Глава XII. Вопросы для повторения (продолжение) и дополнительные задачи — с. 291
8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC BC = a, CA = b, S — площадь. Докажем, что S = (1/2) ab sin C. Введём систему координат с началом в точке C так, чтобы B лежала на положительной полуоси Cx, а A имела положительную ординату. Площадь S = (1/2) a h, где h — высота, проведённая из A. Но h равна ординате точки A, а A = (b cos C; b sin C), поэтому h = b sin C. Значит, S = (1/2) ab sin C. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC BC = a, CA = b, S — площадь. Докажем, что S = (1/2) ab sin C. Введём систему координат с началом в точке C так, чтобы B лежала на положительной полуоси Cx, а A имела положительную ординату. Площадь S = (1/2) a h, где h — высота, проведённая из A. Но h равна ординате точки A, а A = (b cos C; b sin C), поэтому h = b sin C. Значит, S = (1/2) ab sin C. Теорема доказана.
9. Сформулируйте и докажите теорему синусов.
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Доказательство. Пусть AB = c, BC = a, CA = b. По теореме о площади треугольника S = (1/2) ab sin C, S = (1/2) bc sin A, S = (1/2) ca sin B. Из первых двух равенств (1/2) ab sin C = (1/2) bc sin A, откуда a / sin A = c / sin C. Из второго и третьего (1/2) bc sin A = (1/2) ca sin B, откуда a / sin A = b / sin B. Итак, a / sin A = b / sin B = c / sin C. Теорема доказана. (Каждое из отношений равно 2R, где R — радиус описанной окружности.)
Доказательство. Пусть AB = c, BC = a, CA = b. По теореме о площади треугольника S = (1/2) ab sin C, S = (1/2) bc sin A, S = (1/2) ca sin B. Из первых двух равенств (1/2) ab sin C = (1/2) bc sin A, откуда a / sin A = c / sin C. Из второго и третьего (1/2) bc sin A = (1/2) ca sin B, откуда a / sin A = b / sin B. Итак, a / sin A = b / sin B = c / sin C. Теорема доказана. (Каждое из отношений равно 2R, где R — радиус описанной окружности.)
10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a² = b² + c² − 2bc cos A.
Доказательство. Введём систему координат с началом в точке A, осью Ax вдоль луча AB. Тогда B (c; 0), C (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между точками a² = BC² = (b cos A − c)² + (b sin A)² = b² cos²A − 2bc cos A + c² + b² sin²A = b² (cos²A + sin²A) + c² − 2bc cos A = b² + c² − 2bc cos A. Теорема доказана. При A = 90° получаем теорему Пифагора.
Доказательство. Введём систему координат с началом в точке A, осью Ax вдоль луча AB. Тогда B (c; 0), C (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между точками a² = BC² = (b cos A − c)² + (b sin A)² = b² cos²A − 2bc cos A + c² + b² sin²A = b² (cos²A + sin²A) + c² − 2bc cos A = b² + c² − 2bc cos A. Теорема доказана. При A = 90° получаем теорему Пифагора.
11. Что означают слова «решение треугольника»?
Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник. Обозначения: AB = c, BC = a, CA = b.
Задача 1. Дано: a, b, ∠C. По теореме косинусов c = √(a² + b² − 2ab cos C); затем cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), угол A находим по таблице или калькулятором; ∠B = 180° − ∠A − ∠C.
Задача 2. Дано: a, ∠B, ∠C. ∠A = 180° − ∠B − ∠C; по теореме синусов b = a sin B / sin A, c = a sin C / sin A.
Задача 3. Дано: a, b, c. По теореме косинусов cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), аналогично находим ∠B, затем ∠C = 180° − ∠A − ∠B.
Задача 1. Дано: a, b, ∠C. По теореме косинусов c = √(a² + b² − 2ab cos C); затем cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), угол A находим по таблице или калькулятором; ∠B = 180° − ∠A − ∠C.
Задача 2. Дано: a, ∠B, ∠C. ∠A = 180° − ∠B − ∠C; по теореме синусов b = a sin B / sin A, c = a sin C / sin A.
