Глава XIII. Дополнительные задачи — с. 312
1229. За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?
Длина одной орбиты равна 84 152 : 2 = 42 076 км. Радиус орбиты R = C/(2π) = 42 076 : 6,28 = 6700 км. Высота над поверхностью Земли h = 6700 − 6370 = 330 км.
Ответ: 330 км.
Ответ: 330 км.
1230. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна a и острый угол равен α.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба: 2r = h, а S = a · h (площадь через сторону и высоту).
а) Диагонали 6 и 8 пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому сторона a = √(3² + 4²) = 5 см. Площадь S = 6 · 8/2 = 24 см². Высота h = S/a = 24/5 = 4,8 см, r = 2,4 см. C = 2πr = 4,8π ≈ 15,1 см.
б) Высота ромба h = a sin α, поэтому r = a sin α/2 и C = 2πr = πa sin α.
Ответ: а) 4,8π ≈ 15,1 см; б) πa sin α.
а) Диагонали 6 и 8 пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому сторона a = √(3² + 4²) = 5 см. Площадь S = 6 · 8/2 = 24 см². Высота h = S/a = 24/5 = 4,8 см, r = 2,4 см. C = 2πr = 4,8π ≈ 15,1 см.
б) Высота ромба h = a sin α, поэтому r = a sin α/2 и C = 2πr = πa sin α.
Ответ: а) 4,8π ≈ 15,1 см; б) πa sin α.
1231. Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.
Пусть длина опушки (окружности) C км, тогда диаметр D = C/π км. Скорость 4 км/ч, 45 мин = 3/4 ч. Время обхода C/4 ч, время перехода по диаметру D/4 ч. По условию C/4 − D/4 = 3/4, то есть C − C/π = 3, откуда C(π − 1)/π = 3 и C = 3π/(π − 1) = 3 · 3,14 : 2,14 ≈ 4,4 км.
Ответ: ≈ 4,4 км.
Ответ: ≈ 4,4 км.
1232. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.
Пусть r — радиус вписанной окружности, P — периметр многоугольника. Площадь круга равна πr², площадь многоугольника S = (1/2)Pr. Тогда πr²/S = πr² : (Pr/2) = 2πr/P. Длина окружности C = 2πr, поэтому πr²/S = C/P. Что и требовалось доказать.
1233. Фигура ограничена бо́льшими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
Для первой окружности хорда 6 см — сторона вписанного квадрата, a4 = R1√2, R1 = 6/√2 = 3√2 см. Хорда стягивает дугу 90°, поэтому бо́льшая дуга равна 360° − 90° = 270°: l1 = π · 3√2 · 270/180 = 9√2π/2 см.
Для второй окружности хорда — сторона вписанного шестиугольника, R2 = a6 = 6 см. Хорда стягивает дугу 60°, бо́льшая дуга равна 300°: l2 = π · 6 · 300/180 = 10π см.
Сумма: l1 + l2 = 9√2π/2 + 10π = π(20 + 9√2)/2 см.
Ответ: π(20 + 9√2)/2 см (≈ 51 см).
Для второй окружности хорда — сторона вписанного шестиугольника, R2 = a6 = 6 см. Хорда стягивает дугу 60°, бо́льшая дуга равна 300°: l2 = π · 6 · 300/180 = 10π см.
Сумма: l1 + l2 = 9√2π/2 + 10π = π(20 + 9√2)/2 см.
Ответ: π(20 + 9√2)/2 см (≈ 51 см).
1234. Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.
Трапеция, около которой описана окружность, равнобедренная. Опустим высоты из концов меньшего основания: проекция боковой стороны на большее основание равна (14 − 4)/2 = 5 см. Высота h = √(13² − 5²) = 12 см.
Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием, боковой стороной и диагональю: его стороны 14 см, 13 см и диагональ d = √((14 − 5)² + 12²) = √(81 + 144) = 15 см. Он вписан в ту же окружность. Его площадь S = (1/2) · 14 · 12 = 84 см². Радиус описанной окружности R = abc/(4S) = 14 · 13 · 15/(4 · 84) = 2730/336 = 65/8 см.
C = 2πR = 65π/4 см ≈ 51 см.
Ответ: 65π/4 см.
Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием, боковой стороной и диагональю: его стороны 14 см, 13 см и диагональ d = √((14 − 5)² + 12²) = √(81 + 144) = 15 см. Он вписан в ту же окружность. Его площадь S = (1/2) · 14 · 12 = 84 см². Радиус описанной окружности R = abc/(4S) = 14 · 13 · 15/(4 · 84) = 2730/336 = 65/8 см.
C = 2πR = 65π/4 см ≈ 51 см.
Ответ: 65π/4 см.
1235. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу, п. 71). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
Пусть △ACH ∼ △CBH с коэффициентом подобия k (стороны первого относительно сходственных сторон второго относятся как k). Радиус вписанной окружности r = 2S/P, где S — площадь, P — периметр. У подобных треугольников периметры относятся как k, а площади как k², поэтому r1/r2 = (2S1/P1) : (2S2/P2) = (S1/S2) · (P2/P1) = k² · (1/k) = k.
