Глава XIII. §2. Длина окружности и площадь круга — с. 307
1190. Перечертите таблицу и, используя формулу длины C окружности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением π ≈ 3,14. [таблица, девять столбцов; строка C: —, —, 82, 18π, —, 6,28, —, —, 2√2; строка R: 4, 3, —, —, 0,7, —, 101,5, 2 1/3, —]
Используем C = 2πR, откуда R = C/(2π); π ≈ 3,14.
1) R = 4: C = 2 · 3,14 · 4 = 25,12.
2) R = 3: C = 2 · 3,14 · 3 = 18,84.
3) C = 82: R = 82 : 6,28 ≈ 13,06.
4) C = 18π: R = 18π : 2π = 9.
5) R = 0,7: C = 2 · 3,14 · 0,7 = 4,396 ≈ 4,40.
6) C = 6,28: R = 6,28 : 6,28 = 1.
7) R = 101,5: C = 6,28 · 101,5 = 637,42.
8) R = 2 1/3 = 7/3: C = 2 · 3,14 · 7/3 = 43,96/3 ≈ 14,65.
9) C = 2√2: R = 2√2 : (2π) = √2/π ≈ 1,414 : 3,14 ≈ 0,45.
Оговорка: расположение чисел по столбцам читается с рисунка, порядок столбцов принят слева направо, как на странице.
1) R = 4: C = 2 · 3,14 · 4 = 25,12.
2) R = 3: C = 2 · 3,14 · 3 = 18,84.
3) C = 82: R = 82 : 6,28 ≈ 13,06.
4) C = 18π: R = 18π : 2π = 9.
5) R = 0,7: C = 2 · 3,14 · 0,7 = 4,396 ≈ 4,40.
6) C = 6,28: R = 6,28 : 6,28 = 1.
7) R = 101,5: C = 6,28 · 101,5 = 637,42.
8) R = 2 1/3 = 7/3: C = 2 · 3,14 · 7/3 = 43,96/3 ≈ 14,65.
9) C = 2√2: R = 2√2 : (2π) = √2/π ≈ 1,414 : 3,14 ≈ 0,45.
Оговорка: расположение чисел по столбцам читается с рисунка, порядок столбцов принят слева направо, как на странице.
1191. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?
Длина окружности C = 2πR прямо пропорциональна радиусу: при замене R на mR получаем 2π · mR = m · C.
а) Увеличится в 3 раза.
б) Уменьшится в 2 раза.
в) Увеличится в k раз.
г) Уменьшится в k раз.
а) Увеличится в 3 раза.
б) Уменьшится в 2 раза.
в) Увеличится в k раз.
г) Уменьшится в k раз.
1192. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
Из C = 2πR получаем R = C/(2π): радиус прямо пропорционален длине окружности.
а) Если C увеличить в k раз, радиус R увеличится в k раз.
б) Если C уменьшить в k раз, радиус R уменьшится в k раз.
а) Если C увеличить в k раз, радиус R увеличится в k раз.
б) Если C уменьшить в k раз, радиус R уменьшится в k раз.
1193. Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами a и b; в) равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной a и острым углом α между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см².
Везде C = 2πR.
а) Для правильного треугольника R = a/√3, поэтому C = 2πa/√3 = 2√3πa/3.
б) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, поэтому 2R = c = √(a² + b²), C = π√(a² + b²).
в) Высота к основанию h = √(b² − a²/4) = √(4b² − a²)/2. Площадь S = ah/2, а R = b · b · a/(4S) = b²a/(2ah) = b²/(2h) = b²/√(4b² − a²). Значит, C = 2πb²/√(4b² − a²).
г) Диагонали прямоугольника — диаметры описанной окружности; пусть d = 2R. Диагонали пересекаются в центре O и делят прямоугольник на равнобедренные треугольники со сторонами R, R. Меньшая сторона a лежит против острого угла α между диагоналями: a = 2R sin(α/2). Отсюда R = a/(2 sin(α/2)), C = πa/sin(α/2).
д) Площадь правильного шестиугольника со стороной R равна 6 · R²√3/4 = 3√3R²/2 = 24√3, откуда R² = 16, R = 4 см. C = 2π · 4 = 8π см.
Ответ: а) 2πa/√3; б) π√(a² + b²); в) 2πb²/√(4b² − a²); г) πa/sin(α/2); д) 8π см.
а) Для правильного треугольника R = a/√3, поэтому C = 2πa/√3 = 2√3πa/3.
б) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, поэтому 2R = c = √(a² + b²), C = π√(a² + b²).
в) Высота к основанию h = √(b² − a²/4) = √(4b² − a²)/2. Площадь S = ah/2, а R = b · b · a/(4S) = b²a/(2ah) = b²/(2h) = b²/√(4b² − a²). Значит, C = 2πb²/√(4b² − a²).
г) Диагонали прямоугольника — диаметры описанной окружности; пусть d = 2R. Диагонали пересекаются в центре O и делят прямоугольник на равнобедренные треугольники со сторонами R, R. Меньшая сторона a лежит против острого угла α между диагоналями: a = 2R sin(α/2). Отсюда R = a/(2 sin(α/2)), C = πa/sin(α/2).
д) Площадь правильного шестиугольника со стороной R равна 6 · R²√3/4 = 3√3R²/2 = 24√3, откуда R² = 16, R = 4 см. C = 2π · 4 = 8π см.
Ответ: а) 2πa/√3; б) π√(a² + b²); в) 2πb²/√(4b² − a²); г) πa/sin(α/2); д) 8π см.
1194. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной a; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию.
Везде C = 2πr.
а) Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне: 2r = a, C = πa.
б) Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны c/√2 = c√2/2. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника r = (a1 + b1 − c)/2 (где a1, b1 — катеты): r = (c√2 − c)/2. C = 2πr = πc(√2 − 1).
в) Катеты равны c sin α и c cos α. r = (c sin α + c cos α − c)/2, C = πc(sin α + cos α − 1).
г) Основание делится высотой пополам, его половина равна h ctg α, боковая сторона h/sin α. Площадь S = h · h ctg α = h² ctg α, полупериметр p = h ctg α + h/sin α = h(cos α + 1)/sin α. Тогда r = S/p = h cos α/(1 + cos α) = h ctg α · tg(α/2) (так как sin α/(1 + cos α) = tg(α/2)). C = 2πr = 2πh · ctg α · tg(α/2).
Ответ: а) πa; б) πc(√2 − 1); в) πc(sin α + cos α − 1); г) 2πh ctg α tg(α/2).
а) Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне: 2r = a, C = πa.
б) Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны c/√2 = c√2/2. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника r = (a1 + b1 − c)/2 (где a1, b1 — катеты): r = (c√2 − c)/2. C = 2πr = πc(√2 − 1).
в) Катеты равны c sin α и c cos α. r = (c sin α + c cos α − c)/2, C = πc(sin α + cos α − 1).
г) Основание делится высотой пополам, его половина равна h ctg α, боковая сторона h/sin α. Площадь S = h · h ctg α = h² ctg α, полупериметр p = h ctg α + h/sin α = h(cos α + 1)/sin α. Тогда r = S/p = h cos α/(1 + cos α) = h ctg α · tg(α/2) (так как sin α/(1 + cos α) = tg(α/2)). C = 2πr = 2πh · ctg α · tg(α/2).
Ответ: а) πa; б) πc(√2 − 1); в) πc(sin α + cos α − 1); г) 2πh ctg α tg(α/2).