Задача 3. Дано: a, b, c. По теореме косинусов cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), аналогично находим ∠B, затем ∠C = 180° − ∠A − ∠B.
12. Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.
Пусть AH — высота предмета (H — основание, недоступное). На прямой, проходящей через H, отмечаем две точки B и C на расстоянии BC = a друг от друга (B между H и C, то есть C дальше) и измеряем углы ∠ABH = α и ∠ACB = β. Угол ABH — внешний для треугольника ABC, поэтому ∠BAC = α − β. По теореме синусов AB = a sin β / sin (α − β). Из прямоугольного треугольника ABH находим AH = AB ⋅ sin α = a sin α sin β / sin (α − β).
13. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.
Пусть нужно найти расстояние d от пункта A до недоступного пункта C. На местности выбираем точку B и измеряем длину AB = c, а также углы ∠A = α и ∠B = β (астролябией). Тогда ∠C = 180° − α − β, sin C = sin (α + β). По теореме синусов AC / sin B = AB / sin C, откуда d = AC = c sin β / sin (α + β).
14. Объясните, что означают слова «угол между векторами a и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?
Отложим от произвольной точки O векторы OA⃗ = a и OB⃗ = b. Если a и b не сонаправлены, то лучи OA и OB образуют угол AOB; его градусная мера α называется углом между векторами a и b. Этот угол не зависит от выбора точки O. Если векторы a и b сонаправлены (в частности, один из них или оба нулевые), то угол между ними считается равным 0°.
15. Какие два вектора называются перпендикулярными?
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
16. Что такое скалярное произведение двух векторов?
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cos (угол между a и b). Скалярное произведение — число. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a ⋅ a = |a|².
17. В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?
Для ненулевых векторов a ⋅ b = |a| |b| cos φ, и знак произведения совпадает со знаком cos φ (φ — угол между векторами).
а) a ⋅ b = 0 тогда и только тогда, когда cos φ = 0, то есть φ = 90° — векторы перпендикулярны.
б) a ⋅ b > 0 тогда и только тогда, когда cos φ > 0, то есть угол φ острый (0° ≤ φ < 90°).
в) a ⋅ b < 0 тогда и только тогда, когда cos φ < 0, то есть угол φ тупой (90° < φ ≤ 180°).
а) a ⋅ b = 0 тогда и только тогда, когда cos φ = 0, то есть φ = 90° — векторы перпендикулярны.
б) a ⋅ b > 0 тогда и только тогда, когда cos φ > 0, то есть угол φ острый (0° ≤ φ < 90°).
в) a ⋅ b < 0 тогда и только тогда, когда cos φ < 0, то есть угол φ тупой (90° < φ ≤ 180°).
18. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.
Утверждение: для a {x1; y1} и b {x2; y2} имеем a ⋅ b = x1x2 + y1y2.
Если один из векторов нулевой, обе части равны нулю. Пусть векторы ненулевые, откладываем OA⃗ = a, OB⃗ = b. По теореме косинусов (она верна и для коллинеарных векторов) AB² = OA² + OB² − 2 OA ⋅ OB ⋅ cos α. Так как AB⃗ = b − a, получаем |a − b|² = |a|² + |b|² − 2 a ⋅ b, откуда a ⋅ b = (1/2)(|a|² + |b|² − |a − b|²). Подставляя |a|² = x1² + y1², |b|² = x2² + y2², |b − a|² = (x2 − x1)² + (y2 − y1)², после раскрытия скобок получаем a ⋅ b = x1x2 + y1y2.
Если один из векторов нулевой, обе части равны нулю. Пусть векторы ненулевые, откладываем OA⃗ = a, OB⃗ = b. По теореме косинусов (она верна и для коллинеарных векторов) AB² = OA² + OB² − 2 OA ⋅ OB ⋅ cos α. Так как AB⃗ = b − a, получаем |a − b|² = |a|² + |b|² − 2 a ⋅ b, откуда a ⋅ b = (1/2)(|a|² + |b|² − |a − b|²). Подставляя |a|² = x1² + y1², |b|² = x2² + y2², |b − a|² = (x2 − x1)² + (y2 − y1)², после раскрытия скобок получаем a ⋅ b = x1x2 + y1y2.
19. Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {х1; у1} и {х2; у2}.
Ненулевые векторы a {x1; y1} и b {x2; y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0 (их скалярное произведение равно нулю).
20. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.
Из определения a ⋅ b = |a| |b| cos α следует cos α = a ⋅ b / (|a| |b|). Подставляя a ⋅ b = x1x2 + y1y2, |a| = √(x1² + y1²), |b| = √(x2² + y2²), получаем cos α = (x1x2 + y1y2) / (√(x1² + y1²) ⋅ √(x2² + y2²)).
21. Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов.
Для любых векторов a, b, c и любого числа k:
1°. a² ≥ 0, причём a² > 0 при a ≠ 0.
2°. a ⋅ b = b ⋅ a (переместительный закон).
3°. (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (распределительный закон).
4°. (ka) ⋅ b = k (a ⋅ b) (сочетательный закон).
Доказательство. 1°: a² = a ⋅ a = |a|² ≥ 0, и |a|² > 0 при a ≠ 0. 2°: следует из определения: |a| |b| cos φ = |b| |a| cos φ, угол между векторами не зависит от порядка.
Введём прямоугольную систему координат, a {x1; y1}, b {x2; y2}, c {x3; y3}. 3°: (a + b) ⋅ c = (x1 + x2) x3 + (y1 + y2) y3 = (x1x3 + y1y3) + (x2x3 + y2y3) = a ⋅ c + b ⋅ c. 4°: вектор ka имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому (ka) ⋅ b = (kx1) x2 + (ky1) y2 = k (x1x2 + y1y2) = k (a ⋅ b).
1°. a² ≥ 0, причём a² > 0 при a ≠ 0.
2°. a ⋅ b = b ⋅ a (переместительный закон).
3°. (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (распределительный закон).
4°. (ka) ⋅ b = k (a ⋅ b) (сочетательный закон).
Доказательство. 1°: a² = a ⋅ a = |a|² ≥ 0, и |a|² > 0 при a ≠ 0. 2°: следует из определения: |a| |b| cos φ = |b| |a| cos φ, угол между векторами не зависит от порядка.
Введём прямоугольную систему координат, a {x1; y1}, b {x2; y2}, c {x3; y3}. 3°: (a + b) ⋅ c = (x1 + x2) x3 + (y1 + y2) y3 = (x1x3 + y1y3) + (x2x3 + y2y3) = a ⋅ c + b ⋅ c. 4°: вектор ka имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому (ka) ⋅ b = (kx1) x2 + (ky1) y2 = k (x1x2 + y1y2) = k (a ⋅ b).
22. Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач.
Пример: докажем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны. Пусть AB⃗ = a, AD⃗ = b, |a| = |b|. Тогда AC⃗ = a + b, DB⃗ = a − b, и AC⃗ ⋅ DB⃗ = (a + b) ⋅ (a − b) = a² − b² = 0. Следовательно, AC ⊥ BD. Другой пример: формула медианы 4AM² = AB² + AC² + 2 AB ⋅ AC ⋅ cos A, которая получается из равенства 2AM⃗ = AB⃗ + AC⃗ возведением в скалярный квадрат.
1146. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠А = 30°. Найдите высоты BE и AD, a также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
BE ⊥ AC. В прямоугольном треугольнике ABE (∠A = 30°, гипотенуза AB = b): BE = b sin 30° = b/2, AE = b cos 30° = b√3/2.
EC = AC − AE = b − b√3/2 = b (2 − √3)/2.
BC из прямоугольного треугольника BEC: BC² = BE² + EC² = b²/4 + b² (2 − √3)²/4 = (b²/4)(1 + 7 − 4√3) = b² (2 − √3). BC = b √(2 − √3). (По теореме косинусов: BC² = 2b² − 2b² cos 30° = b² (2 − √3), тот же результат.)