Длины вписанных окружностей C1 = 2πr1 и C2 = 2πr2, поэтому C1/C2 = r1/r2 = k. Что и требовалось доказать.
Длины вписанных окружностей C1 = 2πr1 и C2 = 2πr2, поэтому C1/C2 = r1/r2 = k. Что и требовалось доказать.
1236* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
Пусть дан отрезок PQ = a. Центральный угол правильного восьмиугольника равен 360° : 8 = 45°, значит, треугольник AOB, где AB — сторона, а O — центр, равнобедренный с углом 45° при вершине и углами 67,5° при основании.
Построение.
1) Проводим прямую и откладываем на ней отрезок AB = PQ.
2) Строим угол 67,5° при вершине A. Для этого строим перпендикуляр к AB в точке A (угол 90°) и угол между лучом, дополнительным к лучу AB, и этим перпендикуляром делим биссектрисой пополам; получаем угол 135° (он равен углу правильного восьмиугольника, его вторая сторона — сторона AH). Биссектриса угла между AB и этой стороной образует с AB угол 67,5° (на рисунке — луч AO).
3) Так же строим угол 67,5° при вершине B по ту же сторону от AB. Лучи пересекаются в точке O.
4) Проводим окружность с центром O радиусом OA; она проходит через B (так как OA = OB). Раствором циркуля AB последовательно откладываем на окружности хорды от точки B: получаем точки C, D, E, F, G, H. Последовательно соединяем A, B, C, D, E, F, G, H.
Доказательство. Треугольник AOB равнобедренный с углом 180° − 2 · 67,5° = 45° при вершине O. Хорда AB стягивает дугу 45°, все отложенные хорды равны AB и стягивают равные дуги по 45°; 8 таких дуг дают полную окружность. Поэтому ABCDEFGH — правильный вписанный восьмиугольник со стороной a.
Исследование: задача имеет единственное решение с точностью до положения.
Построение.
1) Проводим прямую и откладываем на ней отрезок AB = PQ.
2) Строим угол 67,5° при вершине A. Для этого строим перпендикуляр к AB в точке A (угол 90°) и угол между лучом, дополнительным к лучу AB, и этим перпендикуляром делим биссектрисой пополам; получаем угол 135° (он равен углу правильного восьмиугольника, его вторая сторона — сторона AH). Биссектриса угла между AB и этой стороной образует с AB угол 67,5° (на рисунке — луч AO).
3) Так же строим угол 67,5° при вершине B по ту же сторону от AB. Лучи пересекаются в точке O.
4) Проводим окружность с центром O радиусом OA; она проходит через B (так как OA = OB). Раствором циркуля AB последовательно откладываем на окружности хорды от точки B: получаем точки C, D, E, F, G, H. Последовательно соединяем A, B, C, D, E, F, G, H.
Доказательство. Треугольник AOB равнобедренный с углом 180° − 2 · 67,5° = 45° при вершине O. Хорда AB стягивает дугу 45°, все отложенные хорды равны AB и стягивают равные дуги по 45°; 8 таких дуг дают полную окружность. Поэтому ABCDEFGH — правильный вписанный восьмиугольник со стороной a.
Исследование: задача имеет единственное решение с точностью до положения.
1237* Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.
Пусть радиусы данных кругов равны r1 и r2, а искомого круга — r. Должно быть πr² = πr1² + πr2², то есть r² = r1² + r2². Это соотношение теоремы Пифагора: r — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами r1 и r2.
Построение.
1) Строим прямой угол M (проводим прямую и перпендикуляр к ней в точке M).
2) На сторонах угла откладываем MN = r2 и MK = r1 (радиусы данных кругов измеряем циркулем).
3) Проводим отрезок KN; его длина r = KN.
4) Строим окружность с радиусом KN (с любым центром); ограниченный ею круг — искомый.
Доказательство. По теореме Пифагора KN² = MN² + MK² = r2² + r1², поэтому площадь круга радиуса KN равна πKN² = πr1² + πr2², то есть сумме площадей данных кругов. Задача всегда имеет решение, притом единственное по размеру круга.
Построение.
1) Строим прямой угол M (проводим прямую и перпендикуляр к ней в точке M).
2) На сторонах угла откладываем MN = r2 и MK = r1 (радиусы данных кругов измеряем циркулем).
3) Проводим отрезок KN; его длина r = KN.
4) Строим окружность с радиусом KN (с любым центром); ограниченный ею круг — искомый.
Доказательство. По теореме Пифагора KN² = MN² + MK² = r2² + r1², поэтому площадь круга радиуса KN равна πKN² = πr1² + πr2², то есть сумме площадей данных кругов. Задача всегда имеет решение, притом единственное по размеру круга.
1238. Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.
Пусть дана окружность с центром O и радиусом r.
а) Построение треугольника.
1) Делим окружность на 6 равных дуг: от произвольной точки откладываем циркулем с раствором r хорды (они равны r и стягивают дуги по 60°) и получаем точки T1, T2, ..., T6.
2) Берём точки через одну: T1, T3, T5 — они делят окружность на три равные дуги по 120°.
