Глава XIV. Преобразования плоскости. Движения. §1. Понятие движения — с. 318
1240. Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
Введём координаты так, чтобы ось симметрии l была осью Ox. Осевая симметрия переводит точку (x; y) в точку (x; −y).
а) Прямая, параллельная оси Ox, задаётся уравнением y = d. Точка (x; d) переходит в точку (x; −d). Значит, образами точек этой прямой являются точки прямой y = −d, причём каждая точка (x; −d) является образом точки (x; d). Итак, прямая y = d отображается на прямую y = −d, параллельную оси симметрии.
б) Прямая, перпендикулярная к оси Ox, задаётся уравнением x = c. Точка (c; y) переходит в точку (c; −y), которая лежит на той же прямой, и каждая точка (c; y) этой прямой является образом точки (c; −y). Значит, прямая x = c отображается на себя.
(Без координат: если a ⊥ l, то для точки M прямой a перпендикуляр MM1 к оси l лежит на a, так как через M проходит единственная прямая, перпендикулярная к l; поэтому M1 лежит на a.)
а) Прямая, параллельная оси Ox, задаётся уравнением y = d. Точка (x; d) переходит в точку (x; −d). Значит, образами точек этой прямой являются точки прямой y = −d, причём каждая точка (x; −d) является образом точки (x; d). Итак, прямая y = d отображается на прямую y = −d, параллельную оси симметрии.
б) Прямая, перпендикулярная к оси Ox, задаётся уравнением x = c. Точка (c; y) переходит в точку (c; −y), которая лежит на той же прямой, и каждая точка (c; y) этой прямой является образом точки (c; −y). Значит, прямая x = c отображается на себя.
(Без координат: если a ⊥ l, то для точки M прямой a перпендикуляр MM1 к оси l лежит на a, так как через M проходит единственная прямая, перпендикулярная к l; поэтому M1 лежит на a.)
1241. Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Примем центр симметрии O за начало координат. Центральная симметрия переводит точку (x; y) в точку (−x; −y). Любая прямая задаётся уравнением Ax + By = C.
а) Если прямая не проходит через O, то C ≠ 0. Точка (x; y) прямой переходит в (−x; −y), координаты которой удовлетворяют уравнению Ax + By = −C; обратно, каждая точка этой прямой является образом точки исходной прямой. Значит, образом служит прямая Ax + By = −C. У неё те же коэффициенты A и B, а C заменено на −C ≠ C, поэтому прямые параллельны и не совпадают.
б) Если прямая проходит через O, то C = 0 и уравнение Ax + By = 0 не меняется при замене (x; y) на (−x; −y). Следовательно, прямая отображается на себя.
а) Если прямая не проходит через O, то C ≠ 0. Точка (x; y) прямой переходит в (−x; −y), координаты которой удовлетворяют уравнению Ax + By = −C; обратно, каждая точка этой прямой является образом точки исходной прямой. Значит, образом служит прямая Ax + By = −C. У неё те же коэффициенты A и B, а C заменено на −C ≠ C, поэтому прямые параллельны и не совпадают.
б) Если прямая проходит через O, то C = 0 и уравнение Ax + By = 0 не меняется при замене (x; y) на (−x; −y). Следовательно, прямая отображается на себя.
1242. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.
[в книге после условия приведено решение]
[в книге после условия приведено решение]
Пусть при движении точки A, O, B переходят в A1, O1, B1. Расстояния сохраняются: OA = O1A1, OB = O1B1, AB = A1B1.
Если угол AOB неразвёрнутый, то точки A, O, B не лежат на одной прямой. Треугольники AOB и A1O1B1 равны по трём сторонам, поэтому ∠AOB = ∠A1O1B1.
Если угол AOB развёрнутый, то O лежит между A и B и AB = OA + OB. Тогда A1B1 = O1A1 + O1B1. Если бы точка O1 не лежала на отрезке A1B1, то по неравенству треугольника было бы A1B1 < O1A1 + O1B1. Значит, O1 лежит между A1 и B1, и угол A1O1B1 тоже развёрнутый. Оба угла равны 180°.
Если угол AOB неразвёрнутый, то точки A, O, B не лежат на одной прямой. Треугольники AOB и A1O1B1 равны по трём сторонам, поэтому ∠AOB = ∠A1O1B1.
Если угол AOB развёрнутый, то O лежит между A и B и AB = OA + OB. Тогда A1B1 = O1A1 + O1B1. Если бы точка O1 не лежала на отрезке A1B1, то по неравенству треугольника было бы A1B1 < O1A1 + O1B1. Значит, O1 лежит между A1 и B1, и угол A1O1B1 тоже развёрнутый. Оба угла равны 180°.
