] − 4m² = 4p² + 4q².
Поэтому 1/2·√(2AC² + 2AB² − BC²) = 1/2·√(4(p² + q²)) = √(p² + q²) = AA1. Формула доказана.
Пусть обозначены a = BC, b = CA, c = AB, а медианы m_a, m_b. Тогда m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4 и m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4. Если m_a = m_b, то 2b² + 2c² − a² = 2a² + 2c² − b², то есть 3b² = 3a², a = b. Значит, BC = CA, и треугольник равнобедренный (аналогично для любой другой пары равных медиан). Что и требовалось доказать.
1097. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) 2AM² − BM² = 2AB²; б) AM² + 2BM² = 6AB².
Введём систему координат: A (0; 0), B (a; 0), a = AB, M (x; y). Тогда AM² = x² + y², BM² = (x − a)² + y².
а) 2x² + 2y² − (x − a)² − y² = 2a², откуда x² + y² + 2ax − a² = 2a², x² + 2ax + y² = 3a², (x + a)² + y² = 4a². Это окружность радиуса 2a = 2AB с центром (−a; 0) — в точке B', симметричной B относительно A.
б) x² + y² + 2(x − a)² + 2y² = 6a², откуда 3x² − 4ax + 3y² + 2a² = 6a², x² − (4/3)ax + y² = (4/3)a², (x − 2a/3)² + y² = 16a²/9. Это окружность с центром C на отрезке AB (AC = 2/3·AB) и радиусом 4/3·AB.
Ответ: а) окружность радиуса 2AB с центром в точке B', симметричной B относительно A; б) окружность радиуса 4/3·AB с центром в точке C отрезка AB, для которой AC = 2/3·AB.
а) 2x² + 2y² − (x − a)² − y² = 2a², откуда x² + y² + 2ax − a² = 2a², x² + 2ax + y² = 3a², (x + a)² + y² = 4a². Это окружность радиуса 2a = 2AB с центром (−a; 0) — в точке B', симметричной B относительно A.
б) x² + y² + 2(x − a)² + 2y² = 6a², откуда 3x² − 4ax + 3y² + 2a² = 6a², x² − (4/3)ax + y² = (4/3)a², (x − 2a/3)² + y² = 16a²/9. Это окружность с центром C на отрезке AB (AC = 2/3·AB) и радиусом 4/3·AB.
Ответ: а) окружность радиуса 2AB с центром в точке B', симметричной B относительно A; б) окружность радиуса 4/3·AB с центром в точке C отрезка AB, для которой AC = 2/3·AB.