3) Через каждую из этих трёх точек проводим касательную — прямую, перпендикулярную радиусу в этой точке.
4) Три касательные, пересекаясь, образуют треугольник ABC — искомый.
Доказательство. Касательные в точках T1, T3, T5 равноудалены от O (на расстояние r), поэтому окружность вписана в треугольник ABC. Центральные углы между радиусами к точкам касания равны 120°, поэтому угол между касательными A = 180° − 120° = 60°. Все три угла треугольника равны 60°, значит, ABC — правильный.
б) Построение шестиугольника. Строим те же шесть точек T1, ..., T6, делящих окружность на дуги по 60°, и проводим касательные ко всем шести точкам. Они образуют шестиугольник ABCDEF. Каждый его угол равен 180° − 60° = 120°; стороны равны (по симметрии: расстояния от O до всех сторон равны r, а точки касания делят окружность равномерно, причём каждая сторона делится точкой касания пополам), поэтому шестиугольник правильный, окружность вписана в него.
На рисунке красным показаны построенные многоугольники, пунктиром — радиусы к точкам касания.
а) Построение треугольника.
1) Делим окружность на 6 равных дуг: от произвольной точки откладываем циркулем с раствором r хорды (они равны r и стягивают дуги по 60°) и получаем точки T1, T2, ..., T6.
2) Берём точки через одну: T1, T3, T5 — они делят окружность на три равные дуги по 120°.
3) Через каждую из этих трёх точек проводим касательную — прямую, перпендикулярную радиусу в этой точке.
4) Три касательные, пересекаясь, образуют треугольник ABC — искомый.
Доказательство. Касательные в точках T1, T3, T5 равноудалены от O (на расстояние r), поэтому окружность вписана в треугольник ABC. Центральные углы между радиусами к точкам касания равны 120°, поэтому угол между касательными A = 180° − 120° = 60°. Все три угла треугольника равны 60°, значит, ABC — правильный.
б) Построение шестиугольника. Строим те же шесть точек T1, ..., T6, делящих окружность на дуги по 60°, и проводим касательные ко всем шести точкам. Они образуют шестиугольник ABCDEF. Каждый его угол равен 180° − 60° = 120°; стороны равны (по симметрии: расстояния от O до всех сторон равны r, а точки касания делят окружность равномерно, причём каждая сторона делится точкой касания пополам), поэтому шестиугольник правильный, окружность вписана в него.
На рисунке красным показаны построенные многоугольники, пунктиром — радиусы к точкам касания.
1239. Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник.
Пусть дана окружность с центром O и радиусом r.
а) Квадрат. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (диаметр и серединный перпендикуляр к нему): они пересекают окружность в четырёх точках, делящих её на дуги по 90°. Через каждую из этих четырёх точек проводим касательную — прямую, перпендикулярную соответствующему диаметру. Четыре касательные образуют четырёхугольник ABCD. Его углы прямые (касательные в концах перпендикулярных диаметров взаимно перпендикулярны), а противоположные касательные параллельны и находятся на расстоянии 2r друг от друга, поэтому все стороны равны 2r. Значит, ABCD — квадрат, и окружность в него вписана.
б) Восьмиугольник. Делим каждую из четырёх дуг пополам (серединными перпендикулярами к хордам, соединяющим соседние точки, они проходят через O) и получаем 8 точек, делящих окружность на дуги по 45°. Проводим касательные во всех восьми точках. Они образуют восьмиугольник ABCDEFGH. Каждый угол равен 180° − 45° = 135°, расстояние от O до всех сторон равно r, точки касания делят окружность равномерно, значит, и стороны равны (каждая равна 2r tg 22,5°). Следовательно, это правильный восьмиугольник, окружность вписана в него.
На рисунке красным показаны построенные многоугольники, пунктиром — вспомогательные диаметры.
а) Квадрат. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (диаметр и серединный перпендикуляр к нему): они пересекают окружность в четырёх точках, делящих её на дуги по 90°. Через каждую из этих четырёх точек проводим касательную — прямую, перпендикулярную соответствующему диаметру. Четыре касательные образуют четырёхугольник ABCD. Его углы прямые (касательные в концах перпендикулярных диаметров взаимно перпендикулярны), а противоположные касательные параллельны и находятся на расстоянии 2r друг от друга, поэтому все стороны равны 2r. Значит, ABCD — квадрат, и окружность в него вписана.
б) Восьмиугольник. Делим каждую из четырёх дуг пополам (серединными перпендикулярами к хордам, соединяющим соседние точки, они проходят через O) и получаем 8 точек, делящих окружность на дуги по 45°. Проводим касательные во всех восьми точках. Они образуют восьмиугольник ABCDEFGH. Каждый угол равен 180° − 45° = 135°, расстояние от O до всех сторон равно r, точки касания делят окружность равномерно, значит, и стороны равны (каждая равна 2r tg 22,5°). Следовательно, это правильный восьмиугольник, окружность вписана в него.
На рисунке красным показаны построенные многоугольники, пунктиром — вспомогательные диаметры.