Высота AD равнобедренного треугольника — также медиана и биссектриса: ∠BAD = 15°, AD = b cos 15° = b (√6 + √2)/4 = (b/2) √(2 + √3).
Ответ: BE = b/2, AD = (b/2) √(2 + √3), AE = b√3/2, EC = (b/2)(2 − √3), BC = b √(2 − √3).
EC = AC − AE = b − b√3/2 = b (2 − √3)/2.
BC из прямоугольного треугольника BEC: BC² = BE² + EC² = b²/4 + b² (2 − √3)²/4 = (b²/4)(1 + 7 − 4√3) = b² (2 − √3). BC = b √(2 − √3). (По теореме косинусов: BC² = 2b² − 2b² cos 30° = b² (2 − √3), тот же результат.)
Высота AD равнобедренного треугольника — также медиана и биссектриса: ∠BAD = 15°, AD = b cos 15° = b (√6 + √2)/4 = (b/2) √(2 + √3).
Ответ: BE = b/2, AD = (b/2) √(2 + √3), AE = b√3/2, EC = (b/2)(2 − √3), BC = b √(2 − √3).
1147. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°; б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.
Площадь треугольника по стороне a и двум прилежащим углам: S = (1/2) ab sin C, а по теореме синусов b = a sin B / sin A. Тогда S = a² sin B sin C / (2 sin A).
а) ∠A = 180° − 44° − 72° = 64°. S = 4,125² ⋅ sin 44° ⋅ sin 72° / (2 sin 64°) = 17,016 ⋅ 0,6947 ⋅ 0,9511 / (2 ⋅ 0,8988) ≈ 6,25 (м²).
б) BC = a = 4100 — сторона против угла A = 32°, ∠C = 120°, ∠B = 180° − 32° − 120° = 28°. S = 4100² ⋅ sin 28° ⋅ sin 120° / (2 sin 32°) = 16 810 000 ⋅ 0,4695 ⋅ 0,8660 / (2 ⋅ 0,5299) ≈ 6,45 ⋅ 10⁶ (м²), то есть около 6 449 000 м².
Ответ: а) ≈ 6,25 м²; б) ≈ 6,45 ⋅ 10⁶ м².
Оговорка: во втором пункте результат зависит от округления синусов, различия возможны в четвёртой значащей цифре.
а) ∠A = 180° − 44° − 72° = 64°. S = 4,125² ⋅ sin 44° ⋅ sin 72° / (2 sin 64°) = 17,016 ⋅ 0,6947 ⋅ 0,9511 / (2 ⋅ 0,8988) ≈ 6,25 (м²).
б) BC = a = 4100 — сторона против угла A = 32°, ∠C = 120°, ∠B = 180° − 32° − 120° = 28°. S = 4100² ⋅ sin 28° ⋅ sin 120° / (2 sin 32°) = 16 810 000 ⋅ 0,4695 ⋅ 0,8660 / (2 ⋅ 0,5299) ≈ 6,45 ⋅ 10⁶ (м²), то есть около 6 449 000 м².
Ответ: а) ≈ 6,25 м²; б) ≈ 6,45 ⋅ 10⁶ м².
Оговорка: во втором пункте результат зависит от округления синусов, различия возможны в четвёртой значащей цифре.
1148. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O (для выпуклого четырёхугольника она лежит внутри), угол между диагоналями равен φ. Четыре угла при O равны φ или 180° − φ, а синусы их одинаковы: sin φ.
S = S(AOB) + S(BOC) + S(COD) + S(DOA) = (1/2) sin φ (AO ⋅ BO + BO ⋅ CO + CO ⋅ DO + DO ⋅ AO) = (1/2) sin φ (AO + CO)(BO + DO) = (1/2) AC ⋅ BD ⋅ sin φ. Что и требовалось доказать.
S = S(AOB) + S(BOC) + S(COD) + S(DOA) = (1/2) sin φ (AO ⋅ BO + BO ⋅ CO + CO ⋅ DO + DO ⋅ AO) = (1/2) sin φ (AO + CO)(BO + DO) = (1/2) AC ⋅ BD ⋅ sin φ. Что и требовалось доказать.