1243. Докажите, что при движении четырехугольник отображается на четырехугольник.
Пусть ABCD — данный четырёхугольник, а A1, B1, C1, D1 — образы его вершин. Каждая сторона при движении отображается на отрезок (теорема п. 123): AB на A1B1, BC на B1C1, CD на C1D1, DA на D1A1.
1) Никакие три из точек A1, B1, C1, D1 не лежат на одной прямой. Если бы, например, B1 лежала между A1 и C1, то A1B1 + B1C1 = A1C1, откуда AB + BC = AC, и точка B лежала бы на отрезке AC, что невозможно для вершин четырёхугольника. Остальные случаи рассматриваются так же.
2) Несмежные стороны A1B1 и C1D1 не имеют общих точек. Пусть X1 — общая точка этих отрезков, а X — точка, которая переходит в X1. Так как каждой точке отрезка A1B1 соответствует точка отрезка AB, и то же верно для C1D1, то X лежит и на AB, и на CD, но эти стороны общих точек не имеют. Так же для сторон B1C1 и D1A1.
Значит, замкнутая ломаная A1B1C1D1 без самопересечений, соседние звенья не лежат на одной прямой, то есть A1B1C1D1 — четырёхугольник.
1) Никакие три из точек A1, B1, C1, D1 не лежат на одной прямой. Если бы, например, B1 лежала между A1 и C1, то A1B1 + B1C1 = A1C1, откуда AB + BC = AC, и точка B лежала бы на отрезке AC, что невозможно для вершин четырёхугольника. Остальные случаи рассматриваются так же.
2) Несмежные стороны A1B1 и C1D1 не имеют общих точек. Пусть X1 — общая точка этих отрезков, а X — точка, которая переходит в X1. Так как каждой точке отрезка A1B1 соответствует точка отрезка AB, и то же верно для C1D1, то X лежит и на AB, и на CD, но эти стороны общих точек не имеют. Так же для сторон B1C1 и D1A1.
Значит, замкнутая ломаная A1B1C1D1 без самопересечений, соседние звенья не лежат на одной прямой, то есть A1B1C1D1 — четырёхугольник.
1244. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.
Пусть a ∥ b, и при движении они отображаются на прямые a1 и b1 (прямая переходит в прямую, п. 123). Допустим, что a1 и b1 имеют общую точку X1. Движение является наложением и отображает плоскость на себя, значит, есть точка X, которая переходит в X1. Так как X1 лежит на a1 (образе прямой a), а различные точки переходят в различные, то X лежит на a. Аналогично X лежит на b. Тогда у прямых a и b есть общая точка, что противоречит условию a ∥ b. Следовательно, a1 и b1 общих точек не имеют, то есть a1 ∥ b1.
1245. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
При движении четырёхугольник ABCD отображается на четырёхугольник A1B1C1D1 (задача 1243), параллельные прямые — на параллельные (1244), углы — на равные углы (1242), отрезки — на равные отрезки.
а) Если ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD и BC ∥ AD, поэтому A1B1 ∥ C1D1 и B1C1 ∥ A1D1. Значит, A1B1C1D1 — параллелограмм.
б) Пусть BC ∥ AD, а AB не параллельна CD. Тогда B1C1 ∥ A1D1. Если бы A1B1 ∥ C1D1, то, применяя то же рассуждение к обратному движению (оно тоже сохраняет расстояния), получили бы AB ∥ CD. Значит, A1B1 не параллельна C1D1, и A1B1C1D1 — трапеция.
в) Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Его образ — параллелограмм (по а), а стороны сохраняют длину, поэтому все стороны образа равны: A1B1C1D1 — ромб.
г) Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Образ — параллелограмм, один из углов которого равен прямому углу (углы сохраняются), то есть прямоугольник. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами; образ — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.
а) Если ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD и BC ∥ AD, поэтому A1B1 ∥ C1D1 и B1C1 ∥ A1D1. Значит, A1B1C1D1 — параллелограмм.
б) Пусть BC ∥ AD, а AB не параллельна CD. Тогда B1C1 ∥ A1D1. Если бы A1B1 ∥ C1D1, то, применяя то же рассуждение к обратному движению (оно тоже сохраняет расстояния), получили бы AB ∥ CD. Значит, A1B1 не параллельна C1D1, и A1B1C1D1 — трапеция.
в) Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Его образ — параллелограмм (по а), а стороны сохраняют длину, поэтому все стороны образа равны: A1B1C1D1 — ромб.
г) Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Образ — параллелограмм, один из углов которого равен прямому углу (углы сохраняются), то есть прямоугольник. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами; образ — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.