Глава 1. § 14. Свободное падение тел — с. 70
§ 14. Вопрос для обсуждения.
1. Шарик свободно падает на горизонтальную плиту с высоты H. Начертите графики зависимости скорости шарика и его высоты над плитой от времени. Временем удара пренебречь.
Ось X направим вертикально вверх, начало отсчёта — на плите. Падение длится t₀ = √(2H/g). Падая, шарик движется равноускоренно: vₓ = −gt, h = H − gt²/2. График скорости — прямая, идущая вниз от 0 до −gt₀, а график высоты — ветвь параболы, идущая от H до 0 в момент t₀.
Так как временем удара пренебрегаем, примем удар абсолютно упругим: в момент t₀ скорость мгновенно меняет знак на +gt₀, и шарик подлетает на ту же высоту H за время t₀ (vₓ = gt₀ − g(t − t₀), убывает до 0 в момент 2t₀), затем падает снова. Поэтому график скорости — «пила» из наклонных прямых с одинаковым наклоном (наклон равен −g), а график высоты — повторяющиеся дуги парабол с вершинами H в моменты 0, 2t₀, ... и нулями в моменты t₀, 3t₀, ...
Оговорка: если удар неупругий и шарик остаётся на плите, то оба графика заканчиваются в момент t₀ (дальше v = 0, h = 0).
Так как временем удара пренебрегаем, примем удар абсолютно упругим: в момент t₀ скорость мгновенно меняет знак на +gt₀, и шарик подлетает на ту же высоту H за время t₀ (vₓ = gt₀ − g(t − t₀), убывает до 0 в момент 2t₀), затем падает снова. Поэтому график скорости — «пила» из наклонных прямых с одинаковым наклоном (наклон равен −g), а график высоты — повторяющиеся дуги парабол с вершинами H в моменты 0, 2t₀, ... и нулями в моменты t₀, 3t₀, ...
Оговорка: если удар неупругий и шарик остаётся на плите, то оба графика заканчиваются в момент t₀ (дальше v = 0, h = 0).
§ 14. Вопрос для обсуждения.
2. Мяч, подброшенный мальчиком, в течение некоторого времени двигался вверх. При этом его скорость всё время уменьшалась, пока не стала равной нулю. Затем мяч стал падать вниз с возрастающей скоростью. Объясните: а) действовала ли на мяч сила притяжения к Земле во время его движения вверх; вниз; б) что послужило причиной уменьшения скорости мяча при его движении вверх; увеличения его скорости при движении вниз; в) почему при движении мяча вверх его скорость уменьшалась, а при движении вниз — увеличивалась.
а) Да, сила притяжения к Земле (сила тяжести) действовала на мяч всё время: и при движении вверх, и при движении вниз.
б) Причина изменения скорости в обоих случаях одна — сила тяжести: по второму закону Ньютона она сообщает мячу постоянное ускорение g⃗, направленное вниз. Сила действует и на подъёме, и на спуске, а скорость меняется потому, что сила тяжести и скорость направлены по-разному.
в) При движении вверх вектор скорости направлен вверх, а ускорение g⃗ — вниз, то есть против скорости, поэтому модуль скорости уменьшается на 9,8 м/с каждую секунду. При движении вниз скорость и ускорение направлены в одну сторону, поэтому модуль скорости увеличивается на 9,8 м/с за каждую секунду. (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
б) Причина изменения скорости в обоих случаях одна — сила тяжести: по второму закону Ньютона она сообщает мячу постоянное ускорение g⃗, направленное вниз. Сила действует и на подъёме, и на спуске, а скорость меняется потому, что сила тяжести и скорость направлены по-разному.
в) При движении вверх вектор скорости направлен вверх, а ускорение g⃗ — вниз, то есть против скорости, поэтому модуль скорости уменьшается на 9,8 м/с каждую секунду. При движении вниз скорость и ускорение направлены в одну сторону, поэтому модуль скорости увеличивается на 9,8 м/с за каждую секунду. (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
§ 14. Упражнение 14.
1. С какой высоты свободно падала сосулька, если расстояние до земли она преодолела за 4 с?
Сосулька падает без начальной скорости, поэтому h = gt²/2. Принимаем g = 9,8 м/с².
h = 9,8 м/с² · (4 с)² / 2 = 9,8 · 16 / 2 = 78,4 м.
Ответ: h ≈ 78 м.
Оговорка: при g = 10 м/с² получилось бы 80 м; в ответах учебника дано 78,4 м (g = 9,8 м/с²).
h = 9,8 м/с² · (4 с)² / 2 = 9,8 · 16 / 2 = 78,4 м.
Ответ: h ≈ 78 м.
Оговорка: при g = 10 м/с² получилось бы 80 м; в ответах учебника дано 78,4 м (g = 9,8 м/с²).
§ 14. Упражнение 14.
2. Определите время падения монетки, если её выронили из рук на высоте 80 см над землёй. (Принять g = 10 м/с².)
Начальная скорость равна нулю: h = gt²/2, откуда t = √(2h/g). h = 80 см = 0,8 м.
t = √(2 · 0,8 м / 10 м/с²) = √0,16 с² = 0,4 с.
Ответ: t = 0,4 с.
t = √(2 · 0,8 м / 10 м/с²) = √0,16 с² = 0,4 с.
Ответ: t = 0,4 с.
§ 14. Упражнение 14.
3. Маленький стальной шарик упал с высоты 45 м. Сколько времени длилось его падение?
