Глава 1. § 13. Третий закон Ньютона — с. 63
§ 13. Вопрос для обсуждения.
1. На весах уравновесили неполный сосуд с водой. Нарушится ли равновесие весов, если в воду опустить палец так, чтобы он не касался дна и стенок сосуда?
Нарушится. Палец вытесняет воду, и вода действует на него выталкивающей силой, направленной вверх. По третьему закону Ньютона палец действует на воду с такой же по модулю силой, направленной вниз. Эта дополнительная сила давит на сосуд через воду, поэтому чашка с сосудом опустится. Равновесие восстановится, если на другую чашку положить гирьку, вес которой равен весу вытесненной пальцем воды.
§ 13. Вопрос для обсуждения.
2. В известных опытах Отто Герике с магдебургскими полушариями с каждой стороны полушарий впрягалось по 8 лошадей. Возникнет ли бо́льшая сила тяги, если прикрепить одно полушарие к стенке, а к другому припрячь 16 лошадей?
Нет, не возникнет. В опыте с 8 лошадьми с каждой стороны полушария растягивались силой, равной силе тяги 8 лошадей. Если одно полушарие прикрепить к стенке, то стенка действует на него с силой, равной по модулю силе тяги, которую создаёт другая упряжка (третий закон Ньютона). Значит, при 16 лошадях сила, растягивающая полушария, будет такой же, как при 8 лошадях с каждой стороны. Опыт с одной упряжкой и стенкой равнозначен опыту с двумя упряжками, в каждой из которых лошадей вдвое меньше.
§ 13. Вопрос для обсуждения.
3. Вспомните, какие физические величины изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Докажите, что вид второго и третьего законов Ньютона одинаков в инерциальных системах отсчёта.
При переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) к другой изменяются координаты тела, его скорость и перемещение (они относительны), а также траектория. Масса тела и силы взаимодействия от выбора ИСО не зависят.
Пусть вторая ИСО движется относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью u⃗. Тогда скорость тела в ней v⃗′ = v⃗ − u⃗, где u⃗ = const. За время Δt изменение скорости Δv⃗′ = Δv⃗ − 0 = Δv⃗, поэтому ускорение a⃗′ = Δv⃗′/Δt = a⃗: ускорение во всех ИСО одинаково.
Масса m и силы F⃗ тоже одинаковы, следовательно, второй закон m a⃗ = F⃗ имеет один и тот же вид в обеих системах. Третий закон F⃗₁₂ = −F⃗₂₁ связывает силы, которые от системы отсчёта не зависят, поэтому и он записывается одинаково в любой ИСО.
Пусть вторая ИСО движется относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью u⃗. Тогда скорость тела в ней v⃗′ = v⃗ − u⃗, где u⃗ = const. За время Δt изменение скорости Δv⃗′ = Δv⃗ − 0 = Δv⃗, поэтому ускорение a⃗′ = Δv⃗′/Δt = a⃗: ускорение во всех ИСО одинаково.
Масса m и силы F⃗ тоже одинаковы, следовательно, второй закон m a⃗ = F⃗ имеет один и тот же вид в обеих системах. Третий закон F⃗₁₂ = −F⃗₂₁ связывает силы, которые от системы отсчёта не зависят, поэтому и он записывается одинаково в любой ИСО.
§ 13. Упражнение 13.
1. На рисунке 38 изображён лежащий на доске камень. Сделайте в тетради такой же рисунок и изобразите стрелками две силы, которые по третьему закону Ньютона равны друг другу. Что это за силы?
Обозначьте их.
[рисунок 38: камень лежит на доске, концы доски опираются на два бруска, доска слегка прогнулась.]
[рисунок 38: камень лежит на доске, концы доски опираются на два бруска, доска слегка прогнулась.]
Камень давит на доску вниз, а доска (она прогнулась, значит, деформирована) действует на камень вверх. Эти две силы возникают при взаимодействии камня и доски и по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению:
1) вес камня P⃗ — сила, с которой камень давит на доску; приложена к доске, направлена вниз;
2) сила нормальной реакции опоры N⃗ (сила упругости доски) — приложена к камню, направлена вверх.
Это силы одной природы (упругости), приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга: P = N, N⃗ = −P⃗.
1) вес камня P⃗ — сила, с которой камень давит на доску; приложена к доске, направлена вниз;
2) сила нормальной реакции опоры N⃗ (сила упругости доски) — приложена к камню, направлена вверх.
Это силы одной природы (упругости), приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга: P = N, N⃗ = −P⃗.
§ 13. Упражнение 13.
2. Будет ли превышен предел измерений динамометра Д, изображённого на рисунке 39, если он рассчитан на измерение сил до 100 Н включительно?
[рисунок 39: динамометр Д подвешен между двумя нитями, перекинутыми через два блока; к концу каждой нити подвешен груз 80 Н.]
[рисунок 39: динамометр Д подвешен между двумя нитями, перекинутыми через два блока; к концу каждой нити подвешен груз 80 Н.]
Нет, не будет. Динамометр показывает силу, с которой растянута его пружина. Нить с каждой стороны натянута силой, равной весу груза, то есть 80 Н, и каждая нить тянет за свой конец динамометра с силой 80 Н. Если бы один из концов закрепили на стене, показание было бы тем же (третий закон Ньютона: стена действовала бы на нить с силой 80 Н). Значит, динамометр покажет 80 Н, а не 160 Н.
80 Н < 100 Н, поэтому предел измерений не превышен.
