Глава XII. Дополнительные задачи (применение скалярного произведения векторов к решению задач) — с. 293
1162. Точка M лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что (1 + k)² AM² = k²b² + 2bck cos A + c², где b = AC, c = AB.
Так как M лежит на отрезке BC и BM = k MC, векторы BM⃗ и MC⃗ сонаправлены, BM⃗ = k MC⃗ = k (BC⃗ − BM⃗), откуда (1 + k) BM⃗ = k BC⃗ = k (AC⃗ − AB⃗).
По правилу треугольника AM⃗ = AB⃗ + BM⃗, поэтому (1 + k) AM⃗ = (1 + k) AB⃗ + k (AC⃗ − AB⃗) = AB⃗ + k AC⃗.
Возведём в скалярный квадрат: (1 + k)² AM² = AB² + 2k AB⃗ ⋅ AC⃗ + k² AC².
Так как AB² = c², AC² = b², AB⃗ ⋅ AC⃗ = bc cos A, получаем (1 + k)² AM² = c² + 2bck cos A + k² b². Что и требовалось доказать.
По правилу треугольника AM⃗ = AB⃗ + BM⃗, поэтому (1 + k) AM⃗ = (1 + k) AB⃗ + k (AC⃗ − AB⃗) = AB⃗ + k AC⃗.
Возведём в скалярный квадрат: (1 + k)² AM² = AB² + 2k AB⃗ ⋅ AC⃗ + k² AC².
Так как AB² = c², AC² = b², AB⃗ ⋅ AC⃗ = bc cos A, получаем (1 + k)² AM² = c² + 2bck cos A + k² b². Что и требовалось доказать.
1163. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (−1; 2), B (1; −2), C (2; 0), D (1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.
Найдём векторы сторон: AB⃗ {2; −4}, BC⃗ {1; 2}, CD⃗ {−1; 6}, AD⃗ {2; 4}.
AD⃗ {2; 4} = 2 BC⃗ {1; 2}: векторы коллинеарны и сонаправлены, поэтому AD ∥ BC и AD = 2 BC. AB⃗ {2; −4} и CD⃗ {−1; 6} неколлинеарны (2 ⋅ 6 − (−4)(−1) = 8 ≠ 0), поэтому AB не параллельна CD. Значит, ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.
Площадь: BC = √5, AD = 2√5. Прямая BC: через B (1; −2) с направляющим вектором {1; 2}, уравнение 2x − y − 4 = 0. Расстояние от A (−1; 2) до неё: |2 ⋅ (−1) − 2 − 4| / √5 = 8/√5 — это высота. S = (BC + AD)/2 ⋅ h = (3√5 / 2) ⋅ (8 / √5) = 12.
Ответ: площадь равна 12.
AD⃗ {2; 4} = 2 BC⃗ {1; 2}: векторы коллинеарны и сонаправлены, поэтому AD ∥ BC и AD = 2 BC. AB⃗ {2; −4} и CD⃗ {−1; 6} неколлинеарны (2 ⋅ 6 − (−4)(−1) = 8 ≠ 0), поэтому AB не параллельна CD. Значит, ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.
Площадь: BC = √5, AD = 2√5. Прямая BC: через B (1; −2) с направляющим вектором {1; 2}, уравнение 2x − y − 4 = 0. Расстояние от A (−1; 2) до неё: |2 ⋅ (−1) − 2 − 4| / √5 = 8/√5 — это высота. S = (BC + AD)/2 ⋅ h = (3√5 / 2) ⋅ (8 / √5) = 12.
Ответ: площадь равна 12.
1164. В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, отрезок AM — медиана, b = AC, с = AB. Докажите, что: а) AD = (2bc / (b + c)) ⋅ √((1 + cos A)/2); б) AM = (1/2) √(b² + c² + 2bc cos A).
а) Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и ACD: (1/2) bc sin A = (1/2) c ⋅ AD ⋅ sin (A/2) + (1/2) b ⋅ AD ⋅ sin (A/2). Так как sin A = 2 sin (A/2) cos (A/2), после сокращения на (1/2) sin (A/2) получаем 2bc cos (A/2) = AD (b + c), то есть AD = 2bc cos (A/2) / (b + c). Угол A/2 острый, и cos (A/2) = √((1 + cos A)/2) (формула понижения степени: 2 cos²(A/2) = 1 + cos A). Отсюда AD = (2bc / (b + c)) ⋅ √((1 + cos A)/2).
б) Точка M — середина BC, поэтому 2AM⃗ = AB⃗ + AC⃗. Возведём в скалярный квадрат: 4AM² = c² + 2 AB⃗ ⋅ AC⃗ + b² = b² + c² + 2bc cos A. Поэтому AM = (1/2) √(b² + c² + 2bc cos A).
б) Точка M — середина BC, поэтому 2AM⃗ = AB⃗ + AC⃗. Возведём в скалярный квадрат: 4AM² = c² + 2 AB⃗ ⋅ AC⃗ + b² = b² + c² + 2bc cos A. Поэтому AM = (1/2) √(b² + c² + 2bc cos A).
1165. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB⃗ = a, AD⃗ = b. Тогда AC⃗ = a + b, DB⃗ = a − b. Диагонали перпендикулярны, поэтому (a + b) ⋅ (a − b) = 0, то есть a² − b² = 0, |a| = |b|. Значит, AB = AD: смежные стороны параллелограмма равны, и он является ромбом.
1166. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
Пусть треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны с коэффициентом k: A1B1 / A2B2 = B1C1 / B2C2 = A1C1 / A2C2 = k, и соответствующие углы равны.
а) По следствию из теоремы синусов a1 / sin A1 = 2R1, a2 / sin A2 = 2R2. Углы A1 = A2, поэтому sin A1 = sin A2, и R1 / R2 = a1 / a2 = k.
б) Площадь треугольника S = p r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности (S = (1/2)(a + b + c) r). Периметры подобных треугольников относятся как k, поэтому p1 / p2 = k, площади относятся как k²: S1 / S2 = k². Тогда r1 / r2 = (S1 / p1) : (S2 / p2) = (S1 / S2) ⋅ (p2 / p1) = k² / k = k.
Таким образом, в обоих случаях отношение радиусов равно коэффициенту подобия.
а) По следствию из теоремы синусов a1 / sin A1 = 2R1, a2 / sin A2 = 2R2. Углы A1 = A2, поэтому sin A1 = sin A2, и R1 / R2 = a1 / a2 = k.
б) Площадь треугольника S = p r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности (S = (1/2)(a + b + c) r). Периметры подобных треугольников относятся как k, поэтому p1 / p2 = k, площади относятся как k²: S1 / S2 = k². Тогда r1 / r2 = (S1 / p1) : (S2 / p2) = (S1 / S2) ⋅ (p2 / p1) = k² / k = k.
Таким образом, в обоих случаях отношение радиусов равно коэффициенту подобия.