Какое перемещение совершил шарик за первую и последнюю секунды своего движения?
(Принять g = 10 м/с².)
Время падения из h = gt²/2: t = √(2h/g) = √(2 · 45 / 10) = √9 = 3 с.
За первую секунду: s₁ = g · 1²/2 = 5 м.
За последнюю (третью) секунду: перемещение за 3 с минус перемещение за 2 с: s₃ = 45 м − 10 · 2²/2 = 45 − 20 = 25 м.
Ответ: t = 3 с; за первую секунду 5 м; за последнюю 25 м.
За первую секунду: s₁ = g · 1²/2 = 5 м.
За последнюю (третью) секунду: перемещение за 3 с минус перемещение за 2 с: s₃ = 45 м − 10 · 2²/2 = 45 − 20 = 25 м.
Ответ: t = 3 с; за первую секунду 5 м; за последнюю 25 м.
§ 14. Упражнение 14.
4. С какой скоростью камень достигнет земли, если он падал 2,5 с?
Камень падает без начальной скорости, поэтому v = gt = 9,8 м/с² · 2,5 с = 24,5 м/с.
Ответ: v ≈ 24,5 м/с (≈ 25 м/с).
Оговорка: в ответах учебника 25 м/с (получено при g = 10 м/с²); при g = 9,8 м/с² значение 24,5 м/с.
Ответ: v ≈ 24,5 м/с (≈ 25 м/с).
Оговорка: в ответах учебника 25 м/с (получено при g = 10 м/с²); при g = 9,8 м/с² значение 24,5 м/с.
§ 14. Упражнение 14.
5. С высоты 10 м над землёй вертикально вверх брошен камень со скоростью 5 м/с. Определите путь, пройденный камнем до соприкосновения с землёй.
Сначала камень поднимается до остановки на высоту h₁ над точкой броска: h₁ = v₀²/(2g) = (5 м/с)² / (2 · 9,8 м/с²) ≈ 1,28 м.
Затем он падает с высоты H = 10 м + 1,28 м = 11,28 м до земли.
Путь l = h₁ + H = 1,28 + 11,28 ≈ 12,6 м.
Ответ: l ≈ 12,6 м.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается h₁ = 1,25 м и l = 12,5 м (как в ответах учебника); сопротивление воздуха не учитываем.
Затем он падает с высоты H = 10 м + 1,28 м = 11,28 м до земли.
Путь l = h₁ + H = 1,28 + 11,28 ≈ 12,6 м.
Ответ: l ≈ 12,6 м.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается h₁ = 1,25 м и l = 12,5 м (как в ответах учебника); сопротивление воздуха не учитываем.
§ 14. Упражнение 14.
6. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля?
Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?
Направим ось X вверх: vₓ = v₀ − gt. В верхней точке vₓ = 0, откуда t = v₀/g = 9,8 / 9,8 = 1 с.
Перемещение s = v₀t − gt²/2 = 9,8 · 1 − 9,8 · 1²/2 = 9,8 − 4,9 = 4,9 м (или s = v₀²/(2g) = 96,04/19,6 = 4,9 м). Направлено вверх.
Ответ: через 1 с; перемещение 4,9 м вверх.
Перемещение s = v₀t − gt²/2 = 9,8 · 1 − 9,8 · 1²/2 = 9,8 − 4,9 = 4,9 м (или s = v₀²/(2g) = 96,04/19,6 = 4,9 м). Направлено вверх.
Ответ: через 1 с; перемещение 4,9 м вверх.
§ 14. Упражнение 14.
7. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх. Докажите, что время полёта тела до момента падения на землю вдвое больше времени его подъёма на максимальную высоту.
Ось X направим вверх с началом на земле: x = v₀t − gt²/2.
Время подъёма: в верхней точке vₓ = v₀ − gt₁ = 0, поэтому t₁ = v₀/g.
Время полёта: в момент падения x = 0, то есть t(v₀ − gt/2) = 0. Корень t = 0 соответствует началу движения, а другой корень: v₀ − gt₂/2 = 0, откуда t₂ = 2v₀/g.
Получили t₂ = 2t₁, что и требовалось доказать. (Это следствие симметрии: спуск с наибольшей высоты — такое же равноускоренное движение, как подъём в обратном порядке.)
Время подъёма: в верхней точке vₓ = v₀ − gt₁ = 0, поэтому t₁ = v₀/g.
Время полёта: в момент падения x = 0, то есть t(v₀ − gt/2) = 0. Корень t = 0 соответствует началу движения, а другой корень: v₀ − gt₂/2 = 0, откуда t₂ = 2v₀/g.
Получили t₂ = 2t₁, что и требовалось доказать. (Это следствие симметрии: спуск с наибольшей высоты — такое же равноускоренное движение, как подъём в обратном порядке.)
§ 14. Упражнение 14.
8. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Какую скорость будет иметь тело при возвращении в точку броска?
Ось X направим вверх; при возвращении в точку броска перемещение sₓ = 0. Из формулы sₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2gₓ) получаем vₓ² − v₀ₓ² = 0, то есть vₓ² = v₀² = 225 (м/с)². Значит, модуль скорости |v| = 15 м/с. Так как тело при возвращении движется вниз, vₓ = −15 м/с.
Ответ: 15 м/с, направлена вниз (модуль скорости такой же, как при броске).
Ответ: 15 м/с, направлена вниз (модуль скорости такой же, как при броске).