80 Н < 100 Н, поэтому предел измерений не превышен.
§ 13. Упражнение 13.
3. На рисунке 40, а изображены две тележки, соединённые между собой нитью. Под действием некоторой силы F тележки пришли в движение с ускорением a = 0,2 м/с².
а) Определите проекции на ось X сил F⃗₂ и F⃗₁, с которыми нить действует соответственно на вторую и первую тележки. (Массой нити и трением пренебречь.)
б) Чему будут равны проекции на ось X сил F⃗₁ и F⃗₂, если тележки поменять местами, как показано на рисунке 40, б?
в) В каком из двух случаев, показанных на рисунке 40, нить между тележками натянута сильнее?
г) Определите проекцию силы F⃗, под действием которой тележки пришли в движение.
[рисунок 40, а: слева тележка массой m₂ = 1,5 кг, справа тележка массой m₁ = 0,5 кг, соединены нитью; сила F⃗ приложена к правой тележке m₁ и направлена вправо по оси X; сила F⃗₂ приложена к левой тележке (вправо), сила F⃗₁ — к правой (влево). Рисунок 40, б: слева m₁ = 0,5 кг, справа m₂ = 1,5 кг; сила F⃗ приложена к правой тележке m₂ и направлена вправо; F⃗₁ приложена к левой тележке (вправо), F⃗₂ — к правой (влево). Ось X направлена вправо.]
а) Определите проекции на ось X сил F⃗₂ и F⃗₁, с которыми нить действует соответственно на вторую и первую тележки. (Массой нити и трением пренебречь.)
б) Чему будут равны проекции на ось X сил F⃗₁ и F⃗₂, если тележки поменять местами, как показано на рисунке 40, б?
в) В каком из двух случаев, показанных на рисунке 40, нить между тележками натянута сильнее?
г) Определите проекцию силы F⃗, под действием которой тележки пришли в движение.
[рисунок 40, а: слева тележка массой m₂ = 1,5 кг, справа тележка массой m₁ = 0,5 кг, соединены нитью; сила F⃗ приложена к правой тележке m₁ и направлена вправо по оси X; сила F⃗₂ приложена к левой тележке (вправо), сила F⃗₁ — к правой (влево). Рисунок 40, б: слева m₁ = 0,5 кг, справа m₂ = 1,5 кг; сила F⃗ приложена к правой тележке m₂ и направлена вправо; F⃗₁ приложена к левой тележке (вправо), F⃗₂ — к правой (влево). Ось X направлена вправо.]
Обе тележки движутся вместе вправо с ускорением a = 0,2 м/с² (aₓ = 0,2 м/с²). Массой нити пренебрегаем, поэтому силы натяжения на концах нити равны по модулю.
а) Нить тянет вторую (левую) тележку вперёд, и только эта сила сообщает ей ускорение: F₂ₓ = m₂a = 1,5 кг · 0,2 м/с² = 0,3 Н. По третьему закону Ньютона F⃗₁ = −F⃗₂, поэтому F₁ₓ = −0,3 Н.
б) Теперь нить тянет вправо лёгкую тележку m₁: F₁ₓ = m₁a = 0,5 кг · 0,2 м/с² = 0,1 Н, а F₂ₓ = −F₁ₓ = −0,1 Н.
в) Сила натяжения нити в случае а) равна 0,3 Н, в случае б) — 0,1 Н. Нить натянута сильнее в случае а), когда внешняя сила приложена к лёгкой тележке и нить тянет за собой тяжёлую.
г) Внешняя сила разгоняет обе тележки как единое тело массой m₁ + m₂ = 2 кг: Fₓ = (m₁ + m₂)a = 2 кг · 0,2 м/с² = 0,4 Н. (Проверка для случая а): Fₓ + F₁ₓ = 0,4 Н − 0,3 Н = 0,1 Н = m₁a.)
Ответ: а) F₂ₓ = 0,3 Н, F₁ₓ = −0,3 Н; б) F₁ₓ = 0,1 Н, F₂ₓ = −0,1 Н; в) в случае а); г) Fₓ = 0,4 Н.
а) Нить тянет вторую (левую) тележку вперёд, и только эта сила сообщает ей ускорение: F₂ₓ = m₂a = 1,5 кг · 0,2 м/с² = 0,3 Н. По третьему закону Ньютона F⃗₁ = −F⃗₂, поэтому F₁ₓ = −0,3 Н.
б) Теперь нить тянет вправо лёгкую тележку m₁: F₁ₓ = m₁a = 0,5 кг · 0,2 м/с² = 0,1 Н, а F₂ₓ = −F₁ₓ = −0,1 Н.
в) Сила натяжения нити в случае а) равна 0,3 Н, в случае б) — 0,1 Н. Нить натянута сильнее в случае а), когда внешняя сила приложена к лёгкой тележке и нить тянет за собой тяжёлую.
г) Внешняя сила разгоняет обе тележки как единое тело массой m₁ + m₂ = 2 кг: Fₓ = (m₁ + m₂)a = 2 кг · 0,2 м/с² = 0,4 Н. (Проверка для случая а): Fₓ + F₁ₓ = 0,4 Н − 0,3 Н = 0,1 Н = m₁a.)
Ответ: а) F₂ₓ = 0,3 Н, F₁ₓ = −0,3 Н; б) F₁ₓ = 0,1 Н, F₂ₓ = −0,1 Н; в) в случае а); г) Fₓ = 0,4 Н.